Chapter 1
Koordinatni sistemi
Koordin´
atarendszerek
1.1
Primer / P´
elda
Taˇcka P ima Dekartove koordinate (1, 1, 1). Koje su koordinate taˇcke P u cilindriˇcnom (ρ, φ, z)-,
odnosno sfernom koordinatnom sistemu (r, φ, θ)?
A P pont Descartes-koordin´at´ai (1, 1, 1). Mik a P pont henger (ρ, φ, z)-, illetve g¨ombkoordin´at´ai
(r, φ, θ)?
Figure 1.1: Cilindriˇcni i sferni koordinatni sistem. Henger- ´es g¨ombkoordin´atarendszer. [1, 2]
Pogledajte (i) slede´ce stranice: [4, 5, 3, 7].
Tekintse meg a k¨ovetkez˝o oldalakat (is): [6, 3, 7].
1.1.1
Reˇ
senje / Megold´
as
Cilindriˇ
cne koordinate / Hengerkoordin´
at´
ak
(x, y, z) = (1, 1, 1)
ρ =
q
x2 + y 2 =
1
√
2
´
CHAPTER 1. KOORDINATNI SISTEMI KOORDINATARENDSZEREK
2
φ = arctg
y
π
= arctg 1 = rad = 45◦
x
4
z = 1
(1.1)
Sferne koordinate / G¨
ombkoordin´
at´
ak
√
x2 + y 2 + z 2 = 3
y
π
φ = arctg = arctg 1 = rad = 45◦
x
4
z
1
θ = arccos = arccos √ ∼ 0.955 rad ∼ 55◦
r
3
r =
1.2
q
(1.2)
Primer / P´
elda
Napiˇsite pravila transformacije sfernih koordinata u cilindriˇcne i obrnuto.
Adja meg a g¨ombkoordin´ata transzform´aci´oit hengerkoordin´at´akba ´es viszont.
1.2.1
Reˇ
senje / Megold´
as
ρ
z
r
θ
Figure 1.2: Odnos sfernih i cilindriˇcnih koordinata. G¨ombi- ´es hengerkoordin´at´ak viszonya.
Na osnovu slike 1.2 vidimo da su sve veliˇcine vezane za pravougli trougao. Na osnovu Pitagorine
teoreme i definicije trigonometrijskih funkcija nalazimo:
A 1.2 ´abra alapj´an l´atjuk, hogy az o¨sszes mennyis´eg egy der´eksz¨og˝
u h´aromsz¨ogh¨oz k¨othet˝o.
Pitagor´asz t´etele ´es a trigonometriai f¨
uggv´enyek defin´ıci´oja alapj´an bel´atjuk, hogy:
Prelazak sa cilindriˇ
cnih na sferne koordinate
Hengerkoordin´
at´
akr´
ol a g¨
ombi koordin´
at´
akra val´
o´
att´
er´
es
r 2 = ρ2 + z 2
(1.3)
´
1.2. PRIMER / PELDA
cos θ =
3
z
z
z
=√ 2
⇒ θ = arccos √ 2
2
r
ρ +z
ρ + z2
(1.4)
Prelazak sa sfernih na cilindriˇ
cne koordinate
G¨
ombi koordin´
at´
akr´
ol a henger koordin´
at´
akra val´
o´
att´
er´
es
z = r cos θ
ρ = r sin θ
(1.5)
(1.6)
4
´
CHAPTER 1. KOORDINATNI SISTEMI KOORDINATARENDSZEREK
Chapter 2
Kinematika
2.1
Veza izmedju geometrije i kinematike:
A geometria ´
es kinematika k¨
oz¨
otti kapcsolat:
Vektor brzine je tangenta putanje kojom se telo kre´ce. Telo se kre´ce po pravoj liniji ukoliko je
vektor brzine paralelan vektoru ubrzanja.
Telo se kre´ce ubrzano na mestima gde se putanja krivi - tamo gde je zakrivljena, odnosno, ubrzanje
je ve´ce na mestima gde se putanja viˇse krivi. Zakrivljenost putanje (c) merimo polupreˇcnikom
krivine (r). Polupreˇcnik krivine je polupreˇcnik one kruˇznice ˇcijim lukom pribliˇzno opisujemo
putanju na datom odseˇcku. Gde je polupreˇcnik krivine manji, zakrivljenost je ve´ca, c = 1r , shodno
tome tokom kretanja na datom odseˇcku putanje ubrzanje je ve´ce. Tamo gde je polupreˇcnik krivine
beskonaˇcan, telo se kre´ce po pravoj liniji.
A sebess´eg(vektor) a p´alya ´erint˝oje. Egy test egyenesvonal´
u mozg´ast v´egez amennyiben a sebess´eg´es a gyorsul´as vektorai p´arhuzamosak.
Ott ahol a p´alya g¨orb¨
ul, a test gyorsul´o mozg´ast v´egez. Ahol a p´alya g¨orb¨
ulete nagyobb, nagyobb
a test gyorsul´asa (is). A p´alya g¨orb¨
ulet´et a g¨orb¨
uleti sug´ar m´eri, azaz annak a k¨ornek a sugara
melynek ´ıv´evel k¨ozel´ıtj¨
uk az adott p´alyaszakaszt. Ahol a g¨orb¨
uleti sug´ar kisebb, a p´alya g¨orb¨
ulete
nagyobb. Ott ahol a g¨orb¨
uleti sug´ar v´egtelen, a test egyenes vonal´
u mozg´ast v´egez.
2.2
´
Proseˇ
cna (ugaona) brzina, Atlagos
(sz¨
og)sebess´
eg
Ukoliko telo predje put s za vreme t, proseˇcna brzina tela je:
Amennyiben egy test s t´avols´agot t id˝o alatt tesz meg, annak a´tlagos sebess´ege:
v=
2.2.1
s
t
(2.1)
Prvi primer, Els˝
o p´
elda
Telo predje dve petine puta brzinom v1 , a ostatak puta brzinom v2 . Izraˇcunajte proseˇcnu brzinu
kojom se telo kretalo.
Egy test az u
´t k´et o¨t¨od´en v1 sebess´eggel halad, a marad´ek u
´ton pedig v2 sebess´eggel. Sz´amolja ki
a test a´tlagos sebess´eg´et az u
´ton.
5
6
CHAPTER 2. KINEMATIKA
Reˇ
senje / Megold´
as
s1 + s2
s1
s1
s2
s2
, v1 =
⇒ t1 = , v2 =
⇒ t2 =
t1 + t2
t1
v1
t2
v2
2
2s
3
3s
3v1 + 2v2
s1 =
s ⇒ t1 =
, s2 = s ⇒ t2 =
, t = t1 + t2 =
s
5
5v1
5
5v2
5v1 v2
s
5v1 v1
v =
=
t
3v1 + 2v2
v =
2.2.2
(2.2)
(2.3)
Drugi primer, M´
asodik p´
elda
Telo koje rotira dve petine ugla predje ugaonom brzinom ω1 , zatim tre´cinu vremena rotira ugaonom
brzinom ω2 , zatim rotira ugaonom brzinom ω3 . Izraˇcunajte proseˇcnu ugaonu brzinu tela.
Egy forg´omozg´ast v´egz˝o test a sz¨og k´et ¨ot¨od´et ω1 sz¨ogsebess´eggel teszi meg, a forg´asi id˝o harmada
alatt ω2 sz¨ogsebess´eggel forog, azut´an pedig ω3 sz¨ogsebess´eggel forog. Sz´amolja ki a test ´atlagos
sz¨ogsebess´eg´et.
Reˇ
senje / Megold´
as
φ1 =
ω1 =
t =
φ =
ω2 + 2ω3
t =
3
ω =
2.3
2
t
φ3
φ, t2 = , ω3 =
⇒ φ3 = ω3 t3
5
3
t3
φ1
2 φ
φ1
⇒ t1 =
=
t1
ω1
5 ω1
2 φ
t
2 φ
2
t1 + t2 + t3 ,
+ + t3 = t ⇒
+ t3 − t = 0 ⇒ t3
5 ω1 3
5 ω1
3
t
3
t
2
φ1 + φ2 + φ3 , φ + ω2 + ω3 t3 = φ, ⇒ − φ + ω2 + ω3
5
3
5
3
3ω1 + 2ω2
φ
5ω1
φ
5ω1
ω2 + 2ω3
=
t
3ω1 + 2ω2
3
2
2 φ
= t−
3
5 ω1
!
2 φ
2
t−
=0
3
5 ω1
(2.4)
Primer na nivou srednje ˇ
skole
K¨
oz´
episkolai szint˝
u p´
elda
Sa ruba bunara se pusti kamen da slobodno pada. Nakon 3 sekunde za zaˇcuje pljusak vode. Kolika
je dubina bunara? Brzina prostiranja zvuka u vazduhu v, je 330 m/s i zanemarite otpor vazduha.
Egy k´
ut perem´et˝ol elenged¨
unk egy k¨ovet. 3 m´asodperc ut´an v´ızcsobban´ast hallunk. Milyen m´ely
a k´
ut, ha a leveg˝o ellen´all´as´at elhanyagolhatjuk ´es a hang sebess´ege v 330 m/s?
2.4
Kinematika: osnovni pojmovi – alapfogalmak
~
Telo se kre´ce po zakonu ~r(t) = ~r0 + α
~ t + β2 t2 , gde su α
~ i β~ konstantni vektori a t oznaˇcava vreme.
~
Egy test az ~r(t) = ~r0 + α
~ t + β t2 t¨orv´eny szerint mozog, ahol α
~ ´es β~ konstans vektorok ´es t az id˝ot
2
2.4. KINEMATIKA: OSNOVNI POJMOVI – ALAPFOGALMAK
7
jel¨oli.
2.4.1
Pitanja/ K´
erd´
esek:
~
1. Koje su merne jedinice koordinata vektora α
~ i β?
~
Melyek az α
~ ´es β vektor komponenseinek a m´ert´ekegys´egei?
2. Odredite brzinu i ubrzanje tela.
Hat´arozza meg a test sebess´eg´et ´es gyorsul´as´at.
~
ˇ je fiziˇcki smisao konstantnih vektora α
3. Sta
~ i β?
4. Koji ugao zaklapa vektor brzine i vektor ubrzanja?
Milyen sz¨oget z´ar/alkot a sebess´eg ´es a gyorsul´as vektora?
5. Koji je uslov pravolinijskog kretanja?
Mi az egyenesvonal´
u mozg´as f¨olt´etele?
6. Nacrtajte putanju tela, pretpostavite da je kretanje dvodimenzionalno.
Rajzolja le a test p´aly´aj´at, t´etelezze f¨ol, hogy a mozg´as k´etdimenzi´os.
2.4.2
Odgovori / V´
alaszok:
1. Poˇsto su komponente vektora ~r dimenzije duˇzine, merna jedinica im je metar, (m). Komponente vektora α
~ t moraju imati dimezije duˇzine, a vreme ima mernu jedinicu sekund (s), te α
~
m
ima dimezije duˇzina/vreme, tj. mernu jedinicu s . Sliˇcno zakljuˇcujemo da je dimenzija vektora β~
duˇzina/vreme2 , tj. da komponente vektora imaju mernu jedinicu sm2 .
Mivel az ~r vektor komponensei hossz´
us´ag dimenzi´oj´
uak, a m´ert´ekegys´eg¨
uk m´eter, (m). Az α
~t
vektor komponensei is hossz´
us´ag dimenzi´oj´
uak, t az id˝ot jel¨oli melynek m´ert´ekegys´ege s, ez´ert
az α
~ vektor komponensei hossz/id˝o dimenzi´oj´
uak, azaz m´ert´ekegys´eg¨
uk ms . Hasonl´o okoskod´assal
meg´allap´ıthatjuk, hogy a β~ vektor dimenzi´oja hossz/id˝o2 , vagyis a m´ert´ekegys´ege sm2 .
