Glava 9
Talasi
Prve predstave o talasnom kretanju se obiˇcno vezuju za formiranje talasa izazvano bacanjem
kamena u vodu. Tom prilikom se lako uoˇcava da se poreme´caj, koji je izazvao kamen, ˇsiri
cirkularno od mesta na koje je pao. Moglo bi da se zakljuˇci da se pri ovakvom kretanju
pomeraju delovi vode od mesta pada kamena, medjutim paˇzljivom analizom pojave se
uoˇcava da se to ne deˇsava. Tako ako na primer po vodi pliva liˇs´ce drve´ca, paˇzljivim
posmatranjem moˇze da se uoˇci da listovi ostaju na mestu na kome su i bili, i da se samo
podiˇzu gore-dole, pri ˇcemu se taj tip kretanja ˇsiri simetriˇcno od centra u kome je nastao.
Ovo nas navodi na zakljuˇcak da se, iako se talas koji je nastao na mestu pada kamena kre´ce
od njega radijalno, to ne izaziva pomeranje vodenih masa u smeru njegovog prostiranja.
Slika 9.1: Formiranje viˇse talasa na vodi.
U prirodi moˇzemo da uoˇcimo jako puno procesa koji se mogu svrstati u talase, ali
sve ih moˇzemo podeliti u dve vrste mehaniˇcke i elektromagnetne. U mehaniˇcke spadaju:
akustiˇcki, odnosno zvuˇcni talasi, talasi na vodi, ... U ova dva sluˇcaja se prilikom formiranja
talasa deˇsavaju pomeranja deli´ca materijalne sredine (medijuma) oko njihovih ravnoteˇznih
poloˇzaja. Kada je reˇc pak o elektromagnetnim talasima, njima za nastanak i prostiranje
nije potrebna materijalna sredina, odnosno medijum. Primeri elektromagnetnih talasa su:
vidljiva svetlost, radio talasi, x-zraci, ... Bez detaljnog udubljivanja u teoriju elektromagnetnih talasa, recimo samo da se u njihovom sluˇcaju radi o oscilovanju elektriˇcnog i magnetnog polja koje se prenosi kroz prostor (pri tom su promene ova dva polja u fazi, odnosno
ona istovromeno imaju jednake elongacije), dakle nije mu neophodan medijum-materijalna
sredina.
Kada je reˇc o mehaniˇckim talasima, kao ˇsto je ve´c napomenuto, reˇc je o prostiranju
245
246
GLAVA 9. TALASI
neˇcim izazvanog poreme´caja, odnosno oscilovanja, kroz materijalnu sredinu.1
reˇcima, da bi postojao mehaniˇcki talas, potrebno je da postoje
Drugim
• izvor poreme´caja,
• sredina u kojoj moˇze da se izvede poreme´caj,
• odredjena fiziˇcka veza izmedju ˇcestica sredine kojom su povezani njeni susedni delovi
i putem koje utiˇcu jedni na druge.
Kao ˇsto ´ce se pokazati talasi u principu prenose energiju kroz sredinu.2
9.1
Osnovne veliˇ
cine potrebne za opisivanje talasnog kretanja
Zamislimo da se nalazimo na splavu koji pluta po velikom jezeru. Mogli bi da uoˇcimo da se
stalno podiˇzemo i spuˇstamo, u ritmu kretanja talasa jezerom. Takodje je lako uoˇciti kretanje
talasa po povrˇsini jezera, odnosno njihovo pribliˇzavanuje splavu na kome se nalazimo. Taˇcka
u kojoj je pomeranje vode u odnosu na njen normalan nivo maksimalno se naziva breg
talasa. Jasno je da ´ce, u zavisnosti od uslova nastanka, talasi na vodi imati razliˇcitu
udaljenost susednih bregova. U skladu sa time je potrebno uvesti fiziˇcku veliˇcinu koja bi
opisala ovu ˇcinjenicu. Ona se naziva talasna duˇzina i, prema izloˇzenoj ideji, predstavlja
udaljenost dva susedna brega talasa. Obiˇcno se oznaˇcava grˇckim slovom λ. Taˇcnije, kada
je reˇc o mehaniˇckim talasima,3 talasna duˇzina je rastojanje izmedju bilo koje dva dela
sredine koji su u identiˇcnom stanju oscilovanja.
