Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa
torzijom
M. Blagojevi´c
B. Cvetkovi´c1
O. Miškovi´c2
R. Olea3
1 Institut za fiziku, Beograd, Srbija
de Física, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile
3 Universidad Andres Bello, Departamento de Ciencias Físicas, Santiago, Chile
2 Instituto
Gravity: new ideas for unsolved problems II
12-14 Septembar 2013, Divˇcibare, Serbia
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Sadržaj
Uvod
Holografski anzac
Restrikcija Poenkareove simetrije
Rezidualna lokalna simetrija
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
MB model i jednaˇcine kretanja
Struje na granici
Simetrije na granici i anomalije
Holografija u 3D LPT
Lagranžijan i jednaˇcine kretanja
Simetrije i anomalije na granici
ˇ
Zakljucak
Prezentacija je zasnovana na radu:
I
M. Blagojevi´c, B. Cvetkovi´c, O. Miškovi´c and R. Olea, Holography in 3D AdS gravity with torsion, JHEP 1305
(2013) 103.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
I
I
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
U skladu sa idejom AdS/CFT korespondencije , svakoj
asimptotski anti de Siterovoj (AdS) teoriji gravitacije u
(d + 1)-dimenzionom prostorvremenu M, odgovara
d-dimenziona konformna teorija polja (CFT) na granici ∂M.
Ova dualnost je jako/slabog tipa.
AdS/CFT korenspondencija je prouˇcavana uglavnom u
okviru Rimanove geometrije.
Uprkos tome što su teorije gravitacije zasnovane na
lokalnoj simetriji poznate ve´c gotovo pola veka, AdS/CFT
korespondencija je vrlo malo prouˇcavana u okviru teorija
gravitacije sa torzijom:
I
I
M. Bañados, O. Miškovi´c, and S. Theisen, Holographic
currents in first order gravity and finite Fefferman–Graham
expansions, JHEP 06 (2006) 025.
D. Klemm and G. Tagliabue, The CFT dual of AdS gravity
with torsion, Class. Quantum Grav. 25 (2008) 035011.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
I
I
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
U okviru 3D gravitacije Klem et. al prouˇcavali su
holografsku strukturu Milke-Beklerovog (MB) modela
topološke gravitacije sa torzijom.
MB model ne poseduje propagiraju´ce stepene slobode.
Naš glavni cilj je bio da ispitamo holografsku strukturu 3D
gravitacije sa propagiraju´com torzijom, da bismo ispitali
kompatibilnost osnovnih aspekata AdS/CFT
korespondencije sa torzijom i da bismo razumeli dinamiˇcku
ulogu novih izvora CFT povezanih sa torzijom.
U 3D prostor vremenu M koristimo uobiˇcajene konvencije,
dok je (1 + 2) dekompozicija opisana koordinatama
x µ = (ρ, x α ), gde je ρ radijalna koordinata i x α su lokalne
koordinate na granici ∂M; u lokalnim Lorencovim
koordinatana dekompozicija je opisana sa i = (1, a).
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Zakljuˇcak
ˆi i
Osnovne dinamiˇcke varijable u 3D PGT su trijade e
i
Lorencova koneksija ω
ˆ (1-forme), a odgovaraju´ce jaˇcine
polja su torzija i krivina (2-forme)
ˆ i + εi jk ω
ˆk ,
Tˆ i = d e
ˆj ∧ e
I
Holografija u 3D LPT
1
ˆ i = dω
R
ˆ i + εi jk ω
ˆj ∧ ω
ˆk
2
Lokalne Poenkareove transformacije (LPT) na osnovne
dinamiˇcke varijable deluju na slede´ci naˇcin:
ˆ i µ = −εijk e
ˆjµ θˆk − (∂µ ξˆλ )e
ˆ i λ − ξˆλ ∂λ e
ˆi µ ,
δ0 e
ˆ µ θˆi − (∂µ ξˆλ )ˆ
δ0 ω
ˆ i µ = −∇
ω i λ − ξˆλ ∂λ ω
ˆi µ ,
ˆ µ θˆi = ∂µ θˆi + εi jk ω
gde je ∇
ˆ j µ θˆk .