2. Brzina je prvi izvod vektora poloˇzaja po vremenu:
A sebess´eg a helyvektor id˝oszerinti els˝o deriv´altja:
~v =
d~r
~
=α
~ + βt
dt
(2.5)
Ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po vremenu:
A gyorsul´as a sebess´eg id˝oszerinti els˝o deriv´altja:
~a =
d~v
= β~
dt
(2.6)
3. Na osnovu jednaˇcine (2.6) zakljuˇcujemo da je β~ konstantno ubrzanje kojim se telo kre´ce. To
~ kao ˇsto smo zakljuˇcili pod taˇckom 1. Na osnovu jednaˇcine (2.5)
potvrdjuje i dimenzija vektora β,
zakljuˆ
vcujemo da je vektor α
~ poˇcetna brzina tela, tj. ~v (0) = α
~ , ˇsto potvrdjuje i dimenzija vektora
α
~ , koja je odredjena pod taˇckom 1.
A (2.6) egyenlet alapj´an meg´allap´ıtjuk, hogy β~ a test ´alland´o gyorsul´asa. Ezt a meg´allap´ıt´ast
8
CHAPTER 2. KINEMATIKA
a vektor m´ert´ekegys´ege is al´at´amasztja, amint azt a 1 pontban mar bel´attuk. Az (2.5) egyenlet
alapj´an arra k¨ovetkeztet¨
unk, hogy α
~ a test kezdeti sebess´ege, azaz ~v (0) = α
~ , mint azt a 1 pontban
m´ar bel´attuk.
4. Ugao vektora brzine i ubrzanja odredjujemo pomo´cu njihovog skalarnog proizvoda. Znamo da
je za bilo koja dva vektora ~a i ~b njihov skalarni proizvod zadat sa ~a · ~b = |~a||~b| cos γ, gde vektori ~a
i ~b zaklapaju ugao γ i | | oznaˇcava duˇzinu vektora, npr. |~b| oznaˇcava duˇzinu vektora ~b. Znamo,
da za duˇzinu vektora ~b vaˇzi |~b|2 = ~b · ~b. Na osnovu jednaˇcina (2.5) i (2.6) koje odredjuju brzinu i
ubrzanja nalazimo:
A sebess´eg ´es gyorsul´as k¨oz¨otti sz¨oget a skal´arszorzat seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg. Tudjuk, hogy
b´armely k´et ~a ´es ~b vektor skal´arszorzata ~a · ~b = |~a||~b| cos γ, ahol γ az ~a ´es ~b vektorok ´altal bez´art
sz´og ´es | | a vektor hossz´at jeloli, pl. |~b| a ~b vektor hossza. Tudjuk, hogy egy ~b vektor |~b| hossz´ara
igaz, hogy |~b|2 = ~b · ~b. A sebess´eget ´es gyorsul´ast meghat´aroz´o (2.5) ´es (2.6) egyenletek alapj´an azt
k¨ovetkeztetj¨
uk, hogy:
cos γ =
~ · β~
(~
α + βt)
~v · ~a
=
~ β|
~
|~v ||~a|
|~
α + βt||
α
~ · β~ + β~ 2 t
= q
q
~ + β~ 2 t2
β~ 2 α
~ 2 + 2~
α · βt
(2.7)
5. Kretanje je pravolinijsko ukoliko su vektori brzine i ubrzanja paralelni.
A mozg´as akkor egyenesvonal´
u, ha a sebess´eg vektor ´es a gyorsul´as vektor p´arhuzamos.
6. U razmatranom primeru se kretanje uvek vrˇsi u ravni odredjenoj vektorima brzine i ubrzanja,
po paraboliˇcnoj putanji. (Zaˇsto?)
A vizsg´alt esetben a mozg´as mind´eg a sebess´eg ´es gyorsul´as ´altal meghat´arozott s´ıkban, parabolikus
p´aly´an t¨ort´enik. (Mi´ert?)
Na slici je prikazana putanja odredjena jednaˇcinama:
Az ´abr´an a k¨ovektez˝o egyenletekkel meghat´arozott p´alya van ´abr´azolva:
x(t) = 1 − 3t + 5t2 ,
y(t) = −2 + 7t − 3t2
tj. u odgovaraju´cim jedinicama / azaz megfelel˝o m´ert´ekegys´egekben
~r0 = (1, −2), α
~ = (−2, 7), β~ = (5, −3)
(2.8)
(2.9)
Telo se kre´ce donjom granom parabole ka njenom temenu, i nastavlja gornjom granom. (Zaˇsto?)
A test a parabola als´o ´ag´an tart annak a cs´
ucs´ahoz, azt´an a f¨ols˝o a´gon mozog tov´abb. (Mi´ert?)
2.5
Primer / P´
elda
Zakon kretanja nekog tela je dat jednaˇcinom (2.10). Odredite trenutnu brzinu i trenutno ubrzanje
tog tela. ~c i ω su odgovaraju´ce konstante. Koje su merne jedinice konstanti ~c i ω?
Egy test mozg´ast¨orv´enye a (2.10) egyenlettel van megadva. Hat´arozza meg a test pillanatnyi
sebess´eg´et ´es pillanatnyi gyorsul´as´at. ~c ´es ω valamilyen a´lland´ok. Melyek az ~c ´es ω m´ert´ekegys´egei?
Funkcija cos kao argument mora da ima neimenovani broj. Poˇsto je merna jedinica vremena
sekunda, proizvod ωt nema dimenzija, a to je mogu´ce ukoliko ω ima dimenzije 1/vreme, tj. mernu
jedinicu 1/s. Svaka komponenta vektora poloˇzaja ima mernu jedinicu metar, stoga i svaka komponenta vektora ~c ima iste merne jedinice.
A cos f¨
uggv´eny argumentuma csak m´ert´ekegys´eg n´elk¨
uli sz´am lehet. Mivel az id˝o m´ert´ekegys´ege
´
2.5. PRIMER / PELDA
9
10
0
−10
−20
−30
−40
−50
0
20
40
60
80
100
120
140
Figure 2.1: Putanja tela zadatog jednaˇcinama (2.8). A (2.8) egyenletekkel megadott p´alya alakja.
pedig m´asodperc, az ωt szorzatnak nincs m´ert´ekegys´ege, ez´ert omega m´ert´ekegys´ege csak 1/s
lehet. A helyvektor minden komponense hossz, m´ert´ekegys´ege m´eter, ez´ert ~c minden komponense
is hossz, m´ert´ekegys´ege m´eter.
~r(t) = ~c cos(ωt)
2.5.1
(2.10)
Reˇ
senje / Megold´
as
Znamo da vaˇzi: / Tudjuk, hogy:
(cos x)0 = − sin x,
(sin x)0 = cos x,
f → cos,
g(t) = ωt
(f (g(x)))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
d~r
= ~c(−1) sin(ωt)ω = −~c ω sin(ωt)
dt
d~v
~a(t) =
= −~c ω cos(ωt)ω = −~c ω 2 cos(ωt)
dt
~v (t) =
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Na slici 2.2 je prikazan primer kretanja opisanog zakonom kretanja 2.10, (sluˇcaj jednodimenzionalnog kretanja).
A 2.2 a´br´an a 2.10 mozg´ast¨orv´eny (´es ami bel˝ole megtudhat´o) van a´br´azolva (egydimenzi´os mozg´as
eset´en).
10
CHAPTER 2. KINEMATIKA
1
r(t)
v(t)
a(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figure 2.2: c = 1m, ω = 0.8 1s . Vertikalna osa je data u odgovaraju´cim jedinicama. A f¨
ugg˝oleges
tengely megfelel˝o m´ert´ekegys´egekben van megadva.
2.6
Primer / P´
elda
Znamo da se vektor poloˇzaja nekog tela menja na osnovu jednaˇcine (2.15). Po kojoj putanji se
telo kre´ce?
Tudjuk, hogy a test helyzet´et le´ır´o helyvektor v´altoz´as´at a (2.15) egyenlet ´ırja le. Milyen p´aly´an
mozog a test?
~r(t) = (a cos(ωt), b sin(ωt))
2.6.1
(2.15)
Reˇ
senje / Megold´
as
Putanju tela opisuje kriva y = f (x). U jednaˇcini krive nije prisutno vreme. Eliminiˇsimo vreme iz
jednaˇcina koje opisuju promenu vektora poloˇzaja i dobi´cemo traˇzenu krivu.
A test p´aly´aj´at az y = f (x) egyenlet adja meg. Az p´alya egyenlet´eben nem szerepel az id˝o. Ha a
mozg´asegyenletben megszabadulunk az id˝of¨
ugg´est˝ol, megkapjuk a keresett g¨orb´et.
x(t) = a cos(ωt), y(t) = b sin(ωt)
y
x
, sin(ωt) =
cos(ωt) =
a
b
(2.16)
(2.17)
Poˇsto vaˇzi trigonometrijski identitet / mivel ´erv´enyes a k¨ovetkez˝o trigonometriai ¨osszef¨
ugg´es:
cos2 α + sin2 α = 1
(2.18)
Zakljuˇcujemo da vaˇzi / arra k¨ovetkeztet¨
unk, hogy
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
ˇsto je jednaˇcina elipse. / ami az ellipszis egyenlete.
(2.19)
´
2.7. PRIMER / PELDA
2.7
11
Primer / P´
elda
Znamo da je trenutno ubrzanje nekog tela dato jednaˇcinom (2.21). Odredite brzinu tog tela ukoliko
je poˇcetna brzina tela ~v0 . Neka je u specijalnom sluˇcaju ubrzanje dato jednaˇcinom (2.20), gde je
~b odgovaraju´ca konstanta.
Tudjuk, hogy egy test pillanatnyi sebess´eg´et a (2.21) egyenlet adja meg. Amennyiben a test kezdeti
sebess´ege ~v0 , hat´arozza meg annak pillanatnyi sebess´eg´et. Speci´alis esetben a gyorsul´ast a (2.20)
egyenlet hat´arozza meg, ahol ~b egy megfelel˝o konstans.
~a(t) = ~b tn
(2.20)
2.7.1
Reˇ
senje / Megold´
as
Z t
Z t
Z ~v(t)
d~v
d~v =
~a(t)dt ⇒ ~v (t) − ~v0 =
~a(t)dt
~a(t) =
⇒ d~v = ~a(t)dt ⇒
dt
0
0
~v0
Z t
Z t
tn+1
n
n
~
~
~
t dt = ~v0 + b
b t dt = ~v0 + b
~v (t) = ~v0 +
n+1
0
0
2.8
(2.21)
(2.22)
Primer / P´
elda
ˇ moˇzemo da zakljuˇcimo o ubrzanju tela?
Telo se kre´ce u ravni. Sta
A test s´ıkban mozog. Mit a´ll´ıthatunk annak gyorsul´as´ar´ol?
2.8.1
Reˇ
senje / Megold´
as
Poˇsto je brzina tangenta na putanju, zakljuˇcujemo da su svi vektori brzina takodje u ravni kretanja
tela. To povlaˇci za sobom da su i svi priraˇstaji brzina takodje u ravni kretanja, a poˇsto je ubrzanje
proporcionalno priraˇstaju brzine, znaˇci da je i vektor ubrzanja u ravni kretanja. Drugim reˇcima,
ako bi ubrzanje bilo van ravni kretanja, onda se ni telo ne bi kretalo u ravni.
Mivel a sebess´eg a p´alya ´erint˝oje, a sebess´eg vektor a mozg´as s´ıkj´aban van. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy
a sebess´eg n¨ovekm´enyek is a mozg´as s´ıkj´aban vannak, ´es mivel a gyorsul´as ar´anyos a sebess´eg
n¨ovekm´ennyel, arra k¨ovetkeztet¨
unk, hogy a gyorsul´as is a p´alya s´ıkj´aban van. M´assz´oval, ha a
gyorsul´as kimutatna a mozg´as s´ıkj´ab´ol, akkor a mozg´as sem lenne s´ıkmozg´as.
2.9
Krivina, G¨
orb¨
ulet
y = f (x) kriva, g¨orbe
3
2
(1 + y 02 )
polupreˇcnik krivine, g¨orb¨
uleti sug´ar
y 00
1
κ =
zakrivljenost, g¨orb¨
ulet
R
y = sin(x), y 0 = cos(x), y 00 = − sin(x)
R =
2
R = −
(1 + cos (x))
sin(x)
Videti sliku 2.3. L´asd a 2.3 ´abr´at.
3
2
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
12
CHAPTER 2. KINEMATIKA
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
sin(x)
1/r(x)
−3
−2
−1
0
1
2
3
Figure 2.3: Primer sinusne funkcije i zakrivljenosti. Sz´ınusz f¨
uggv´eny ´es a g¨orb¨
ulete.