Slika 9.2: Talasna duˇzina.
Ako bi izmerili vreme izmedju nailaska dva susedna brega talasa, dobili bi veliˇcinu koja
se naziva period talasa i oznaˇcava sa T . Period (mehaniˇckog) talasa bi, u stvari, bilo vreme
koje treba talasu da dva susedna deli´ca sredine dovede u isto stanje oscilovanja.
1
Na primer, ”vodeni” talas ne postoji bez vode, talas na ˇzici ne postoji ako nema ˇzice u kojoj bi se
izazvao poreme´caj, zvuˇcni talas ne bi mogao da se prostire kroz vakuum, odnosno kroz prostor u kome
nema molekula vazduha, ... .
2
Koliˇcina energije koja se prenosi kroz medijum i mehanizam putem koga se prenosi energija se razlikuju
od tipa do tipa talasa a zavise i od uslova pri kojima nastaje i prostire se talas. Na primer, snaga (a
samim tim i energija) talasa koji nastaju u vreme oluje na okeanu je mnogo ve´ca od snage zvuˇcnog talasa
generisanog glasom jednog ˇcoveka.
3
Ograniˇcenje u ovoj definiciji je uvedeno zbog elektromagnetnih talasa kojima za prostiranje, kao ˇsto je
navedeno, nije potrebna materijalna sredina. U sluˇcaju ovih talasa, talasna duˇzina je minimalno rastojanje
izmedju dve identiˇcne taˇcke na talasu.
9.2. TRANSVERZALNI I LONGITUDINALNI TALASI
247
Ista informacija o talasu se ˇcesto zadaje veliˇcinom, koja je inverzna periodu talasa, koja
se naziva frekvencijom i obiˇcno oznaˇcava grˇckim slovom ν. Frekvencija talasa je, prema
tome, broj bregova talasa koji prodju kroz jednu taˇcku u prostoru, u jedinici vremena.
Maksimalno pomeranje deli´ca sredine, od njihovog ravnoteˇznog poloˇzaja se naziva amplituda talasa. Za talas na vodi to je oˇcigledno maksimalna visina na koju se podiˇzu deli´ci
vode, merena od normalnog nivoa vode kada nema talasa.
Talasi se prostiru odredjenom brzinom, koja zavisi od osobina sredine u kojoj je nastao
i kroz koju se prostire poreme´caj koji nazivamo talasom. Na primer, zvuˇcni talas koji se
prostire kroz vazduh na sobnoj temperaturi, se kre´ce brzinom oko 343 m/s, dok se kroz
ˇcvrsta tela kre´ce ve´com brzinom. Ukoliko je za dati talas poznata njegova talasna duˇzina
λ, obzirom da talas predje rastojanje jednako njoj za vreme od jednog perioda T , brzina
talasa je
λ
u=
(9.1)
T
P r i m e r X. Galeb je sleteo na ustalasalo more da se odmori. Talasi ga podiˇzu
gore-dole tako da mu treba 5,00 s vrati u prethodni poloˇzaj. Ukoliko je rastojanje susednih
bregova jednako 10,0 m, odrediti brzinu talasa.
R eˇs e nj e. Na osnovu relacije (9.1) brzina je
u=
9.2
λ
10, 0 m
=
= 2, 00 m/s.
T
5, 00 s
Transverzalni i longitudinalni talasi
Jedan od naˇcina za demonstriranje talasnog kretanja je formiranje talasa na kanapu ˇciji je
jedan kraj priˇcvrˇs´cen a drugi drˇzimo u ruci i pomerimo ga naglo iz ravnoteˇznog poloˇzaja i
vratimo u njega. Na taj naˇcin je na kanapu nastao talasni puls koji se odredjenom brzinom
kre´ce duˇz njega. Takav tip poreme´ca je progresivni talas (slika 9.3).
Slika 9.3: Nastanak talasnog pulsa na zategnutom kanapu.
Kanap je sredina kroz koju se prostire talasni puls. Za razliku od niza pulseva (na
koje obiˇcno mislimo kada zamiˇsljamo talas), nema frekvenciju, period i talasnu duˇzinu.