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Restrikcija Poenkareove simetrije
I
I
I
I
Da bismo prouˇcavali holografsku strukturu 3D gravitacije
sa torzijom pretpostavljamo da je M 3D mnogostrukost sa
granicom ∂M u prostornoj beskonaˇcnosti.
U asimptotskoj oblasti M se može pogodno
parametrizovati lokalnim koordinatama x µ = (ρ, x α ), gde je
ρ radijalna koordinata takva da je ρ = 0 na ∂M.
Radijalna folijacija M je analogna vremenskom raslojenju u
uobiˇcajenom kanonskom formalizmu.
ˆi ρ i ω
Postojanje LPS implicira da su e
ˆ i ρ nefiziˇcke varijable,
koje se mogu fiksirati sa odgovaraju´cih šest gejdž uslova,
koji bitno utiˇcu na dinamiku na granici:
`
p`
a
i
1
i
1
a
ˆ ρ = (e
ˆ ρ, e
ˆ ρ) =
e
,0 ,ω
ˆ ρ = (ˆ
ω ρ, ω
ˆ ρ) =
,0 ,
ρ
2ρ
gde je ` AdS radijus, a od p zavise i torzija i krivina na M.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Restrikcija Poenkareove simetrije
I
Dalje, uvodimo dodatni uslov, poznat kao „radijalni gejdž”
ˆ1α = 0 ⇔ e
ˆi ρ = 0 .
e
I
I
Geometrijski, ovaj uslov obezbedjuje da je radijalni pravac
identiˇcan sa normalom na ∂M.
Konaˇcni oblik anzaca je:
1 a
i
1 ˆa
ˆ
ˆ
e α = (e α , e α ) = 0, e α ,
(1a)
ρ
1
(1b)
ω
ˆ i α = (ˆ
ω1α, ω
ˆ a α ) = ωα , k a α ,
ρ
gde su ea α (ρ, x), ωα (ρ, x) i k a α (ρ, x) oblika:
¯ a α (x) + O(ρ) ,
ea α (ρ, x) = e
ωα (ρ, x) = ω
¯ α (x) + O(ρ) ,
gde O(ρ) → 0 za ρ → 0.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Restrikcija Poenkareove simetrije
I
Primetimo da metrika ima uobiˇcajeni Feferman-Grahamov
oblik:
ˆµν dx µ dx ν = −
ds2 = g
`2 dρ2
1
+ 2 gαβ dx α dx β ,
2
ρ
ρ
gde je gαβ := ea α eb β ηab regularno za ρ = 0
I
Za ρ = 0, metrika ima pol reda dva što je uobiˇcajeno za
asimptotske AdS prostore.
I
U daljem izlaganju koristi´cemo jedinice za koje je AdS
radijus ` = 1.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Rezidualna lokalna simetrija
I
Parameteri asimptotske (rezidualne) LPS koji ostavljaju
invarijantnim usvojeni anzac za trijade imaju oblik:
1
¯ αβ ∂β f + ρ2 O(ρ) ,
ξˆα = ξ α (x) + ρ2 g
2
ρ2 α
¯b α ∂α f + ρO(ρ) , θˆ1 = θ(x) − ω
θˆa = ρεab e
¯ ∂α f + ρO(ρ2 ) .
2
Rezidualna simetrija može se izraziti u funkciji cˇ etiri
parametra na granici ξ α (x), θ(x) i f (x).
Invarijantnost uslova za koneksiju dovodi do restrikcije
vrednosti k a α :
p
k ab = η ab − εab − ρεac ec β ∂ρ eb β ,
(2)
2
Može se pokazati da Kab = εcb k c a predstavlja spoljašnju
krivinu ∂M.