2.10
Primer/P´
elda:
Kinematika rotacije, 1 /Forg´
omozgas kinetik´
aja, 1
Zemlja se obrne oko svoje ose za (T =) 23 ˇcasa 56 minuta i 4 sekunde. Polupreˇcnik Zemlje meren
kod ekvatora iznosi 6,38 ·106 m, grad Subotica se nalazi na 46◦ 06’ 01” severne geografkse ˇsirine.
Izraˇcunajte tangencijalnu brzinu Zemljine rotacije u Subotici, odnosno odgovaraju´ce centripetalno
ubrzanje.
A F¨olgoly´o 23 ´ora 56 perc ´es 4 m´asodperc alatt fordul meg saj´at tengelye k¨or¨
ul. A F¨old egyenl´ıt˝on´el
6
◦
m´ert sugara 6,38 ·10 m, Szabadka v´aros pedig az ´eszaki sz´eless´eg 46 06’ 01” -n´el helyezkedik
el. Sz´amolja ki a F¨old forg´asa okozott ´erint˝oleges sebess´eget Szabadk´an, illetve a megfelel˝o centripet´alis gyorsul´ast.
2.10.1
Reˇ
senje / Megold´
as
T = 23 · 60 · 60s + 56 · 60s + 4s = 86164s.
r
R
θ
ˇ
Figure 2.4: Sematski
prikaz geografske ˇsirine. F¨oldrajzi sz´eless´eg sematikus a´br´azol´asa.
Neka je R Zemljin polupreˇcnik, a θ geografska ˇsirina (ugao u odnosu na ekvator) Subotice.
´
´
´
2.11. PRIMER/PELDA:
KINEMATIKA ROTACIJE, 2 /FORGOMOZGAS
KINETIKAJA,
2 13
Rastojanje r izemdju grada Subotice i Zemljine ose rotacije iznosi r = R sin π2 − θ = R cos θ.
Rastojanje koje tokom jednog obrta predje taˇcka na geografskoj ˇsirini θ iznosi s = 2πr te je
6
m
tangencijalna brzina v = 2πR Tcos(θ) = 6.2831853·6,38·10
≈ 46.5 ms . Centripetalno ubrzanje iznosi
86164
s
2
2
a = vr = 4π RTcos(θ)
.
2
Legyen R a F¨old sugara, θ pedig Szabadka sz´eless´egi foka (az egyenl´
oh¨oz viszony´ıtott sz¨og).
ıt˝
π
Szabadka ´es a F¨old forg´astengelye k¨oz¨otti t´avols´ag r = R sin 2 − θ = R cos θ. Egy forg´as alatt
megtett t´avols´ag θ sz´eless´egen s = 2πr, ez´ert az ´erint˝oleges sebess´eg v =
2
2
gyorsul´as a = vr = 4π RTcos(θ)
.
2
2.11
2πR cos(θ)
.
T
A centripet´alis
Primer/P´
elda:
Kinematika rotacije, 2 /Forg´
omozgas kinetik´
aja, 2
Toˇcak se kotrlja po podlozi bez proklizavanja. Osovina toˇcka se kre´ce brzinom v0 u odnosu na
podlogu. Kojim brzinama u odnosu na podlogu se kre´cu taˇcke a, b, c i d na slici 2.5?
A ker´ek cs´
usz´asmentesen gurul a talajon. A ker´ek tengely´enek a talajhoz viszony´ıtott sebess´ege
v0 . Mi a 2.5 k´epen megjel¨olt a, b, c ´es d pontok talajhoz viszony´ıtott sebess´ege?
a
b
d
c
Figure 2.5: Taˇcke na obodu toˇcka sa odgovaraju´cim brzinama. A ker´ek perem´en lev˝o pontok a
megfelel˝o sebess´egekkel.
2.11.1
Reˇ
senje / Megold´
as
Brzina svake taˇcke na obodu toˇcka u odnosu na osovinu iznosi v0 . Poˇsto toˇcak ne proklizava, taˇcka
c u odnosu na podlogu je nepokretna, stoga joj je brzina 0. Osovina se u odnosu na podlogu
kre´ce brzinom v0 , a taˇcka a u odnosu na osovinu istom tom brzinom, tako da je brzina taˇcke a u
odnosu na podlogu 2v0 . U taˇckama b i d brzine imaju horizontalnu
i vertikalnu komponentu, obe
√
su jednake v0 , tako da je rezultuju´ca brzina po intenzitetu 2v0 . U taˇcci b vertikalna kompenenta
brzine je uperena naviˇse, a u taˇcci d naniˇze.
A ker´ek perem´en lev˝o pontok tengelyhez viszony´ıtott sebess´ege v0 . Mivel a ker´ek nem cs´
uszik,
14
CHAPTER 2. KINEMATIKA
a c pont a talajhoz k´epest nyugalomban van, sebess´ege 0. A tengely a talajhoz viszony´ıtva v0
sebess´eggel halad, az a pont a tengelyhez viszony´ıtva ugyan´
ugy v0 sebes´eggel halad, ez´ert a talajhoz viszony´ıtva az a pont 2v0 sebess´eggel halad. b ´es d pontokban a sebess´e√
gnek f¨
ugg˝oleges ´es
v´ızszintes o¨sszetev˝oje is van. Mindkett˝o v0 , ez´ert az ered˝o sebess´eg intenzit´asa 2v0 . A b pontban
a f¨
ugg˝oleges ¨osszetev˝o f¨olfel´e, a d pontban lefel´e mutat.
2.12
Primer/P´
elda:
Kinematika rotacije, 3 /Forg´
omozgas kinetik´
aja, 3
Kupa visine h i polupreˇcnika osnovice r je poloˇzena i poduprta tako da joj je osa paralelna ravnoj
podlozi. U taˇcci u kojoj je kupa je poduprta nema trenja.
Egy h magass´ag´
u, r sugar´
u k´
up u
´gy van al´at´amasztva, hogy a tengelye p´arhuzamos a talajjal ´es
s´
url´od´as n´elk¨
ul foroghat az al´at´amaszt´asi pont k¨or¨
ul.
r
ω1+ ω 2
ω2
ω1
h
Figure 2.6: Skica / V´azlat.
2.12.1
Pitanja / K´
erd´
esek:
1. Koje su ose rotacija?
Melyek a forg´asi tengelyek?
2. Koja je veza izmedju ugaonih brzina?
Mi az o¨sszef¨
ugg´es a sz¨ogsebess´egek k¨oz¨ott?
3. Koja je trenutna osa rotacije?
Melyik a pillanatnyi forg´astengely?
4. Koliko je ugaono ubrzanje?
Mekkora a sz¨oggyorsul´as?
2.12.2
Odgovori / V´
alaszok:
1. Jedna (promenljiva) osa rotacije je osa kupe, druga (nepromenljiva) osa rotacije je normalna
na osu kupe i prolazi kroz njeno teme.
Az egyik (nem ´alland´o) forg´astangely a k´
up tengelye, a m´asik (´alland´o) forg´astangely a k´
up
´
´
´
2.12. PRIMER/PELDA:
KINEMATIKA ROTACIJE, 3 /FORGOMOZGAS
KINETIKAJA,
3 15
tengely´ere mer˝oleges ´es a´thalad a k´
up cs´
ucs´an.
2. Tangencijalna brzina taˇcke na obodu kupe je ista bez obzira da li je posmatramo duˇz jedne ili
druge ose rotacije. Na osnovu toga i poznate jednaˇcine (3.10):
A k´
up szeg´ely´en egy pont ´erint˝osebess´ege ugyanakkora, f¨
uggetlen¨
ul att´ol, hogy melyik forg´astengely
menti forg´ast vizsg´aljuk. Ez´ert az ismert (3.10)-es egyenlet alapj´an:
~v = ω
~ × ~r,
v = ωr sin θ
(2.28)
dobijamo veze izmedju ugaonih brzina i tangencijalne brzine:
megkapjuk a sz¨ogsebess´egek k¨oz¨otti kapcsolatot:
v = ω1 r,
v = ω2 h
(2.29)
tj. / azaz
h
ω1
=
ω2
r
(2.30)
3. Na osnovu jednaˇcine (2.30) trenutna osa rotacije prolazi kroz teme kupe i kroz taˇcku u kojoj
kupa dodiruje podlogu.
A (2.30)-as egyenlet alapj´an a pillanatnyi forg´astengely a´thalad a k´
up cs´
ucs´an ´es azon a ponton
kereszt¨
ul, amelyben a k´
up ´erinti a talajt.
4. Ugaono ubrzanje je vezano za rotaciju vektora ω1 oko vertikalne ose ugaonom brzinom ω2 .
~ iznosi
Znaju´ci da je infinitezimalni pomeraj vektora usled rotacije za infinitezimalni ugao dφ
A sz¨oggyorsul´as az ω1 f¨
ugg˝oleges tengely k¨or¨
uli forg´as´ab´ol ered. Tudva, hogy egy vektor infinitezim´alis elfordul´as miatti infinitezim´alis n¨ovekm´enye
~ × ~r
d~r = dφ
(2.31)
~
Poˇsto je vektor ~r proizvoljan, u jednaˇcini (2.31) na mesto ~r uvrstimo ω1 , koje se rotira za ugao dφ
oko vertikalne ose, te dobijamo infinitezimalni priraˇstaj vektora ω1 :
~ sz¨oggel
Mivel az ~r tetsz˝oleges, a (2.31)-es egyenletben az ~r hely´ere ω1 -et helyettes´ıt¨
unk, ´es ez dφ
fordul el a f¨
ugg˝oleges tengely k¨or¨
ul, ´ıgy megkapjuk ω1 infinitezimalis n¨ovekm´eny´et:
~ × ω~1
dω~1 = dφ
(2.32)
Podelimo jednaˇcinu (2.32) sa infinitezimalnim vremenskim intervalom dt:
Osszuk el az (2.32)-¨os egyenletet a dt infinitezim´alis id˝ointervallumal:
~
dφ
dω~1
β~ =
=
× ω~1 = ω2 × ω1
dt
dt
(2.33)
16
CHAPTER 2. KINEMATIKA
Chapter 3
Pokretni i nepokretni referentni sistemi
Mozg´
o´
es mozdulatlan vonatkoztat´
asi
rendszerek
3.1
Primer / P´
elda
Fiziˇcke pojave su iste bez obzira iz kog referentnog sistema se posmatraju, ali njihov opis moˇze
biti razliˇcit, i zavisi od referentnog sistema koji koristimo.
A fizikai jelens´egek nem f¨
uggenek att´ol, hogy milyen vonatkoztat´asi rendszerb˝ol figyelj¨
uk meg o˝ket,
de a fizikai jelens´egek le´ır´asa f¨
ugghet a vonatkoztat´asi rendszert˝ol.
3.1.1
Zadatak / Feladat
Opiˇsite transformacije vremena, vektora poloˇzaja, brzine i ubrzanja izmedju dva proizvoljna referentna sistema.
Adja meg az id˝o, hely-, sebess´eg- ´es gyorsul´as vekor transzform´aci´ojat k´et tetsz˝oleges vonatkoztat´asi rendszer k¨oz¨ott.
3.1.2
Reˇ
senje / Megold´
as
Transformacija vremena / Id˝
otranszform´
aci´
o
Posmatrajmo dva referentna sistema, A i B. U klasiˇcnoj fizici vreme protiˇce jednako u svim
referentnim sistemima.
Vizsg´aljunk k´et vonatkoztat´asi rendszert, A-t ´es B-t. Klasszikus fizik´aban az id˝o egyform´an m´
ulik
minden vonatkoztat´asi rendszerben.
tA = tB
(3.1)
Transformacija vektora poloˇ
zaja / Helyvektor tanszform´
aci´
o
Neka je poloˇzaj taˇcke P u prvom sistemu zadat vektorom poloˇzaja ~rA , a u drugom sistemu je
poloˇzaj iste taˇcke zadat vektorom poloˇzaja ~rB . Veza izmedju dva vektora poloˇzaja je:
17
´ RENDSZEREK
CHAPTER 3. REFERENTNI SISTEMI / VONATKOZTATASI
18
P
rB
rA
A
B
r AB
Figure 3.1: Sistem B je u opˇstem poloˇzaju u odnosu na sistem A. Poloˇzaj taˇcke P je proizvoljan.