Medjutim, on ima odredjenu amplitudu i brzinu prostiranja. Veliˇcine koje odredjuju brzinu
pulsa (i talasa) kod zategnutog kanapa (i ˇzice) su sila zatezanja i linijska gustina (masa
248
GLAVA 9. TALASI
po jedinici duˇzine). Moˇze da se takodje primeti da se oblik pulsa praktiˇcno ne menja pri
kretanju duˇz kanapa.
U toku prostiranja pulsa kroz kanap, svaki deli´c kanapa biva pobudjen na kretanje, ˇciji
je pravac normalan u odnosu na pravac prostiranja pulsa. Slika 9.4 ilustruje ovo tvrdjenje
na primeru jedne izabrane taˇcke na kanapu, oznaˇcene slovom P . Takodje se moˇze zakljuˇciti
da se ni jedan deli´c kanapa ne kre´ce u pravcu prostiranja talasa.
Slika 9.4: Kretanje deli´ca kanapa pri prostiranju pulsa duˇz njega.
Progresivni talas, kod koga se ˇcestice sredine kre´cu u pravcu normalnom na pravac
prostiranja talasa, naziva se transverzalnim talasom.4
Osim ovakvog tipa talasa postoji i drugi koji nastaje duˇz zategnute (spiralne) opruge
(slika 9.5), u sluˇcaju kada se opruga lagano rasteˇze i opuˇsta duˇz njene ose simetrije. Ovakvo
kretanje formira oblasti u kojima je opruga viˇse sabijena i mesta na kojima je viˇse istegnuta,
´ duˇz opruge, od mesta na kojem su nastali
pri ˇcemu se ove oblasti, prate´ci jedna drugu, kredu
ka njenom drugom kraju. Vaˇzno je primetiti da su, u ovom sluˇcaju, pravac pomeranja
delova opruge (u odnosu na njihov ravnoteˇzni poloˇzaj) i pravac pomeranja oblasti u kojima
je opruga sabijena, paralelni.
Slika 9.5: Talas nastao kada se vrˇsi deformacija zategnute opruge duˇz pravca njene ose
simetrije.
Progresivni talas, u kojem se ˇcestice sredine kre´cu5 paralelno kretanju talasa, naziva se
4
Drugi primer bi bio puls koji se formira na stadionu prilikom naizmeniˇcnog ustajanja navijaˇca. Rezultat
je obilazak ovog pulsa oko celog stadiona. Primer nemehaniˇckog transverzalnog talasa je elektromagnetni
talas u kome su vektori elektriˇcnog i magnetnog polja ortogonalni na pravac prostiranja svetlosti (oni su
takodje ortogonalni jedan u odnosu na drugog).
5
ˇ
Misli se naravno na kretanje ˇcestica izazvano poreme´cajem usled koga je i nastao talas. Cestice
sredine
9.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA
249
longitudinalni6 talas.7
9.3
Superpozicija i interferencija
Talas koji je izazvan prostim harmonijskim oscilovanjem iz jednog izvora ima sinusiodalni
oblik. Ve´cina talasa ipak ne izgleda tako jednostavno jer su nastali tako ˇsto je sredinu
zahvatilo viˇse sinusiodalnih talasa istovremeno. Kada dva ili viˇse talasa zahvate isti deo
sredine onda je njihovo ukupno delovanje jednako zbiru delovanja koje bi svaki talas imao
kada bi samo on doˇsao u datu taˇcku. To sabiranje delovanja talasa se naziva superpozicija. Naime, svaka deformacija sredine odgovara delovanju neke sile koja ga izaziva, kada
postoji viˇse talasa koji izazivaju deformacije, imamo posla sa zapravo viˇse sila ˇcije delovanje
prosto treba sabrati i dobiti ukupnu deformaciju koja je rezultat delovanja rezultuju´ce sile.