ξˆρ = ρf (x) ,
I
I
I
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Rezidualna lokalna simetrija
I
Dejstvo rezidualne simetrije na polja na granici ima oblik:
¯ a α = δP e
¯aα + f e
¯aα ,
δ0 e
¯aαe
¯ bβ ∂β f ,
δ0 ω
¯ α = δP ω
¯ α + εab e
(3)
¯ a α i δP ω
gde su δP e
¯ α LPT u 2D:
¯ a α = −εa c θe
¯ c α − (∂α ξ β )e
¯aβ − ξ · ∂ e
¯aα ,
δP e
δP ω
¯ α = −∂α θ − (∂α ξ β )¯
ωβ − ξ · ∂ ω
¯α ,
I
I
(4)
a f definiše lokalne dilatacije.
Rezidualne transformacije (3) pripadaju Vajlovoj grupi LPT
¯aα i ω
+ dilatacije gde su e
¯ α filbajn i spinska konekcija na
granici.
Dilatacije na metriku na granici deluju na uobiˇcajeni naˇcin:
¯αβ = 2f g
¯αβ .
δf g
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Rezidualna lokalna simetrija
I
Rezultati dobijeni za rezidualnu simetriju su iskljuˇcivo
zasnovani na usvojenim asimptotskim uslovima. Oni su
kinematiˇcki.
I
Još jedan skup korisnih kinematiˇckih relacija može se
dobiti raˇcunanjem tenzora torzije i krivine:
Tˆijk = pεijk + O(ρ) ,
ˆ ijk = qεijk + O(ρ) ,
R
(5a)
gde je
p2
− 1.
(5b)
4
Dakle, u najnižem redu po ρ, parametar p definiše i torziju i
krivinu prostorvremena.
q :=
I
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Razmotrimo 3D gravitacioni sistem bez materije u
asimptoski AdS prostorvremenu sa rešenjima
karakterisanim nezavisnim vrednostima ea α i ωα . Vrednost
renormalizovanog gravitacinog dejstva predstavlja konaˇcni
2D funkcional Iren [e, ω] na ∂M.
Dalje, razmotrimo skup kvantnih polja φ na ∂M, kuplovanih
sa spoljašnjim gravitacionim poljima (izvorima) ea α i ωα , i
opisanih dejstvom I[φ; e, ω]. Odgovaraju´ce efektivno
dejstvo W [e, ω] je definisano sa:
Z
iW [e,ω]
e
=
DφeiI[φ;e,ω] .
(6a)
∂M
I
U semiklasiˇcnoj aproksimaciji AdS/CFT korespondencija
može da se opiše identifikovanjem W [e, ω] sa Iren [e, ω]:
W [e, ω] = Iren [e, ω] .
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
(6b)
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Koriste´ci prethodnu identifikaciju gravitacioni Neter
identiteti za Iren [e, ω] mogu se identifikovati sa Vordovim
identitetima za jednoˇcestiˇcne funkcije izvedene iz W [e, ω].
Varijacija renormalizovanog PGT dejstva se može zapisati
u obliku:
Z
δ Iren = −
d 2 x (τ α a δea α + σ α δωα ) ,
(7)
∂M
I
Uslov invarijantnosti renormalizovanog dejstva na
rezidualne transformacije simetrije ima oblik:
Z
δ Iren = −
d 2 x (τ α a δ0 ea α + σ α δ0 ωα ) = 0 ,
(8)
∂M
gde su τ α a i σ α struja energije i impulsa i spina našeg
dinamiˇckog sistema.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
I
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Za lokalne translacije i lokalne Lorencove rotacije, dobijaju
se slede´ci Neter identiteti:
ea β ∇α τ α a = τ α a T a βα + σ α Fβα − ωβ (∇α σ α + εab τab ) ,
∇β σ β = −εab τab ,
I
I
I
(9)
poznati i kao generalisani zakoni održanja za τ α a i σ β .
Sliˇcno, invarijantnost Iren [ea α , ωα ] na dilatacije dovodi do:
τ − ∇β εab σ a ebβ = 0 .
(10)
Ovo je maksimalni skup Vordovih identiteta koji se mogu
na´ci u konformnoj teoriji polja na granici.