A B rendszer tetsz˝olegesen helyezkedik el az A rendszerhez k´epest. A P pont helyzete tetsz˝oleges.
Legyen a P pont helyvektora az els˝o rendszerben ~rA , a m´asodikban pedig ugyanennek a pontnak
a helyvektora ~rB . A helyvektorok k¨oz¨otti kapcsolat:
~rA = ~rAB + ~rB
(3.2)
gde ~rAB oznaˇcava vektor poloˇzaja koordinatnog poˇcetka sistema B u sistemu A.
ahol ~rAB a B rendszer orig´oj´anak a helyvektora az A rendszerb˝ol n´ezve.
Malo detaljnije, pretpostavimo da su jediniˇcni vektori duˇz koordinatnih osa u sistemu B zadati
trojkom vektora (e1 , e2 , e3 ), tj. da se u referentnom sistemu B vektor ~rB moˇze zapisati u obliku:
Kicsit r´eszletesebben, t´etelezz¨
uk f¨ol, hogy a B rendszerben a koordin´ata tengelyek egys´egvektorai
(e1 , e2 , e3 ). Ekkor a B rendszerben az ~rB vektor a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o f¨ol:
~rB =
3
X
xi~ei
(3.3)
i=1
Transformacija brzine / Sebess´
eg tanszform´
aci´
o
Brzina je prvi izvod vektora poloˇzaja po vremenu, tako da nalazimo:
A sebess´eg a helyvektor id˝oszerinti els˝o deriv´altja, teh´at:
d~rAB
d~rA
=
+
dt
dt
brzina translacije
eltol´asi sebess´eg
rotacija
forgat´as
z }| {
3
X
dxi
z }| {
3
X
d~ei
i=1
|
dt
~ei
d
= dt
+
xi
i=1
{z
P3
(
i=1
xi~ei )
dt
}
(3.4)
´
3.1. PRIMER / PELDA
19
Prvi ˇclan na desnoj strani jednaˇcine (3.4) opisuje brzinu pomeranja - translacije koordinatnog
poˇcetka sistema B u sistemu A.
A (3.4) egyenlet jobboldal´an az els˝o tag a B rendszer orig´oj´anak a sebess´ege az A rendszerben.
Drugi ˇclan na desnoj strani jednaˇcine (3.4) opisuje brzinu translacije 1 taˇcke P vidjene iz sistema
B, tj. to je brzina ~vB . 2
A (3.4) egyenlet jobboldal´an a m´asodik tag a P pont eltol´asi 3 sebess´ege ahogyan azt a B rendszerb˝ol l´atni, vagyis az a ~vB sebess´eg. 4
Tre´ci ˇclan na desnoj strani jednaˇcine (3.4) opisuje rotaciju 5 taˇcke P vidjenu iz sistema B.
A (3.4) egyenlet jobboldal´an a harmadik tag a P pont forg´as´at ´ırja le 6 , ahogyan azt a B rendszerb˝ol l´atni.
Primetimo da su ~ei jediniˇcni vektori, te im se moˇze menjati samo pravac, ali ne i duˇzina.
Vegyuk ´eszre, hogy az ~ei -k egys´egvektorok, ez´ert azok hossza nem, csak az ir´anyuk v´altozhat.
Znaˇci, za transformaciju brzina nalazimo:
Ezek alapj´an a sebess´egtranszform´aci´o:
~vA = ~vAB + ~vB +
3
X
i=1
xi
d~ei
dt
(3.5)
gde je ~vA brzina taˇcke P u sistemu A, ~vAB je brzina sistema B u odnosu na sistem A i ~vB je
brzina taˇcke P vidjena iz sistema B.
ahol ~vA a P pont sebess´ege az A rendszerben, ~vAB a B rendszer sebess´ege az a A rendszerben/az
A rendszerhez viszony´ıtva ´es ~vB a P pont sebess´ege a B rendszerben.
Zadnji ˇclan u jednaˇcini (3.5) je posledica rotacije sistema B vidjene iz sistema A, i u tom smislu
taj ˇclan nije vezan za kretanje taˇcke P , nego je posledica kretanja sistema B u odnosu na sistem
A.
A (3.5) egyenlet jobboldal´an az utols´o tag annak a k¨ovetkezm´enye, hogy a B rendszer az A rendszerhez viszony´ıtva forog(hat). Ebben az ´ertelemben, ennek a tagnak nincs k¨oze a P pont mozg´as´ahoz,
hanem az a B rendszer A rendszerhez viszony´ıtott mozg´as´anak, pontosabban forg´as´anak a k¨ovetkezm´enye.
Transformacija ubrzanja / Gyorsul´
as transzform´
aci´
o
Ubrzanje je prvi izvod (vektora) brzine po vremenu. Izraˇcunajmo prvi izvod po vremenu jednaˇcine
(3.5), nalazimo:
A gyorsul´as a sebess´eg id˝oszerinti els˝o deriv´altja. Sz´amoljuk ki a (3.5) egyenlet deriv´altj´at:
3
d~vAB d~vB X
d
d~ei
d~vA
=
+
+
xi
dt
dt
dt
dt
i=1 dt
=
1
3
3
d~vAB d~vB X
dxi d~ei X
d2~ei
+
+
+
xi 2
dt
dt
dt
i=1 dt dt
i=1
Jer ovaj ˇclan ne zavisi od promene pravaca vektora ~ei !
je i-ta komponenta brzine taˇcke P u sistemu B.
Mert ez a tag nem f¨
ugg az ~ei vektorok ir´
anyv´altoz´as´at´ol!
4 dxi
a
P
pont
sebess´
e
g´
e
nek
i.-dik
komponense
a B rendszerben.
dt
5
Jer ovaj ˇclan zavisi od promene pravca vektora ~ei !
6
Mert ez a tag f¨
ugg az ~ei vektorok ir´
anyv´
altoz´as´at´ol!
2 dxi
dt
3
!
(3.6)
20
´ RENDSZEREK
CHAPTER 3. REFERENTNI SISTEMI / VONATKOZTATASI
Poˇsto vaˇzi / Mivel:
3
3
3
X
X
d~vB
d X
dxi
d 2 xi
dxi d~ei
~
~
=
ei =
e
+
i
2
dt
dt i=1 dt
i=1 dt
i=1 dt dt
!
(3.7)
jednaˇcinu (3.6) moˇzemo pisati u obliku:
az (3.6) egyenletet a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhatjuk f¨ol:
3
3
3
X
X
d~vAB
dxi d~ei X
d2 xi
d~vA
d2~ei
~
=
+2
+
e
+
x
i
i
2
dt
dt
dt2
i=1 dt dt
i=1 dt
i=1
(3.8)
ili explicitno: / vagy explicit alakban:
inercijalno ubrzanje
tehetetlens´egi gyorsul´as
z
~aA = ~aB + ~aAB +
2
}|
3
X
dxi d~ei
i=1 dt dt
|
{z
+
3
X
i=1
2
xi
{
d ~ei
dt2
(3.9)
}
Koriolisovo ubrzanje
Coriolis-f´ele gyorsul´as
~aA je ubrzanje taˇcke P u sistemu A, ~aB je ubrzanje taˇcke P u sistemu B, ~aAB je ubrzanje koP
ei
i d~
ordinatnog poˇcetka sistema B u odnosu na sistem A, 2 3i=1 dx
je Koriolisovo ubrzanje, koje
P3 dt d2dt~ei
je posledica rotacije sistema B u odnosu na sistem A, i i=1 xi dt2 je ubrzanje koje je posledica
ugaonog ubrzanja sistema B u odnosu na sistem A. Pogledajte kako istiˇce voda na severnoj, kako
na juˇznoj hemisferi, odnosno na ekvatoru, i kakve to ima veze sa Koriolisovim ubrzanjem, [9], [10].
~aA a P pont gyorsul´asa az A rendszerben, ~aB a P pont gyorsul´asa a B rendszerben, ~aAB a B
P
ei
i d~
rendszer orig´oj´anak gyorsul´asa az A rendszerben, 2 3i=1 dx
az u
´n. Coriolis-gyorsul´as, mely a B
dt dt
P
2
rendszer A rendszerhez viszony´ıtott forg´as´anak a k¨ovetkezm´enye, m´ıg 3i=1 xi ddt~e2i az a gyorsul´as,
mely a B rendszer A rendszerhez viszony´ıtott sz¨oggyorsul´as´anak a k¨ovetkezm´enye. N´ezze meg,
hogyan folyik ki a v´ız az ´eszaki- ´es d´eli f´eltek´en, illetve az egyenl´ıt˝on, ´es ez hogyan f¨
ugg o¨ssze a
Coriolis-gyorsul´assal, [9], [10].
3.2
Primedba / Megjegyz´
es
Vaˇzno je primetiti da je kretanje taˇcke P nevezano za kretanje referentnog sistema. Taˇcka P , kao i
referentni sistem moˇze da se kre´ce proizvoljno. Kao ilustraciju, pogledajte npr. video [11]. Zemlja
se ne kre´ce drukˇcije nego inaˇce, samo se posmatraˇc kre´ce (pomalo) neuobiˇcajeno. Mi smo samo
zadali veze izmedju opisa kretanja referentnog sistema i kretanja taˇcke. Viˇse o ovoj temi moˇze se
na´ci u wikipediji, [8].
Fontos tudni, hogy a P pont mozg´asa ´es a vonatkoztat´asi rendszer mozg´asa egym´ast´ol f¨
uggetlen.
Mindkett˝o teljesen tetsz˝oleges. Erre egy p´elda itt tal´alhat´o: [11]. A F¨old ugyan´
ugy mozog mint
m´askor, csak a megfigyel˝o mozog (kiss´e) szokatlanul. Mi csak a k´et mozg´as le´ır´asa k¨ozti kapcsolatokat ´ırtuk f¨ol. Err˝ol a t´em´ar´ol t¨obbet a wikip´edi´aban lehet tal´alni. [8].
U okviru klasiˇcne fizike dalje vaˇzi, da je i masa tela invarijantna, tj. da ne zavisi od referentnog
sistema, ili od stanja/kretanja posmatraˇca, tj. mA = mB .
A klasszikus fizika keretein bel¨
ul tov´abb´a az is igaz, hogy egy test t¨omege invari´ans, azaz nem f¨
ugg
a vonatkoztat´asi rendszert˝ol, azaz nem f¨
ugg a megfigyel˝o mozg´as´at´ol/´allapot´at´ol, vagyis mA = mB .
´ RENDSZEREK, BIS
3.3. REFERENCIJALNI SISTEMI, BIS / VONATKOZTATASI
3.3
21
Pokretni i nepokretni referencijalni sistemi, bis
Mozg´
o´
es mozdulatlan vonatkoztat´
asi rendszerek, bis
Uobiˇcajeno je da se sistem A zove nepokretni sistem, a sistem B pokretni sistem.
Szok´as az A rendszert mozdulatlan-, ´es a B rendszert mozg´o rendszernek nevezni.
Jednaˇcinu (3.5) koja opisuje transformaciju brzina moˇzemo napisati i u drugom obliku, koriste´ci
pojam ugaone brzine. Poˇsto znamo da vaˇzi:
A sebess´eg transzform´aci´okat le´ır´o (3.5) egyenletet m´askeppen is f¨ol tudjuk ´ırni, f¨olhaszn´alva a
sz¨ogsebess´eg fogalm´at. Mivel tudjuk, hogy:
d~r
= ~v = ω
~ × ~r
(3.10)
dt
zakljuˇcujemo da promena pravaca jediniˇcnih vektora ~ei moˇze da se napiˇse u istom obliku:
arra k¨ovetkeztet¨
unk, hogy az ~ei egys´egvektrok is hasonl´oan viselkednek:
d~ei
=ω
~ × ~ei
(3.11)
dt
Koriste´ci pojam ugaone brzine (~ω ) jednaˇcina (3.5) koja opisuje transformaciju brzina je slede´ceg
oblika:
A sz¨ogsebess´eg (~ω ) seg´ıts´eg´evelaz egyszer m´ar f¨ol´ırt (3.5) sebess´eg transzform´aci´o a k¨ovetkez˝o
alakot o¨lti:
~vA = ~vAB + ~vB +
3
X
xi (~ω × ~ei )
(3.12)
i=1
I transformacije ubrzanja moˇzemo napisati koriste´ci pojmove ugaone brzine i ugaonog ubrzanja
~ Znamo da vaˇzi:
(β).