Ukoliko se deformacije vrˇse duˇz jedne linije, rezultuju´ci talas se dobija prostim sabiranjem
poreme´caja koji potiˇcu od pojednaˇcnih talasa. Na slici 9.6 su prikazana dva specijalna
sluˇcaja superpozicije koja imaju veoma proste rezultate. Na delu (a) slike je prikazana
situacija kada dva identiˇcna talasa dolaze u istu taˇcku u fazi-kada je na tom mestu breg
jednog talasa isto vaˇzi i za drugi, kada je dolja prvog onda je i dolja drugog. U tom sluˇcaju
se deˇsava takozvana konstruktivna interferencija. Poˇsto se deformacije u ovom sluˇcaju
sabiraju, dobija se rezultuju´ci talas sa dvostruko ve´com amplitudom od individualnih talasa, ali sa jednakom talasnom duˇzinom. Na delu (b) iste slike dva identiˇcna talasa dolaze
na navedeno mesto u kontra fazi-tamo gde je breg jednog tamo je dolja drugog talasa.
U ovom sluˇcaju se dogadja destruktivna interferencija. Kako su poreme´caji u sredini
suprotno usmereni a jednaki, ukupna amplituda je jednaka nuli, odnosno talasi se potpuno
poniˇstavaju.
Jasno je da je, da bi doˇslo do potpune konstruktivne ili destruktivne interferencije,
neophodno preklapanje identiˇcnih talasa. Kako to u realnosti nije ˇcest sluˇcaj, superpozicija talasa uglavnom dovodi do niza mesta na kojima su se desile konstruktivne odnosno
destruktivne interferencije pri ˇcemu se ta mesta variraju sa vremenom. Na primer zvuk sa
mogu naravno uˇcestvovati i u drugim tipovima kretanja koji nisu od interesa za ovo razmatranje.
6
Zvuˇcni talas je drugi primer longitudinalnog talasa. Poreme´caj u vazduhu izaziva niz oblasti u kojima je
naizmeniˇcno, pritisak niˇzi, odnosno viˇsi u odnosu na ravnoteˇznu vrednost pritiska kada nema izvora zvuka.
Drugi primer bi bio puls koji nastaje u (idealnom) redu ljudi koji ˇcekaju da kupe kartu kada prvi u tom
redu kartu kupi i izadje iz njega a svi ostale se pomere napred za jedno mesto.
7
Neki talasi u prirodu su kombinacija transverzalnih i longitudinalnih pomeranja ˇcestica sredine.
Povrˇsinski talas na vodi je dobar primer takvog tipa kretanja. U tom sluˇcaju, kada se po povrˇsini duboke
vode prostire talas, molekuli vode koji se nalaze na povrˇsini se kre´cu po pribiliˇzno kruˇznim putanjama. Kao
ˇsto je dobro poznato, takvo kretanje se moˇze razloˇziti na transverzalnu i longitudinalnu komponentu. Drugi
primer ovako sloˇzenog talasa je talas koji nastaje pri zemljotresu. Longitudinalna komponenta ovakvog
talasa je brˇza (kre´ce se brzinom od 7-8 km/s) blizu povrˇsine Zemlje. Ovaj talase se naziva ”P ” talasom (od
reˇci primarni) jer je brˇzi od transverzalnog i prvi se moˇze registrovati seizmografom. Sporiji, transverzalni
talas, se naziva ”S” (sekundarnim) talasom i on se kre´ce brzinom od 4 do 5 km/s u blizini Zemljine povrˇsine.
Registrovanjem vremenskog intervala izmedju dolaska P i S talasa u seizmograf, moˇze da se izraˇcuna rastojanje od njega do mesta nastanka ovih talasa. Na osnovu jednog takvog merenja moˇze da se nacrta
zamiˇsljena sfera, sa centrom u seizmografu, ˇciji je polupreˇcnik odredjen vremenskim intervalom kaˇsnjenja
sekundarnih talasa u odnosu na primarne. Mesto nastanka talasa se u tom sluˇcaju nalazi negde na toj sferi
(naravno u delu gde se sfera nalazi pod povrˇsinom Zemlje. Ukoliko se na pogodan naˇcin postave joˇs dva
seizmografa, i na osnovu njihovog merenja nacrtaju odgovaraju´ce sfere, u njihovom preseku se dobija mesto
na kome se desio zemljotres.