Ukoliko su jednaˇcine kretanja nekompatibilne sa nekom od
simetrija, neki od Vordovih identiteta mogu biti i narušeni,
što dovodi do pojave kvantnih anomalija.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
MB model i jednaˇcine kretanja
I
I
I
MB model topološke 3D gravitacije sa torzijom opisan je
dejstvom:
Z ˆ i − 1 Λ0 εijk e
ˆi e
ˆj e
ˆ k + α3 LCS (ˆ
ˆ i Tˆi ,
ˆi R
IMB =
ω ) + α4 e
2ae
3
(11)
1
i
i
j
k
ˇ
gde je LCS (ˆ
ω) = ω
ˆi d ω
ˆ + 3 εijk ω
ˆω
ˆω
ˆ Cern-Sajmonsov cˇ lan
za Lorencovu koneksiju, a = 1/16πG.
Jednaˇcine kretanja u vakuuumu imaju oblik:
ˆ ijk = qεijk ,
Tˆijk = pεijk ,
R
(12a)
gde se parametri p i q izražavaju u funkciji a, Λ, α3 , α4 .
U AdS sektoru efektivna kosmološka konstanta je
negativna:
p2
= −1 .
(12b)
Λeff := q −
4
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Struje na granici
I
Ako se u jednaˇcine kretanja zameni holografski anzac
dobija se da radijalni razvoj ima konaˇcan broj cˇ lanova:
ωα = ωα (x) ,
I
¯cβ + ρ2 s¯cβ ,
ecβ = e
Polja na granici zadovoljavaju slede´ce jednaˇcine kretanja:
Tabc = 0 ,
I
εab sab = 0.(13)
R − 4sc c = 0 .
(14)
Struje energije i impulsa i spina imaju slede´ci oblik:
α3 p αβ
τ βb = 4 a +
ε εab sa α − 4α3 εαβ sbα ,
2
σ β = −α3 εβα ωα ,
(15)
i na jednaˇcinama kretanja zadovoljavaju relacije:
∇β τ β b = 0 ,
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
1
∇β σ β = − εbc τbc .
2
(16)
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Simetrije na granici i anomalije
I
Lorencova invarijantnost efektivne 2D teorije je narušena i
Lorencova anomalija ima oblik:
AL := ∇β σ β + εbc τbc =
1
1 bc
¯R .
ε τbc = − α3 e
2
2
I
¯ R,
Koeficijent α3 uz topološku (Ojlerovu) gustinu e
proporcionalan je razlici centralnih naboja MB modela:
p`
∓
c = 24π a` + α3
∓1
.
2
I
Uslov translacione invarijantnosti je zadovoljen i nema
translacione anomalije:
(17)
AT := ea β ∇α τ α a −τ α a T a βα −σ β Fαβ +ωα (∇β σ β +εab τab ) = 0 .
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Simetrije na granici i anomalije
I
I
Dilatacioni Neter identitet je narušen i konformna ili Vajlova
anomalija ima oblik:
α3 p ¯ R+α3 ∂β (e
¯ωβ ) .
e
AC := τ c c −∇β εab σ a ebβ = − a +
2
(18)
¯
Koeficijent uz eR je proporcionalan zbiru centralnih naboja.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Lagranžijan i jednaˇcine kretanja
I
Dejstvo 3D gravitacije sa propagiraju´com torzijom (bez
doprinosa materije) ima oblik:
Z
ˆ − 2Λ0 + L 2 + L 2 ,
ˆ LG , LG = −aR
I = d 3x e
R
T
1 ˆ ijk
T Hijk , Hijk := a1 (1) Tˆijk + a2 (2) Tˆijk + a3 (3) Tˆijk ,
4
1 ˆ ijkl
ˆ ijkl + b5 (2) R
ˆ ijkl + b6 (3) R
ˆ ijkl .