Hasonl´ok´eppen ´ırhatjuk f¨ol a gyorsul´as transzform´aci´ot is, f¨olhaszn´alva a sz¨ogsebess´eg ´es a sz¨oggyor~ fogalmait. Tudjuk, hogy:
sul´as (β)
d~ω
d2~r
= ~a =
×~r + ω
~ × (~ω × ~r)
2
dt
dt
|{z}
(3.13)
~
=β
Poˇsto prethodni izraz vaˇzi za bilo koji vektor ~r, on vaˇzi i za jediniˇcne vektore ~ei .
Mivel az el˝oz˝o kifejez´es b´armilyen ~r vektorra igaz, u
´gy az igaz az ~ei egys´egvektorokra is.
Koriste´ci pojmove ugaone brzine i ugaonog ubrzanja, jednaˇcinu za transformaciju ubrzanja (3.9)
moˇzemo pisati (i) u slede´cem obliku:
A sz¨ogsebess´eg ´es a sz¨oggyorsul´as seg´ıts´eg´evel a (3.9) gyorsul´as transzform´acio a k¨ovetkez˝o alakot
o¨lti:
inercijalno ubrzanje
tehetetlens´egi gyorsul´as
z
~aA = ~aB + ~aAB +
2
3
X
}|
vi ω
~ × ~ei
i=1
|
+
3 X
i=1
{z
}
Koriolisovo ubrzanje
Coriolis-f´ele gyorsul´as
{
xi β~ × ~ei + ω
~ × (~ω × ~ei )
(3.14)
22
3.3.1
´ RENDSZEREK
CHAPTER 3. REFERENTNI SISTEMI / VONATKOZTATASI
Joˇ
s jedan primer / M´
eg egy p´
elda
Neka se telo u nepokretnom referentnom sistemu kre´ce konstantnom brzinom po pravoj y = ax+b.
Po kojoj krivoj se to telo kre´ce u sistemu koji se rotira konstantnom ugaonom brzinom ω, a njegova
osa rotacije se nalazi u koordinatnom poˇcetku nepokretnog referentnog sistema?
Mozdulatlan vonatkoztat´asi rendszerben egy test az y = ax + b egyenesen mozog egyenletes
sebess´eggel. Milyen g¨orbe ment´en mozog ez a test egy a´lland´o ω sz¨ogsebess´eggel forg´o vonatkoztat´asi rendszerb˝ol n´ezve, ha a forg´o rendszer forg´astengelye a mozdulatlan vonatkoztat´asi rendszer
orig´oj´aban van?
Neka su koordinate taˇcke P = (x, y) u nepokretnom sistemu. Ukoliko zarotiramo koordinatni
sistem za ugao θ, nove koordinate taˇcke P ´ce biti (x0 , y 0 ):
Legyenek a P pont koordin´at´ai (x, y) a mozdulatlan vonatkoztat´asi rendszerben. Ha a pontot θ
sz¨oggel forgatjuk el, az u
´j koordin´at´ai (x0 , y 0 ) lesznek:
x0
y0
!
=
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
!
x
y
!
(3.15)
Ako znamo da se telo kre´ce po pravoj y = ax + b, za svako x znamo i y koordinatu. Uvrstimo
to u jednaˇcinu 3.15. Nakon uvrˇstavanja dobijamo jednaˇcinu putanje u koordinatnom sistemu
rotiranom za ugao θ:
Ha tudjuk, hogy a test az y = ax + b egyenesen mozog, minden x koordin´at´ahoz meg tudjuk
feleltetni az y koordin´at´at. A (3.15) egyenletbe val´o helyettes´ıt´es ut´an azt kapjuk, hogy:
x0
y0
!
=
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
!
x
ax + b
!
(3.16)
Ukoliko se ugao θ menja po zakonu θ = ωt, i brzina duˇz x ose iznosi vx , za jednaˇcinu putanje u
pokretnom koordinatnom sistemu dobijamo:
Ha a θ sz¨og id˝obeli v´altoz´asa θ = ωt, ´es a test sebess´eg´enek az x komponense vx , a forg´o rendszerben
a p´alya egyenlete:
x0
y0
!
=
cos ωt − sin ωt
sin ωt
cos ωt
!
vx t
avx t + b
!
Izgled putanje je prikazan na slikama (3.2, 3.3).
A p´alya alakja a (3.2, 3.3) ´abr´akon l´athat´o.
Primer skripta za gnuplot, [12, 13] program kojim su nacrtane i slike (3.2, 3.3).
Egy gnuplot szkript p´elda, [12, 13], amellyel a (3.2, 3.3) a´br´ak is meg lettek rajzolva.
# prava y=ax+b egyenes
# c: ugaona brzina / sz¨
ogsebess´
eg
# d: x komponenta brzine / a sebess´
eg x komponense
a=1
b=2
c=4
d=1
set parametric
set xrange [-10:10]
(3.17)
´ RENDSZEREK, BIS
3.3. REFERENCIJALNI SISTEMI, BIS / VONATKOZTATASI
set yrange [-10:10]
set size ratio 1
plot [-6:6] d*t*(cos(c*t)-a*sin(c*t)) - b*sin(c*t), /
d*t*(a*cos(c*t)+sin(c*t))+b*cos(c*t) t ""
pause -1
10
5
0
−5
−10
−10
−5
0
5
Figure 3.2: ω = 4 s−1 , vx = 1 ms , a = 1, b = 2. y = ax + b, t ≤ 0, t ≥ 0.
10
23
´ RENDSZEREK
CHAPTER 3. REFERENTNI SISTEMI / VONATKOZTATASI
24
10
5
0
−5
−10
−10
−5
0
5
Figure 3.3: ω = 4 s−1 , vx = 1 ms , a = 1, b = 0. y = ax, t ≤ 0, t ≥ 0.
10
Chapter 4
Dinamika
4.1
Primer primene Njutnovih zakona - P´
elda a Newton
t¨
orv´
enyek alkalmaz´
as´
ara
Odredite ugao pri kome se telo koje klizi niz polusferu odvoji od nje. Koeficijent trenja izemdju
tela i polusfere je k. U poˇcetku se telo nalazilo na vrhu polusferem poˇcetna brzina mu je bila 0.
Najmanje koliki treba da bude koeficijent trenja da se telo ne bi odvojilo od polusfere?
Hat´arozza meg azt a sz¨oget amelyn´el egy f´elg¨omb¨on cs´
usz´o test lev´alik egy felg¨ombr˝ol, amennyiben
a test ´es a f´elg¨omb k¨oz¨otti s´
url´od´asi egy¨
utthat´o k. A kezdeti pillanatban a test nyugalomban volt
a f´elg¨omb tetej´en.
Legal´abb mekkora kell, hogy legyen k, hogy a test ne v´aljon le a f´elg¨ombr˝ol?
4.1.1
Reˇ
senje Megold´
as
Primetimo da se kretanje vrˇsi u vertikalnoj ravni duˇz luka polusfere.
Vegy¨
uk ´eszre, hogy a mozg´as a f¨
ugg˝oleges s´ıkban t¨ort´enik, a f´elg¨omb ´ıve ment´en.
Tangencijalna i normalna komponenta sile teˇze, odnosno sila trenja F su:
F
R
N
θ
T
Q
r
θ
Figure 4.1: Sile koje deluju na telo. A testre hat´o er˝ok.
A neh´ezs´egi er˝o ´erint˝oleges ´es mer˝oleges ¨osszetev˝oje, illetve a s´
url´od´asi er˝ok (F ):
T = mg sin θ,
N = mg cos θ,
F = kN = kmg cos θ
(4.1)
Duˇz tangencijalnog pravca telo ubrzava tangencijalna komponenta sile teˇze, dok ga sila trenja
koˇci. Jednaˇcina kretanja duˇz tangencijalnog pravca je:
25
26
CHAPTER 4. DINAMIKA
Az ´erint˝oleges ir´any ment´en test a neh´ezs´egi er˝o ´erint˝oleges o¨sszetev˝oj´enek hat´as´ara gyorsul, m´ıg
´
a s´
url´od´asi er˝o lass´ıtja. Erint˝
oleges ir´anyban a mozg´asegyenlet:
m
dv
= T − F = mg(sin θ − k cos θ)
dt
(4.2)
Dok telo klizi niz polusferu na njega deluje i sila reakcije polusfere R. Znaju´ci opˇsti izraz za
normalnu kompenentu ubrzanja, jednaˇcina kretanja duˇz normalnog pravca je:
Am´ıg a test a f´elg¨omb¨on van, arra a f´elg¨omb ellenhat´asa (R) is hat. Ismerve a mer˝oleges gyorsul´as
kifejez´es´et, a mer˝oleges ir´any´
u mozg´asegyenlet:
m
v2
= mg cos θ − R
r
(4.3)
Zavisnost brzine od vremena na levoj strani jednaˇcine (4.2) pretvorimo u zavisnost od ugla.
A sebess´eg id˝of¨
ugg´es´et a (4.2) mozg´asegynlet baloldal´an lecser´elj¨
uk sz¨oggf¨
ugg´esre:
dv
dv dl
dv
v dv
dv dl
dv
=
=v
=
=
=v
dt
dt |{z}
dl
dl |{z}
dt
dl
rdθ
r dθ
=1
(4.4)
=v
Jednaˇcina kretanja duˇz tangencijalnog pravca sada glasi:
Az ´erint˝oleges ir´any´
u mozg´asegyenlet ´ıgy:
m
v dv
= mg(sin θ − k cos θ)
r dθ
(4.5)
Podelimo levu i desnu stranu jednaˇcine (4.5) sa masom tela, odnosno pomnoˇzimo obe strane sa
rdθ. Dobijamo:
Osszuk el az (4.5) egyenlet mindk´et oldal´at a test t¨omeg´evel, illetve szorozzuk be mindk´et oldal´at
rdθ-val.
v dv = gr(sin θ − k cos θ)dθ
(4.6)
Ukoliko je telo poˇcelo da klizi nultom poˇcetnom brzinom, granice integracije za brzinu su 0 i v0 brzina u trenutku odvajanja, dok su granice integracije za ugao 0 i θ0 - ugao u trenutku odvajanja.
Amennyiben a test nyugalmi a´llapotb´ol indul, a sebess´eg szerinti integr´al´as hat´arai 0 ´es v0 - sebess´eg
a lev´al´as pillanat´aban, m´ıg a sz¨og szerinti integr´al´as hat´arai 0 ´es θ0 - a lev´al´asi sz¨og.
Z v0
0
v dv = gr
Z θ0
(sin θ − k cos θ)dθ
0
v02
= gr(− cos θ − k sin θ)|θ00 = gr(1 − cos θ0 − k sin θ0 )
2
(4.7)
Na osnovu jednaˇcine kretanja duˇz normalnog pravca moˇzemo da odredimo trenutak kada se telo
odvoji od polusfere, to je prvi trenutak kada sila reakcije postane jednaka nuli. Znaˇci u trenutku
odvajanja vaˇzi:
A mer˝oleges ir´any szerinti mozg´asegyenletb˝ol meg tudjuk hat´arozni a lev´al´as piilanat´at, az az els˝o
pillanat, amikor a f´elg¨omb ellenhat´asa nulla. Teh´at a lev´al´as pillanat´aban:
m
v02
= mg cos θ0
r
(4.8)
ˇ
´
´ ´ITAS
´ ARA,
´
4.2. PRIMER IZRACUNAVANJA
RADA, 1. - PELDA
A MUNKA KISZAM
1.