250
GLAVA 9. TALASI
Slika 9.6: Konstruktivna i destruktivna interferencija dva identiˇcna progresivna talasa.
Slika 9.7: Superpozicija dva talasa koja nisu identiˇcna. Rezultuju´ca ampllituda je jednaka
zbiru amplituda pojedinih talasa.
9.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA
251
stereo zvuˇcnika moˇze da bude pojaˇcan u jednoj a oslabljen u drugoj taˇcki. To znaˇci da su
zvuˇcni talasi delimiˇcno interferirali konstruktivno a delimiˇcno destruktivno na razliˇcitim
mestima. Kod stereo zvuˇcnika imamo bar dva izvora zvuˇcnih talasa koji se zatim odbijaju
od zidova pa se nakon toga svi sabiraju.
Rezultat superpozicije dva talasa koja nisu sliˇcna po svojim karakteristikama je prikazana
na slici 9.7. I u ovom sluˇcaju se rezultuju´ci talas dobija sabiranjem elongacija koje izazivaju
pojedinaˇcni talasi. Rezultat sabiranja moˇze biti i mnogo komplikovanji kada je reˇc o viˇse
upadnih talasa.
9.3.1
Stoje´
ci talasi
Ponekad se deˇsava da se talasi ne prostiru ve´c da se vibracije odvijaju stalno na istom
mestu. Takvi talasi se na primer mogu videti na povrˇsini mleka u ˇcasi kada je stavimo
u friˇzider. Vibracije friˇzidera koje stvara njegov motor se prenose na ˇcasu i na mleko u
njoj tako da njegova povrˇsina osciluje ali se te oscilacije ne prenose. Ovo je samo jedan od
primera formiranja takozvanih stoje´cih talasa. Oni se javljaju takodje na ˇzici gitare (9.8)
ili pak u cevima orgulja. Stoje´ci talas se u principu formira u situacijama kada se deˇsava
superpozicija dva identiˇcna progresivna talasa koja se kre´cu u suprotnim smerovima.
Slika 9.8: Multifleˇs fotografija stoje´ceg talasa na ˇzici.
Slika 9.9: Oblik stoje´ceg talasa u raznim momentima vremena.
Izgled stoje´ceg talasa koji se dobija od dva individualna progresivna talasa suprotnih
smerova, u raznim momentima vremena je prikazan na slici 9.9. U t = 0 (deo (a) na slici),
progresivni talasi su u fazi i izazivaju maksimalno pomeranje ˇcestica sredine u stoje´cem
252
GLAVA 9. TALASI
talasu. Nako ˇcetvrtine perioda talasa (deo (b) na slici), svaki od progresivnih talasa se
pomera za po ˇcetvrtinu talasne duˇzine pa su ova dva talasa u suprotnim fazama. Ovo znaˇci
da deli´ci sredine, u tom momentu vremena, prolaze kroz ravnoteˇzne poloˇzaje u oscilatornom
kretanju koje vrˇse. U trenutku t = T /2 (deo (c) na slici), progresivni talasi su opet u fazi
i produkuju elongacije deli´ca sredine koje su inverzne u odnosu na one u t = 0. Na slici
9.9 su prikazana samo tri karakteristiˇcna sluˇcaja dok se, ostali koji nisu prikazani, nalaze
izmedju njih.
Razmotrimo formiranje stoje´cih talasa na ˇzici zategnutoj na oba kraja. Stoje´ci talas
na ˇzici ´ce nastati kao neprekidna superpozicija talasa koji nailaze na krajeve ˇzice i onih
koji se odbijaju od njih. Krajevi ˇzice, obzirom da su uˇcvrˇs´ceni, imaju nultu elongaciju, i
prema tome, po definiciji predstavljaju ˇcvorove stoje´ceg talasa. Na ˇzici moˇze da se formira
niz stoje´cih talasa, odnosno oscilacija koje se nazivaju normalni modovi a razlikuju se
po frekvencijama koje se mogu relativno lako odrediti.
Slika 9.10: Normalni modovi na zategnutoj ˇzici duˇzine L.
Oscilovanje zategnute ˇzice je u stvari superpozicija odredjenih normalnih modova, a
koji ´ce od njih biti zastupljeni, zavisi od naˇcina na koji je oscilovanje zapoˇcelo.