LR 2 = R
Hijkl , Hijkl := b4 (1) R
8
Kovarijantni impulsi se ekvivalentno mogu zapisati u obliku:
Hijk = 4(α1 Tˆijk + α2 Tˆ[kj]i + α3 Tˆijk ) ,
LT 2 =
I
ˆ ij Hij ,
LR 2 = R
ˆ ij + β2 R
ˆ ji + β3 ηij R
ˆ , (19)
Hij = β1 R
gde se konstante α1 , α2 , α3 i β1 , β2 , β3 izražavaju preko
a1 , a2 , a3 i b1 , b2 , b3
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Lagranžijan i jednaˇcine kretanja
I
U lokalnom Lorencovom bazisu gravitacione jednaˇcine
kretanja imaju oblik:
1
(20a)
∇m Himj + Hi mn (−Tjmn + 2ηjm Vn ) − tij = 0 ,
2
ˆ ji − 2(R
ˆ n i Hnj − R
ˆ j nm i Hnm ) ,
tij := ηij LG − T mn i Hmnj + 2aR
gde je tij gravitacioni tenzor energije i impulsa i
I
2aTkij +2T m ij (Hmk −ηmk H)+4∇[i (Hj]k −ηj]k H)+εijn εmr k Hmr n = 0 ,
(20b)
U vode´cem redu jednaˇcine kretanja daju slede´ce uslove na
konstante:
p(a + qb6 + 2a3 ) = 0 ,
1
1
aq − Λ0 + p2 a3 − q 2 b6 = 0 .
2
2
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Simetrije i anomalije na granici
I
Struje spina i energije impulsa za teoriju na granici imaju
slede´ci oblik:
p
¯aα ,
εac − ηac V c e
(22a)
σ β = (b4 − b5 )εβα
2
τ α a = 4(a + b6 q)εαβ εac sβ c + 4a3 (ε · s)εαβ eaβ
p
b6 − b4
− εαβ
(R − 4sγ γ )eb β
ηba − εba
3
2
2
p
+ 2εαβ
b6
− 2b5 ηba + p(b5 − b6 )εba eb β (ε · s) ,
2
(22b)
¯ a α + ρ2 sa α + . . . .
gde je V a = T ab b i ea α = e
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Simetrije i anomalije na granici
I
Koriš´cenjem jednaˇcina kretanja, bez eksplicitnog
rešavanja, može se pokazati da su Lorencova i
translaciona simetrija na granici oˇcuvane:
AL = 0 ,
I
AT = 0 .
(23)
Konformna simetrija je narušena i za konformnu anomaliju
se dobija:
AC
¯R
= −(a + b6 q)e
¯ (∇a V a − Va V a )
+ [2α3 − (q + 2)(b4 − b5 )] e
¯ εab ∇a Vb .
+ p(b4 − b5 )e
(24)
I
Prvi cˇ lan u AC , je topološka
R gustina (povezan sa
¯ odgovaraju´ci faktor
¯ R);
topološkom invarijantom d 2 x e
(a + b6 q) je proporcionalan centralnom naboju.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
Simetrije i anomalije na granici
I
Preostala dva cˇ lana u AC su invarijantna na lokalnne
dilatacije i mogu se zapisati u obliku:
¯ (∇a V a − Va V a ) = ∂α (εαβ eaβ εab Vb ) ,
W1 := e
W2 := εab ∇a Vb = ∂α (εαβ ea β Va ) .
(25)
I
Integrali W1 i W2 po granici su topološke invarijante.
I
Teorija za parametrima za koje konformna anomalija
jednaka nuli poznata je i kao kritiˇcna gravitacija.
I
Za takav kritiˇcan izbor parametarau teoriji se mogu pojaviti
logaritamski modovi koji dovode do pojave logaritamske
CFT na granici.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Uvod
Holografski anzac
Neter-Vordovi identiteti
Holografija u MB modelu
Holografija u 3D LPT
Zakljuˇcak
I
Analizirana je AdS/CFT korespondencija u okviru 3D
gravitacije sa torzijom.
I
Polaze´ci od odgovaraju´ceg holografskog anzaca dobijen je
oˇcekivani oblik simetrije na granici opisan LPT i
dilatacijama.
I
Polaze´ci od poboljšanog oblika Neter-Vordovih identiteta
analizirane su holografske osobine MB modela, pri cˇ emu
su potvrdjeni Klemovi rezutati.
I
U okviru 3D gravitacije sa propagiraju´com torzijom
dobijena je holografska konformna anomalija sa
doprinosima koji potiˇcu i od torzije i od krivine.
Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom
Divˇcibare 2013
Download

Holografija u 3D AdS gravitaciji sa torzijom