27
Skratimo sa m i pomnoˇzimo sa r, te izrazimo kvadrat brzine iz obe jednaˇcine, dobijamo:
Egyszer˝
us´ıts¨
unk a test t¨omeg´evel ´es szorozzuk be mindk´et oldalt r-rl ´es fejezz¨
uk ki a sebess´eg
n´egyzet´et mindk´et egyenletb˝ol:
v02 = 2gr(1 − cos θ0 − k sin θ0 )
v02 = gr cos θ0
(4.9)
(4.10)
Poˇsto su leve strane jednake, jednake su i desne strane. Dobili smo jednaˇcinu koja odredjuje ugao
odvajanja:
Mivel a baloldalak egyenl˝oek, egyenl˝oek a jobboldalak is. Megkaptuk a l´ev´al´asi sz¨oget meghat´aroz´o
egyenletet:
cos θ0 = 2(1 − cos θ0 − k sin θ0 )
3 cos θ0 + 2k sin θ0 = 2
(4.11)
(4.12)
q
3 cos θ0 + 2k 1 − cos2 θ0 = 2
(4.13)
q
2k 1 − cos2 θ0 = 2 − 3 cos θ0
2
2
(4.14)
2
4k (1 − cos θ0 ) = 4 − 12 cos θ0 + 9 cos θ0
(9 + k 2 ) cos2 θ0 − 12 cos θ0 + 4(1 − k 2 ) = 0
cos θ0 =
12 ±
q
144 − 16(9 + k 2 )(1 − k 2 )
2(9 + k 2 )
=
(4.15)
(4.16)
6±
q
36 − 4(9 + k 2 )(1 − k 2 )
9 + k2
(4.17)
Po svom smislu cos θ0 mora da bude izmedju nule i jedinice. U sluˇcaju da nema trenja, k = 0,
dobijamo vrednost cos θ0 = 32 . Poˇsto se telo zbog trenja sporije ubrzava, kosinus ugla odvajanja
mora biti manji od 32 1 , te stoga biramo negativan predznak ispred korena.
´
Ertelem
szerint cos θ0 nulla ´es egy k¨oz¨ott van. S´
url´od´asmentes esetben k = 0, ez´ert cos θ0 = 32 .
Mivel a s´
url´od´as miatt a test lassabban gyorsul, s´
url´od´as eset´en a lev´al´asi sz¨ognek nagyobbnak
2
kell lennie, vagyis a koszinusz´anak 3 -n´al kissebnek kell lenni2 , ez´ert a gy¨ok el˝ott a negat´ıv el˝ojelet
v´alasztjuk.
cos θ0 =
12 −
q
144 − 16(9 + k 2 )(1 − k 2 )
2(9 + k 2 )
=
6−
q
36 − 4(9 + k 2 )(1 − k 2 )
9 + k2
(4.18)
Za vrednost koeficijenta trenja k ≥ 1 telo se ne odvoji od polusfere, nego klize´ci po polusferi
dotakne podlogu. Jer za k = 1 diskriminanta izraza (4.18) dobija vrednst 36, ˇciji je koren 6, te
brojilac razlomka postane 0.
Ha a s´
url´od´asi egy¨
utthat´o legal´abb 1 vagy ann´al nagyobb k ≥ 1, a test nem v´alik le a f´elg¨ombr˝ol,
v´egig a f´elg¨omb¨on cs´
uszik. Ha k = 1, akkor a (4.18) kifejez´esben a diszkrimin´ans egyenl˝o 36-al,
melynek gy¨oke 6, ´ıgy a t¨ort sz´aml´al´oja 0.
4.2
Primer izraˇ
cunavanja rada, 1. - P´
elda a munka kisz´
am´ıt´
as´
ara,
1.
Na telo deluje konstantna sila F~ = 2~i − 4~j + 7~k, gde su ~i, ~j, ~k jediniˇcni vektori duˇz osa x, y, z.
Poˇcetni poloˇzaj tela je ~r1 = (2, −4, 6) a krajnji poloˇzaj tela je ~r2 = (−3, 5, 0). Izraˇcunajte pomeraj
1
2
Kako ugao raste, tako mu kosinus opada.
Ahogy a sz¨
og n¨
ovekszik, koszinusza u
´gy cs¨okken.
28
CHAPTER 4. DINAMIKA
tela, rad svake komponente sile i ukupan rad sile na putu koji spaja poˇcetnu i krajnju taˇcku.
Egy testre F~ = 2~i − 4~j + 7~k a´lland´o er˝o hat, ahol ~i, ~j, ~k az x, y, z tengelyek egys´egvektorai. A test
kezdeti helyzete ~r1 = (2, −4, 6) ´es v´eghelyzete ~r2 = (−3, 5, 0). Hat´arozza meg a test elmozdul´as´at,
az er˝o minden egyes ¨osszetev˝oj´enek munk´aj´at ´es az ered˝o er˝o munk´aj´at a kiindul´asi- ´es v´egpontot
o¨sszek¨ot˝o p´alya ment´en.
4.2.1
Reˇ
senje Megold´
as
~r2 − ~r1 = ∆~r = (−3, 5, 0) − (2, −4, 6) = (−5, 9, −6) = (∆x, ∆y, ∆z)
A = A1 + A3 + A3 = Fx ∆x + Fy ∆y + Fz ∆z
= 2 · (−5) − 4 · 9 − 6 · 7 = −10 J − 36 J − 42 J = −88 J
4.3
Primer izraˇ
cunavanja rada, 2. P´
elda a munka kisz´
am´ıt´
as´
ara, 2.
Izraˇcunajte rad tangencijalne komponente sile teˇze iz prethodnog primera duˇz luka polusfere.
Sz´amolja ki az el˝oz˝o p´eld´aban meghat´arozott neh´ezs´egi er˝o ´erint˝oleges o¨sszetev˝oj´enek munk´aj´at a
f´elg¨omb ´ıve ment´en.
4.3.1
Reˇ
senje Megold´
as
Telo se kre´se duˇz luka kruˇznice polupreˇcnika r. Duˇzina luka je l = rα, gde je α odgovaraju´ci ugao.
Infinitezimalni element puta se po pravcu poklapa sa tangentom, a duˇzina mu je dl = rdθ. Sila T
i element infinitezimalni puta su paralelni, te je rad sile jednak:
A test az r sugar´
u f´elg¨omb ´ıve ment´en mozog. Egy k¨or´ıv hossza l = rα, ahol α a megfelel˝o sz¨og.
Az infinitezim´alis elmozdul´as ir´anya megegyezik az ´erint˝o ir´any´aval, hossza pedig dl = rdθ. A T
er˝o ´es az elmozdul´as egym´assal p´arhuzamosak, ez´ert az er˝o ´altal v´egzett munka:
A=
Z l0
T dl =
0
Z θ0
0
rdθ = mgr
mg sin θ |{z}
|
{z
=T
}
=dl
Z θ0
0
sin θdθ = mgr(1 − cos θ0 )
(4.19)
U sluˇcaju da nema trenja:
Surl´od´asmentes esetben:
A=
4.4
mgr
3
(4.20)
Dinamika krutog tela - Merev test dinamik´
aja
Homogeni valjak polupreˇcnika r mase m se kotrlja niz strmu ravan ugla α. Odredimo jednaˇcine i
zakon kretanja krutog tela ukoliko se telo kotrlja bez proklizavanja. Poˇcetna ugaona brzina valjka
je ω0 , poˇcetni poloˇzaj teˇziˇsta na strmoj ravni je s0 a poˇcetni ugao je ϕ0 .
Homog´en, m t¨omeg˝
u, r sugar´
u merev henger g¨ord¨
ul le egy α sz¨og˝
u ferde s´ıkon. Hat´arozzuk meg a
test mozg´asegyenleteit ´es a mozg´ast¨orv´enyt, amennyiben a test cs´
usz´asmentesen g¨ord¨
ul. A henger
kezdeti sz¨ogsebess´ege ω0 .
´
4.4. DINAMIKA KRUTOG TELA - MEREV TEST DINAMIKAJA
4.4.1
29
Reˇ
senje Megold´
as
Teˇziˇste valjka se pod dejstvom sile teˇze kre´ce paralelno strmoj ravni. Ukupna sila koja deluje duˇz
pravca paralelnog strmoj ravni je razlika komponente sile teˇze paralelne strmoj ravni i sile trenja
F . Jednaˇcina kretanja teˇziˇsta je:
A henger s´
ulypontja a nehzs´egi er˝o hat´as´ara a ferde s´ıkkal p´arhuzamosan halad. A ferde s´ıkkal
p´arhuzamosan hat´o ¨ossz er˝o a neh´ezs´egi er˝o ferde s´ıkkal p´arhuzamos ¨osszetev˝oj´enek ´es az F
s´
url´od´asi er˝onek a k¨
ul¨onbs´ege. A s´
ulypont mozg´asegyenlete:
ma = mg sin α − F
(4.21)
Telo se kotrlja zbog postojanja sile trenja F , da nema trenja valjak bi jednostavno klizao niz strmu
ravan. Moment sile M jednak je proizvodu sile trenja i polupreˇcnika valjka, odnosno proizvodu
momenta inercije i ugaonog ubrzanja.
A test a s´
url´od´asi er˝o miatt g¨ord¨
ul, ha az nem lenne, akkor a henger a ferde s´ıkon lefel´e csak
cs´
uszna. M , az er˝onyomat´ek egyenl˝o a s´
url´od´asi er˝o ´es a henger sugar´anak a szorzat´aval, illetve a
tehetetlens´egi nyomat´ek ´es a sz¨oggyorsul´as szorzat´aval.
Iβ = F r
(4.22)
gde je moment impulsa valjka I = 21 mr2 . Ugaono ubrzanje i ubrzanje su povezani jednaˇcinom:
ahol a henger tehetetlens´egi nyomat´eka I = 12 mr2 . A gyorsul´as ´es a sz¨oggyorsul´as k¨oz¨otti kapcsolat:
a = rβ
(4.23)
Dobijamo:
Ebb˝ol:
ma = mg sin α − F
mr2
β = rF
2
rβ = a
(4.24)
(4.25)
(4.26)
odnosno nakon sredjivanja:
vagyis rendez´es ut´an:
mr
β = F
2
ma = mg sin α −
(4.27)
mr
1
β = mg sin α − ma
2
2
(4.28)
te nalazimo:
amib˝ol:
3
ma = mg sin α
2
(4.29)
30
CHAPTER 4. DINAMIKA
2
g sin α
3
2g
β =
sin α
3r
mg
sin α
F =
3 Z
a =
ω(t) = ω0 +
(4.30)
(4.31)
(4.32)
βdt = ω0 +
2 gt
sin α
3r
2
v(t) = ω(t)r = ω0 r + gt sin α
3
(4.33)
(4.34)
1 gt2
sin α
(4.35)
3
r
Z
1
s(t) = s0 + v(t)dt = s0 + ω0 rt + gt2 sin α
(4.36)
3
Teˇziˇste tela se ravnomerno brzava niz strmu ravan ubrzanjem a (4.30), istovremeno se rotacija
valjka ravnomerno ubrzava ugaonim ubrzanjem β (4.31).
A henger s´
ulypontja egyenletesen gyorsul a ferde s´ık ment´en a gyorsul´assal, (4.30), ek¨ozben a
henger egyenletesen gyorsulva forog saj´at tengelye k¨or¨
ul β sz¨oggyorsul´assal (4.31).
ϕ(t) = ϕ0 +
4.5
Z
ω(t)dt = ϕ0 + ω0 t +
Dinamika krutog tela, strma ravan Merev test dinamik´
aja, ferde s´ık
Dva tela masa m1 i m2 klize duˇz strmih ravni uglova γ i δ, odgovaraju´ci koeficijenti trenja su
redom k1 i k2 . Dva tela su povezana neistegljivim i nesabitljivim uˇzetom zanemarljive mase koje
bez klizanja okre´ce kotur polupreˇcnika r i momenta inercije I. Odredite ubrzanje kojim se tela
kre´cu.
K´et test (t¨omegeik rendre m1 ´es m2 ) s´
url´odva cs´
uszik a ferde s´ıkon, a ferde s´ık sz¨ogei γ ´es δ,
a s´
url´od´asi egy¨
utthat´ok rendre k1 ´es k2 . A k´et test egy k´ıny´
ujthatatlan, o¨sszenyomhatatlan,
elhanyagolhat´o t¨omeg˝
u k¨ot´ellel van ¨osszek¨otve mely egy r sugar´
u, I tehetetlens´egi nyomat´ek´
u
csig´at cs´
usz´asmentesen p¨orget. Hat´arozza meg a testek gyorsul´as´at.
m2
m1
γ
4.5.1
δ
Reˇ
senje Megold´
as
Jednaˇcine kretanja tela su (4.37, 4.38), jednaˇcina kretanja kotura je (4.39) a veza izemdju tangencijalnog i ugaonog ubrzanja kotura je data jednaˇcinom (4.40):
A k´et test mozg´asegyenlete (4.37, 4.38), a csiga mozg´asegyenlete (4.39), illetve a csiga tangenci´alis
´es sz¨oggyorsul´as k¨oz¨otti kapcsolata (4.40):
m 1 a1
m 2 a2
Iβ
a
=
=
=
=
m1 g sin γ − Z − k1 m1 g cos γ
Z − m2 g sin δ − k2 m2 g cos δ
Zr
βr
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
´
4.5. DINAMIKA KRUTOG TELA, STRMA RAVAN -MEREV TEST DINAMIKAJA,
FERDE S´IK31
Poˇsto je rastojanje medju telima konstantno ubrzanja su im jednaka, a zbog ˇcinjenice da uˇze kotrlja
kotur bez proklizavanja, to je ujedno i tangencijalno ubrzanje kotura.
