2. LABORATORIJSKA VJEŽBA BROJ II
PETERSENOVO PRAVILO
2.1
UVOD
Petersenovo pravilo se koristi u slučaju kada se u jednoj tački sustiče više
vodova različitih karakterističnih impedansi (talasnih otpora) z1 , z 2 ,...z k ,...z n i kada je
u toj tački dodatno priključena skocentrisana impedansa poznate vrijednosti z x . Neka
po vodovima kao na slici 2.1.1 nailaze naponski talasi u1x ,u 2 x ,...u kx ,...u nx .
u kx
u2x
ik
i2
u1x i
1
z1
z2
u x1
u x 2 u xk
ix
zx
u xn
zk
in
u nx
zn
x
ux
Slika 2.1.1 Slučaj kada se po svih ‘n’ vodova prenaponski talasi sustiču sa skocentrisanom
impedansom
Dalje, neka su u x1 ,u x 2 ,...u xk ,...u xn reflektovani talasi iz tačke x koji se prostiru
nazad po vodovima 1,2,...k,...n. Također, uvedimo oznake struja kao na slici, zatim
napona i struje na impedansi z x sa u x i i x .
Za svaki od vodova vrijedi jednačina:
u − u xi
; i=1,2,...k,...n.
ii = ix
zi
Struja kroz impedansu z x se može izračunati kao:
1
u ix − u xi
.
zi
i =1
i =1
Budući da se u čvornoj tački x može napisati jednačina naponske ravnoteže:
u x = u ix + u xi .
to se posljednja jednačina modifikuje u:
n
n
n
n
n
u − (u x − u ix )
u
u
u
1
i x = ∑ ix
= 2∑ ix − ∑ x =2∑ ix − u x ∑ .
zi
i =1 z i
i =1 z i
i =1 z i
i =1 z i
i =1
Ako se uvede ekvivalentna impedansa sa:
n
1
1
=∑
z ekv i =1 z i
koja ustvari zamjenjuje sve paralelne vodove 1,2,...k,...n, tada se posljednja jednačina
zapisuje kao:
n
u ix
∑
n
u
z
i x z ekv + u x = 2 z ekv ∑ ix = 2 i =n1 i .
1
i =1 z i
∑
i =1 z i
n
u ix
∑
z
Izraz:
u x = i =n1 i
1
∑
i =1 z i
naziva se ekvivalentni talas, tako da se gornja jednačina može pisati kao
i x z ekv + u x = 2u ekv .
n
n
i x = ∑ ii = ∑
S druge strane napon u x se može napisati kao
u x = ix z x
tako da dolazimo do konačne jednačine naponske ravnoteže u obliku
i x ( z ekv + z x ) = 2u ekv .
Na osnovu posljednje jednačine može se nacrtati odgovarajuća ekvivalentna šema kao
na slici 2.1.2 gdje se ekvivalentni talas prostire preko ekvivalentne impedanse ka tački
x (tkzv. pravilo ekvivalentnog talasa).
z ekv
ix
x
ix
2u ekv
zx ux
Slika 2.1.2 Odgovarajuća ekvivalentna šema slike 2.1.1
Posmatraćemo sada specijalan slučaj kada se samo po vodu 1 kreće prenaponski
talas u1x . Tada se može nacrtati odgovarajuća slika 2.1.3.
2
ik
i2
u1x i
1
z1
z2
u x1
u x 2 u xk
ix
zk
in
u xn
zn
x
ux
zx
Slika 2.1.3 Slučaj kada se po samo jednom od ‘n’ vodova prenaponski talas sustiče sa skocentrisanom
impedansom
Sada se mogu napisati odgovarajuće jednačine:
− u xi
u − u x1
; i=2,...k,...n.
i1 = 1x
, ii =
z1
zi
Struja impedanse z x se sada traži iz relacije:
n
n
n
i =1
i=2
i =2
i x = ∑ ii = i1 + ∑ ii = i1 + ∑
− u xi
zi
Budući da vrijedi:
u x = u1x + u x1 = u xi ; i=2,...k,...n.
to se posljednja formula zapisuje kao:
n
1
i x = i1 − u x ∑ .
i =2 z i
Ako se sada uvede nova ekvivalentna impedansa kao:
n
1
1
=∑ ,
z e i=2 z i
onda ćemo imati:
z
1
i x = i1 − u x
= i1 − i x x .
ze
ze
Odavde je lako dobiti:
ze
ix =
i1 .
z x + ze
S druge strane struja voda 1 je:
u − u x1 2u1x − u x 2u1x z x
=
− ix .
i1 = 1x
=
z1
z1
z1
z1
Eliminacijom i x iz posljednje dvije jednačine se dobija:
i1 =
2u1x
2u1x
=
.
z x ze
z1 + z e1
z1 +
z x + ze
3
Ovdje je z e1 paralelna veza ekvivalentne impedanse z e i koncetrisane impedanse z x .