Mivel a k´et test k¨oz¨otti t´avols´ag ´alland´o, gyorsul´asaik egyenl˝oek ´es a cs´
usz´asmentes p¨orget´es miatt
megegyeznek a csiga tangenci´alis gyorsul´as´aval.
a1 = a2 = a
Zr
β =
I
Zr2
a = βr =
I
(4.41)
(4.42)
(4.43)
Iz jednaˇcina kretanja tela moramo da odredimo silu zatezanja uˇzeta, te je potrebno uvrstiti u
odgovaraju´ci izraz. Podelimo odgovaraju´ce strane jednaˇcina kretanja:
A testek mozg´asegyenleteib˝ol meg kell hat´aroznunk a k¨ot´eler˝ot, ´es be kell helyettes´ıteni a megfelel˝o
kifejez´esbe. A k´et mozg´asegyenletet elosztjuk egym´assal:
m1
m1 g sin γ − Z − k1 m1 g cos γ
=
m2
Z − m2 g sin δ − k2 m2 g cos δ
m1 m2
g
m1 + m2
m1 m2 gr
Zr
= (sin δ + sin γ − k1 cos δ − k2 cos γ)
β =
I
m1 + m2 I
2
Zr
m1 m2 gr2
= (sin δ + sin γ − k1 cos δ − k2 cos γ)
a = βr =
I
m1 + m2 I
Z = (sin δ + sin γ − k1 cos δ − k2 cos γ)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.47)
Uporedite dobijeno ubrzanje sa sluˇcajem kada uˇze koje povezuje dva tela klizi bez trenja preko
kotura.
Hasonl´ıtsa ¨ossze a gyorsul´ast azzal az esettel, amikor a k´et testet o¨sszek¨ot˝o k¨ot´el s´
url´od´asmentesen
cs´
uszik a csig´an.
32
CHAPTER 4. DINAMIKA
Chapter 5
Mehanika fluida, Fluidumok
mechanik´
aja
5.1
5.1.1
Bernulijeva jednaˇ
cina, Bernoulli-egyenlet
Isticanje teˇ
cnosti – Folyad´
ek ki´
araml´
asa
U posudi se nalazi teˇcnost, visina teˇcnog stuba iznosi h. Na zidu suda su izbuˇseni otvori zanemarljivog popreˇcnog preseka. Vodeni mlazevi koji istiˇcu iz otvora dodiruju zemlju na rastojanju
R od zida suda. Izraˇcunajte visine na kojima su izbuˇseni otvori na zidu suda.
Egy ed´enyben h magass´agig folyad´ekkal van megt¨oltve. Az ed´eny fal´an elhanyagolhat´o keresztmetszet˝
u ny´ıl´asokat f´
urunk. Ezekb˝ol a ny´ıl´asokb´ol ki´araml´o folyad´eksugarak R t´avols´agban az ed´eny
fal´at´ol ´ernek f¨oldet. Sz´amolja ki, hogy az ed´eny fal´an milyen magasan voltak kif´
urva a ny´ıl´asok.
Reˇ
senje Megold´
as
√
Visina stuba teˇcnosti iznad otvora je x brzina kojom teˇcnost istiˇce kroz otvor je 2gx. Mlaz
dodirne tlo nakon vremena t na rastojanju R = vt, gde je t vreme za koja telo slobodno padne sa
visine h − x.
x
h
h−x
R
33
´
CHAPTER 5. MEHANIKA FLUIDA, FLUIDUMOK MECHANIKAJA
34
√
A ny´ıl´asf¨ol¨otti folyad´ekoszlop magass´aga x, a folyad´ek a´raml´asi sebess´ege a ny´ıl´asn´al pedig 2gx.
A folyad´eksug´ar t id˝o ut´an ´er a talajhoz R = vt t´avols´agban, ahol t az az id˝o ami alatt talajt ´er a
h − x magass´agb´ol indul´o, szabadon es˝o test.
s
q
2(h − x)
gt2
⇒t=
⇒ R = 2 x(h − x)
h−x =
2
g
√
2
R2
h ± h2 − R2
R
2
⇔ x − hx +
= 0 ⇒ x1,2 =
x(h − x) =
4
4
2
5.1.2
(5.1)
Vreme praˇ
znjenja rezervoara
Tart´
aly ki¨
ur¨
ul´
esi ideje
Rezervoar zapremine V i popreˇcnog preseka S1 je ispunjen teˇcnoˇs´cu. Na dnu rezervoara probuˇsen
je otvor popreˇcnog preseka S2 . Izraˇcunajte kako se tokom vremena menja visina vode u rezervoaru.
Koliko je potrebno vremena da se isprazni rezevoar?
V t´erfogat´
u ´es S1 keresztmetszet˝
u tart´alyban folyad´ek van. A tart´aly alj´an´al S2 keresztmetszet˝
u
ny´ıl´ast f´
urunk. Hat´arozza meg, hogyan v´altozik a folyad´ek szintje a tart´alyban. Mennyi id˝o ut´an
u
¨r¨
ul ki a tart´aly?
Reˇ
senje Megold´
as
Neka je h visina vode u rezervoaru a v1 brzina kojom se spuˇsta nivo vode u rezervoaru. Primetimo
= −v1 , negativan predznak jer h opada! v2 neka oznaˇcava brzinu isticanja vode kroz
da vaˇzi dh
dt
probuˇseni otvor.
Legyen h a folyad´ek szintje a tart´alyban, v1 pedig a folyad´ekszint s˝
ullyed´esi sebess´ege. Vegy¨
uk
dh
´eszre, hogy dt = −v1 , negat´ıv el˝ojel mert h cs¨okken! v2 a ny´ıl´ason ki´araml´o folyad´ek sebess´ege.
v2 S
1
1
2
S2
h(t)
=
V (t)
S1
v1 S1
=
v2 S2 =
dV
dt
(5.3)
ρv22
2
=
ρv12
+ ρgh
2
(5.4)
=
gh
(5.5)
(5.2)
−1
v
u
v1
Z h
− 12
h
dh
dh u
2gh
=−
= t S1
dt
−1
S2
=
h0
v
Z tu
u
− t
0
1
2
1
2
2(h − h0 )
h(t)
=
v
u
u
−t
=

q

 h0
S1
S2
S1
S2
(5.6)
2g
dt
−1
(5.7)
2g
t
−1
(5.8)
2
v
u
−u
t 2
g
S1
S2
t

−1
(5.9)
ˇ
´ EGYENLET
5.2. JEDNACINA
KONTINUITETA – KONTINUITASI
35
Vreme t0 za koje se rezervoar isprazni je vreme posle koga visina vode u rezervoaru postane jednaka
nuli, na osnovu (5.9)
t0 az id˝o miut´an ki¨
ur¨
ul a tart´aly megegyezik azzal az id˝ovel miut´an a v´ızszint null´aval lesz egyenl˝o,
(5.9) alapj´an:
s
t0 =
5.2
2h0
g
S1
−1
S2
(5.10)
Jednaˇ
cina kontinuiteta za viskozne fluide
Kontinuit´
asi egyenlet viszk´
ozus fluidumok eset´
en
Za nestiˇsljive fluide vaˇzi da je protok na svakom preseku strujne cevi konstantan, Q = const. U
sluˇcaju idealnih fluida smo na predavanju dokazali da protok kroz popreˇcni presek S gde fluid
struji brzinom v moˇzemo napisato kao:
¨
Osszenyomhatatlan
fluidumok eset´en a t´erfogati sebess´eg a´lland´o, Q = const. Ide´alis fluidumok
eset´en az el˝oad´asokon bebizony´ıtottuk, hogy S keresztmetszet˝
u cs˝oben amelyikben az ´araml´asi
sebess´eg v a t´erfogati sebess´eg fel´ırhat´o mint:
Q = Sv
(5.11)
U sluˇcaju idealnih fluida se jednaˇcina kontinuiteta se shodno tome moˇze napisati kao:
Ez´ert ide´alis fluidumok eset´en a kontinuit´asi egyenlet a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´o fel:
Sv = const
(5.12)
Napiˇsimo jednaˇcinu kontinuiteta za viskozne (neidealne) fluide. Pretpostavimo da fluid struju u
cevi kruˇznog popreˇcnog preseka.
´Irjuk f¨ol a kontinuit´asi egyenletet viszk´ozus (nemide´alis) fluidumokra. T´etelezz¨
uk f¨ol, hogy a cs˝o
keresztmetszete k¨or alak´
u.
5.2.1
Reˇ
senje Megold´
as
Dokazali smo da se brzina strujanja viskoznog fluida u zavisnosti od rastojanja od ose cevi menja
po slede´cem zakonu:
Bebizony´ıtottuk, hogy a viszk´ozus fluidum a´raml´asi sebess´ege a cs˝o tengely´et˝ol m´ert t´avols´ag
f¨
uggv´eny´eben ´ıgy v´altozik:
∆pR2
r2
v=
1− 2
4ηl
R
!
r2
1− 2 ,
R
!
= v0
gde je v0 brzina strujanja fluida kod ose cevi.
ahol v0 a fluidum cs˝o tengely´en´el m´ert a´raml´asi sebess´ege.
v0 =
∆pR2
4ηl
(5.13)
36
´
CHAPTER 5. MEHANIKA FLUIDA, FLUIDUMOK MECHANIKAJA
Takodje smo dokazali da je protok viskoznog fluida jednak:
Tov´abb´a bebizony´ıtottuk, hogy a viszk´ozus fluidum t´erfogati sebess´ege:
Q=
π∆pR4
8ηl
(5.14)
Iskoristivˇsi v0 napiˇsimo izraz za protok:
v0 -t f¨olhaszn´alva ´ırjuk f¨ol a t´erfogati sebess´eget:
Q=
R2 π
R2 π ∆p R2
=
v0
2
4ηl
2
(5.15)
| {z }
=v0
Poˇsto u sluˇcaju nestiˇsljivog fluida protok mora biti konstantan, a znamo da je povrˇsina kruˇznice
2
r2 π, zakljuˇcujemo da R2 π v0 = const, odnosno:
Mivel o¨sszenyomhatatlan fluidum eset´en a t´erfogati sebess´eg a´lland´o, ´es tudjuk, hogy a k¨or ter¨
ulete
2
r2 π, bel´atjuk, hogy R2 π v0 = const, vagyis:
v0 S = const
v0 R2 = const
(5.16)
(5.17)
Dobili smo izraz kao i u sluˇcaju idealnog fluida, samo ˇsto je sad brzina u izrazima 5.16, 5.17
maksimalna brzina kojom fluid struji u cevi na datom popreˇcnom preseku.
Olyan ¨osszef¨
ugg´est kaptunk amelyik megegyezik az ide´alis fluidumok eset´en ismert o¨sszef¨
ugg´essel,
azonban most a 5.16, 5.17 egyenletekben szerepl˝o sebess´eg a legnagyob ´araml´asi sebess´eg az adott
keresztmetszetn´el.
5.3
Otpor strujanju fluida
´
Araml´
asi ellen´
all´
as
∆p je razlika pritisaka na dva kraja cevi, Q je protok, a R, otpor strujanju fluida je:
Amennyiben ∆p a cs˝o k´et v´eg´en m´ert nyom´asok k¨
ul¨onbs´ege, Q pedig a t´erfogati sebess´eg, R, az
a´raml´asi ellen´all´as:
∆p
(5.18)
Q
Otpor strujanja fluida ima osobine kao i elektriˇcni otpor, u sluˇcaju redno vezanih cevi 5.1 otpori se
sabiraju 5.19, a u sluˇcaju paralelno vezanih cevi 5.2 sabiraju se reciproˇcne vrednosti otpora 5.20.
Az a´raml´asi ellen´all´as tulajdons´agai hasonl´ıtanak az elektromos ellen´all´as tulajdons´agaira, sorosan
csatolt cs¨ovek eset´en 5.1 az ellen´all´asok ¨osszead´odnak 5.19, p´arhuzamosan csatolt cs¨ovek eset´en
5.2 az ellen´all´asok reciprok ´ert´ekei ad´odnak ¨ossze, 5.20.
R=
R =
1
=
R
n
X
Ri
(5.19)
1
i=1 Ri
(5.20)
i=1
n
X
´
´ ELLENALL
´ AS
´
ARAML
ASI
5.3. OTPOR STRUJANJU FLUIDA
37
Rn
R1
Figure 5.1: Redno povezane cevi. Sorosan o¨sszecsatolt cs¨ovek.
R1
R2
R n−1
Rn
Figure 5.2: Paralelno povezane cevi. P´arhuzamosan o¨sszecsatolt cs¨ovek.
5.3.1
Otpor strujanju fluida sistema povezanih cevi
Cs˝
orendszer ´
araml´
asi ellen´
all´
asa
Izraˇcunajte otpor strujanju fluida sistema cevi prikazanih na slici 5.3.
Sz´amolja ki az 5.3 v´azolt cs˝orendszer a´raml´asi ellen´all´as´at.
R2
R1
R3
R4
Figure 5.3: Redno povezane cevi. Sorosan o¨sszecsatolt cs¨ovek.
Reˇ
senje Megold´
as
Otpori R1 i R2 su vezani redno, te je ekvivalentan otpor R1,2 = R1 + R2 . Otpori R1,2 , R3 i R4 su
vezani paralelno, te se ekvivalentan otpor R1,2,3,4 nalazi na slede´ci naˇcin:
R1 ´es R2 a´raml´asi ellen´all´asok sorosan csatoltak, ez´ert az ered˝o ellen´all´as R1,2 = R1 +R2 . R1,2 , R3 ´es
R4 a´raml´asi ellen´all´asok p´arhuzamosan csatoltak, ez´ert az ered˝o R1,2,3,4 ellen´all´ast k¨ovetkez˝ok´eppen
sz´amoljuk:
1
R1,2,3,4
R1,2,3,4
1
1
1
R3 R4 + R1,2 R4 + R1,2 R3
+
+
=
R1,2 R3 R4
R1,2 R3 R4
R1,2 R3 R4
(R1 + R2 )R3 R4
=
=
R3 R4 + R1,2 R4 + R1,2 R3
R3 R4 + (R1 + R2 )(R4 + R3 )
=
(5.21)
38
´
CHAPTER 5. MEHANIKA FLUIDA, FLUIDUMOK MECHANIKAJA
Chapter 6
Termodinamika
6.1
Termodinamiˇ
cki procesi
Termodinamikai folyamatok
U sluˇcaju izotermskog procesa skicirajte zavisnosti (V, p), (V, T ), (T, p).
Izoterm folyamat eset´en v´azolja fel a (V, p), (V, T ), (T, p) ¨osszef¨
ugg´eseket.
Koja je veza izmedju temperature i zapremine, pritiska i zapremine, odnosno pritiska i temperature u adijabatskom procesu?
Adiabatikus folyamatbna milyen a kapcsolat a h˝om´ers´eklet ´es a t´erfogat-, nyom´as ´es t´erfogat-,
illetve nyom´as ´es h˝om´ers´eklet k¨oz¨ott?
Proces, kod koga ne postoji razmena toplote sa okolinom nazivamo adijabatskim. Napiˇsimo prvi
zakon termodinamike u sluˇcaju adijabatskog procesa. Koristi´cemo dobijene izraze za unutraˇsnju
i jednaˇcinu stanja idealnog pV = nRT gasa:
energiju idealnog gasa U = nRT
γ−1
Adiabatikus az a folyamat amelyben a rendszer ´es k¨ornyezete k¨ozt nincs h˝ocsere. ´Irjuk f¨ol a
termodinamika els˝o t¨orv´eny´et adiabatikus folyamatok eset´ere. Haszn´aljuk f¨ol az ide´alis g´az bels˝o
energi´aj´at meghat´arozo k´epletet ´es az ide´alis g´az a´llapotegyenlet´et.
0 = dU + pdV =
nR
nRT
dT +
dV
γ−1
V
γ−1
Nakon mnoˇzenja sa nRT
dobijamo:
–al val´o szorz´as ut´an:
γ−1
nRT
dT
dV
+ (γ − 1)
=0
T
V
Integralimo obe strane dobijene jednaˇcine: ln(T ) + (γ − 1)ln(V ) = const. Koriste´ci osobine
logaritamske funkcije nakon sredjivanja dobijamo:
Integr´aljuk az ´ıgy kapot egyenletet. Az eredm´eny: ln(T ) + (γ − 1)ln(V ) = const. A logaritmus
f¨
uggv´eny tulajdons´agai alapj´an, arra jutunk, hogy:
T V γ−1 = const
Zamenivˇsi T iz jednaˇcine stanja idealnog gasa, dobijamo:
Behelyettes´ıtve T -t az ide´alis g´az a´llapotegyenlet´eb˝ol azt kapjuk, hogy:
39
40
CHAPTER 6. TERMODINAMIKA
pV γ = const
6.2
(6.1)
Cikliˇ
cni proces – K¨
orfolyamat
Idealni gas cikliˇcno menja svoje stanje. U poˇcetnom trenutku pritisak mu je p0 a zapremina V0 . Iz
stanja 1 u izobarskom procesu pove´cava zapreminu, u stanju 2 zapremina je utrostruˇcena u odnosu
na stanje 1. Iz stanja 2 gas u izohorskom procesu predje u stanje 3, pritisak u stanju 3 je tre´cina
poˇcetnog pritiska. Iz stanja 3 gas u adijabatskom procesu (adijabaska konstanta iznosi γ) predje
u stanje 1. Izraˇcunajte ukupan rad gasa u jednom ciklusu.
Ide´alis g´az ciklikusan v´altoztatja az a´llapot´at. Kezdeti pillanatban (1-es ´allapot) a g´az nyom´asa
p0 , t´erfogata pedig V0 . Az 1-es a´llapotb´ol izob´ar folyamatban n¨oveli a t´erfogat´at m´ıg el´eri a 2-es
a´llapotot melyben a t´erfogata megh´aromszoroz´odik. A 2-es a´llapotb´ol a g´az izoch´or folyamatban
a´tmegy a 3-as a´llapotba, amelyben a g´az nyom´asa harmada a kezdeti ´ert´eknek. A 3-as a´llapotb´ol
γ a´lland´oj´
u adiabatikus folyamatban a g´az visszaker¨
ul az 1-es a´llapotba. Sz´amolja ki, hogy egy
ciklusban mekkora munk´at v´egez a g´az.
6.2.1
Reˇ
senje Megold´
as
Prelazu iz stanja 1 u stanje 2 odgovara izobarski proces, prelazu iz stanja 2 u stanje 3 odgovara
izohorski proces a prelazu iz stanja 3 u stanje 1 odgovara adijabatski proces. Shodno tome:
Az 1→2 a´llapot´atmenetnek izob´ar folyamat felel meg, a 2→3 a´llapot´atmenetnek izoch´or folyamat
felel meg m´ıg 3→1 ´allapot´atmenetnek adiabatikus folyamat felel meg. Ezekszerint:
A1,2 = p0 (3V0 − V0 ) = 2p0 V0
A2,3 = 0
!
p0
(3V0 )γ
1
3γ−1
1
1
3
−
=
p
V
−
1
A3,1 =
0 0
γ−1
(3V0 )γ−1 V0γ−1
γ−1
3γ−1
A = A1,2 + A3,1
6.3
(6.2)
Realni gasovi
Na nekoliko prostih primera uporedite osobine realnih gasova koji su zadati Van der Valsovom
jednaˇcinom stanja sa osobinama idealnih gasova.
Bibliography
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_CY_1.svg
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_SZ_0.svg
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system
[4] http://sh.wikipedia.org/wiki/Cilindri%C4%8Dni_koordinatni_sistem
[5] http://sh.wikipedia.org/wiki/Sferni_koordinatni_sistem
[6] http://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mbi_koordin%C3%A1t%C3%A1k
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system
[8] http://en.wikipedia.org/Fictitious_force
[9] https://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro
[10] https://www.youtube.com/watch?v=Pb69HENUZs8
[11] https://www.youtube.com/watch?v=Y95qHqPU23Y
[12] http://www.gnuplot.info
[13] http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.html
41
42
BIBLIOGRAPHY
Contents
1 Koordinatni sistemi Koordin´
atarendszerek
1.1 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . .
1.2 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Kinematika
2.1 Veza izmedju geometrije i kinematike:
A geometria ´es kinematika k¨oz¨otti kapcsolat: . . .
´
2.2 Proseˇcna (ugaona) brzina, Atlagos
(sz¨og)sebess´eg
2.2.1 Prvi primer, Els˝o p´elda . . . . . . . . . . .
2.2.2 Drugi primer, M´asodik p´elda . . . . . . . .
2.3 Primer na nivou srednje ˇskole
K¨oz´episkolai szint˝
u p´elda . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kinematika: osnovni pojmovi – alapfogalmak . .
2.4.1 Pitanja/ K´erd´esek: . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Odgovori / V´alaszok: . . . . . . . . . . . .
2.5 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.6 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.7 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.8 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.9 Krivina, G¨orb¨
ulet . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Primer/P´elda:
Kinematika rotacije, 1 /Forg´omozgas kinetik´aja, 1
2.10.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.11 Primer/P´elda:
Kinematika rotacije, 2 /Forg´omozgas kinetik´aja, 2
2.11.1 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . .
2.12 Primer/P´elda:
Kinematika rotacije, 3 /Forg´omozgas kinetik´aja, 3
2.12.1 Pitanja / K´erd´esek: . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 Odgovori / V´alaszok: . . . . . . . . . . . .
43
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
2
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
7
7
8
9
10
10
11
11
11
11
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
44
CONTENTS
3 Referentni sistemi / Vonatkoztat´
asi rendszerek
3.1 Primer / P´elda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Zadatak / Feladat . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Reˇsenje / Megold´as . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Primedba / Megjegyz´es . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 referencijalni sistemi, bis / Vonatkoztat´asi rendszerek,
3.3.1 Joˇs jedan primer / M´eg egy p´elda . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
bis
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Dinamika
4.1 Primer primene Njutnovih zakona - P´elda a Newton t¨orv´enyek alkalmaz´as´ara
4.1.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Primer izraˇcunavanja rada, 1. - P´elda a munka kisz´am´ıt´as´ara, 1. . . . . . . .
4.2.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Primer izraˇcunavanja rada, 2. P´elda a munka kisz´am´ıt´as´ara, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Dinamika krutog tela - Merev test dinamik´aja . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Dinamika krutog tela, strma ravan Merev test dinamik´aja, ferde s´ık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Mehanika fluida, Fluidumok mechanik´
aja
5.1 Bernulijeva jednaˇcina, Bernoulli-egyenlet . . . . . . .
5.1.1 Isticanje teˇcnosti – Folyad´ek ki´araml´asa . . .
5.1.2 Vreme praˇznjenja rezervoara
Tart´aly ki¨
ur¨
ul´esi ideje . . . . . . . . . . . . .
5.2 Jednaˇcina kontinuiteta – Kontinuit´asi egyenlet . . . .
5.2.1 Reˇsenje Megold´as . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Otpor strujanju fluida
´
Araml´
asi ellen´all´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Otpor strujanju fluida sistema povezanih cevi
Cs˝orendszer a´raml´asi ellen´all´asa . . . . . . . .
6 Termodinamika
6.1 Termodinamiˇcki procesi
Termodinamikai folyamatok .
6.2 Cikliˇcni proces – K¨orfolyamat
6.2.1 Reˇsenje Megold´as . . .
6.3 Realni gasovi . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
20
21
22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
25
27
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
28
28
29
. . . . 30
. . . . 30
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
39
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
40
40
Bibliografija, Irodalomjegyz´
ek
41
Sadrˇ
zaj, Tartalomjegyz´
ek
44
Download

Chapter 1 Koordinatni sistemi Koordinátarendszerek