Dakle, na osnovu posljednje relacije može se nacrtati ekvivalentna šema, koja ustvari
predstavlja Petersenovo pravilo slika 2.1.4:
i1
z1
2u1x
x
z e1 u x
Slika 2.1.4 Odgovarajuća ekvivalentna šema slike 2.1.3
Struja voda 1 se računa ako se u seriju povežu karakteristična impedansa z1 po
kojoj nailazi prenaponski talas u1x i ekvivalentna impedansa z ekv1 koja ustvari
predstavlja paralelnu vezu svih ostalih vodova 2,...k,...n i skocentrisane impedanse z x .
2.2
SIMULACIJA
Na slici 2.2.1 je prikazano razvodno postrojenje kod koga su tri vazdušna voda
karakterističnih impedansi z C priključena na sabirnice postrojenja ukupnog kapaciteta
C. Na prvom vodu se nalazi zaštitna prigušnica induktiviteta L, potrebna za
ograničavanje struje kratkog spoja. Po vodu 1 nailazi prenaponski talas atmosferskog
porijekla, koji se predstavlja talasom pravougaonog čela i beskonačnog trajanja.
Primjenjujući Petersenovo pravilo potrebno je odrediti napon na sabirnicama i ispred
prigušnice u slučajevima kada je:
A) samo vod 1 priključen na sabirnice
B) vodovi 1 i 2 priključeni na sabirnice
C) sva tri voda priključeni na sabirnice
1
zC
2
zC
3
zC
Slika 2.2.1 Razvodno postrojenje
Dati su podaci:
z C = 400 Ω ; C = 10 nF ; L = 9.312 mH .
Maksimalna vrijednost prenaponskog talasa U m = 500 kV .
Također, za slučajeve B) i C) potrebno je numerički tačno odrediti vrijeme
trajanja čela prenaponskog talasa na sabirnicama postrojenja.
Uzeti za vrijeme svih simulacija: Stop time = 200 μsec.
4
Prekidače zamijeniti sa Ideal Switchima internih karakteristika:
Resistance: Ron = 0.01 Ω , Inductance: Lon = 0.1 μH , Initial state: 0 (‘open’),
Snubber resistance: Rs = 1000 Ω , Snubber capacitance: C s = 0.01 pF .
U svim simulacijama prekidač se uključuje poslije vremena: Step time = 0 sec.
A) Odgovarajuća šema ( kao i Simulink forma) po Petersenu se može nacrtati kao na
slikama 2.2.2 i 2.2.3 :
zc
L
uL(t)
2Um
u(t)
C
Slika 2.2.2 Vod 1 priključen na sabirnice, Petersenova šema
zc
Step
1
2
g
m
L
Ideal Switch
+
v
-
2Um
volt
t
C
Scope
+
v
-
volt1
Scope1
uLa
uCa
To Workspace1
To Workspace2
Clock To Workspace
Slika 2.2.3 Vod 1 prikjučen na sabirnice, Simulink forma
Slike prenaponskih talasa na sabirnicama i ispred prigušnice nacrtati ćemo iz
MATLAB/Comand Windowa na sledeći način:
U okviru MATLAB/Comand Windowa se uradi procedura uređenja matrice grafika
napona na sabirnicama plot(t,uCa) (ispred prigušnice plot(t,uLa))
»
»
»
»
plot(t,uCa)
xlabel('vrijeme [sec]')
ylabel('napon na sabirnicama [V]')
axis([0. 200.e-6 0. 16.e5])
Rezultati simulacije nacrtani iz MATLAB/Comand Windowa dati su na slikama 2.2.4 i
2.2.5:
5
16
x 10
5
14
napon na sabirnicama [V]
12
10
8
6
4
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.4 Napon na sabirnicama
16
x 10
5
14
napon ispred prigušnice [V]
12
10
8
6
4
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.5 Napon ispred prigušnice
B) Odgovarajuća šema ( kao i Simulink forma) po Petersenu se može nacrtati kao na
slikama 2.2.6 i 2.2.7:
zc
2Um
L
uL(t)
C
zc
u(t)
Slika 2.2.6 Vodovi 1 i 2 priključeni na sabirnice, Petersenova šema
6
zc
Step
L
1
2
1
2
g
m
g
m
Step1 Ideal Switch1
Ideal Switch
+
v
-
2Um
zc1
C
volt
volt1
Scope
t
+
v
-
Scope1
uLb
uCb
To Workspace1
To Workspace2
Clock To Workspace
Slika 2.2.7 Vodovi 1 i 2 prikjučeni na sabirnice, Simulink forma
Rezultati simulacije nacrtani iz MATLAB/Comand Windowa su:
10
x 10
5
9
napon na sabirnicama [V]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.8 Napon na sabirnicama
10
x 10
5
9
napon ispred prigušnice [V]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.9 Napon ispred prigušnice
7
Numerički proračun trajanja čela prenaponskog talasa na sabirnicama (kondezatoru C)
može se uraditi npr. Newtonovom metodom tangente u MATLAB/Editoru.
Naime, potrebno je prvo odrediti analitički izraz za napon na sabirnicama u C (t ) , kao i
njegovu maksimalnu vrijednost U m . Zatim se uslovi za dobijanje graničnih tačaka
3
trajanja čela talasa
5
u C (t ) = 0.3U m , u C (t ) = 0.9U m
zapišu u obliku:
f1 (t ) = u C (t ) − 0.3U m = 0 , f 2 (t ) = u C (t ) − 0.9U m = 0 .
Sada je potrebno numerički odrediti nule funkcija f1 (t ) i f 2 (t ) .
Newtonova metoda tangente u MATLAB/Editoru se može realizovati npr. na sledeći
način:
function [res, it]=fnewton(func,dfunc,t,tol)
it=0; x0=x;
d=feval(func,t0)/feval(dfunc,t0);
while abs(d)>tol
t1=t0-d;
it=it+1;
t0=t1;
d=feval(func,t0)/feval(dfunc,t0);
end;
res=t0;
Napomena, ovdje su: func-definisana funkcija čiju nulu tražimo, dfunc-prvi izvod
naprijed definisane funkcije, t-startna vrijednost rješenja, tol-unaprijed zadata
tolerancija (tačnost) postupka.
Odredimo prvo rješenje jednačine f1 (t ) = 0 . U MATLAB/Editor-u se definišu funkcija
i njen prvi izvod:
function F=f1(t);
F=350e3-500e3*(exp(-0.1465e6*t))*(1.+0.1465e6*t);
function F=df1(t);
F=10.731125e15*(exp(-0.1465*t))*t;
Potom se u MATLAB/Comand Windowu uradi egzekucija programa na sledeći način:
» [t1, it]=fnewton('f1','df1',1.e-6,1.e-9)
t1 =
7.4933e-006
it =
24
Ovim smo odredili (poslije 24 iteracije) trenutak t1 za koga je u C (t1 ) = 0.3U m .
Na analogan način rješavamo jednačinu f 2 (t ) = 0 . U MATLAB/Editoru se definišu
funkcija i njen prvi izvod:
8
function F=f2(t);
F=50e3-500e3*(exp(-0.1465e6*t))*(1.+0.1465e6*t);
function F=df2(t);
F=10.731125e15*(exp(-0.1465*t))*t;
Egzekucija programa:
» [t2, it]=fnewton('f2','df2',1.e-6,1.e-9)
t2 =
2.6599e-005
it =
377
Ovim smo odredili (poslije 377 iteracija) trenutak t 2 za koga je u C (t 2 ) = 0.9 m .
Dakle, trajanje čela prenaponskog talasa se može izračunati iz:
5
5
TČ = (t 2 − t1 ) = (26.599 − 7.4933) μ sec = 31.843 μ sec
3
3
C) Odgovarajuća šema po Petersenu (kao i Simulink forma) se može nacrtati kao na
slikama 2.2.10 i 2.2.11:
zc
L
uL(t)
2Um
zc/2
C
u(t)
Slika 2.2.10 Vodovi 1, 2 i 3 priključeni na sabirnice, Petersenova šema
zc
Step
1
2
g
m
L
1
2
g
m
Step1 Ideal Switch1
Ideal Switch
+
v
-
2Um
volt
t
C
zc1
zc2
Scope
+
v
-
volt1
Scope1
uLc
uCc
To Workspace1
To Workspace2
Clock To Workspace
Slika 2.2.11 Vodovi 1, 2 i 3 priključeni na sabirnice, Simulink forma
9
Rezultati simulacije nacrtani iz MATLAB/Comand Windowa su:
10
x 10
5
9
napon na sabirnicama [V]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.12 Napon na sabirnicama
10
x 10
5
9
napon ispred prigušnice [V]
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
vrijeme [sec]
1.4
1.6
1.8
2
x 10
-4
Slika 2.2.13 Napon ispred prigušnice
10
Download

LABORATORIJSKA VJEŽBA BROJ 2