Do oblika normalnih modova se dolazi polaze´ci od ˇcinjenica da na krajevima ˇzica moraju
da se formiraju ˇcvorovi a da medjusobna udaljenost susednih ˇcvorova i trbuha mora da bude
jedna ˇcetvrtini talasne duˇzine. Prvi normalni mod prikazan na slici 9.10(b), ima ˇcvorove
na krajevima ˇzice a trbuh na sredini. To je mod koji odgovara najve´coj talasnoj duˇzini
λ1 , koja je u tom sluˇcaju duplo ve´ca od duˇzine ˇzice, λ1 = 2L. Slede´ci mod, talasne duˇzine
λ2 se javlja kada je talasna duˇzina jednaka duˇzini ˇzice, λ2 = L (slika 9.10(c)). Tre´ci mod,
odgovara sluˇcaju u kome je λ3 = 2L/3. Moˇzemo da zakljuˇcimo da se, na zategnutoj ˇzici
duˇzine L priˇcvrˇs´cenoj na oba kraja, mogu formirati normalni modovi ˇcije su talasne duˇzine
odredjene izrazom
2L
λn =
, n = 1, 2, 3, ...,
(9.2)
n
gde se indeks n odnosi na n-ti mod oscilovanja. Vaˇzno je ista´ci da su izrazom (9.2) odredjeni
mogu´ci modovi oscilovanja ˇzice. Modovi koji ´ce se realizovati zavise od naˇcina na koji se
ˇzica, okidanjem, pobudjuje na oscilovanje.
9.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA
253
Prirodne frekvencije pridruˇzene odgovaraju´cim modovima se mogu dobiti iz relacije
ν = u/λ, gde je u brzina talasa (ista je za sve frekvencije jer, kao ˇsto je napomenuto, zavisi
od sredine kroz koju se talas prostire). Na osnovu jednaˇcine (9.2), za njih se dobija
u
u
νn =
= n , n = 1, 2, 3, ....
(9.3)
λn
2L
Najniˇza frekvencija ν1 se naziva osnovna (ili fundamentalna) frekvencija i data je
izrazom
u
ν1 =
,
(9.4)
2L
a frekvencije ostalih normalnih modova su njeni celobrojni umnoˇsci. Ovakve frekvencije,
koje su celobrojni umnoˇsci, formiraju harmonijske serije, a normalni modovi se zovu
harmonici. Osnovna frekvencija ν1 se, u tom smislu, zove frekvencija prvog harmonika,
frekvencija ν2 = 2ν1 je frekvencija drugog harmonika, a frekvencija νn = nν1 je frekvencija
n-tog harmonika.8
Kako u realnosti da na zategnutoj ˇzici pobudimo odgovaraju´ce harmoniike? Tako ˇsto
ˇzicu pri okidanju deformiˇsemo tako da njen oblik podse´ca na oblik ˇzeljenog harmonika.
Nakon otpuˇstanja, ˇzica osciluje njegovom frekvencijom. Ukoliko je ˇzica zategnuta tako da
njen oblik ne podse´ca na neki odredjeni harmonik, rezultuju´ce oscilovanje ukljuˇcuje viˇse
njih. To se deˇsava kada zateˇzemo ˇzicu muziˇckog instrumenta (gitara), prevlaˇcimo gudalom
po njoj (ˇcelo) ili je udaramo (klavir).
Frekvencija ˇziˇcanih instrumenata varira u zavisnosti od iznosa sile zatezanja i duˇzine ˇzice
(i naravno od njene debljine, odnosno od mase po jedinici duˇzine). Na primer, zategnutost
ˇzica na gitari ili violini menjamo okretanjem ˇcivija za ˇstimovanje. Kada se zategnutost
ˇzice pove´ca rastu i frekvencije normalnih modova usled porasta brzine talasa na takvoj
ˇzici. Kada se instrument (podeˇsavanjem sile zatezanja ˇzice) naˇstimuje, sviraˇc proizvodi
zvuke raznih frekvencija pomeraju´ci prste duˇz njegovog vrata (pritiskaju´ci ˇzicu uz pragove
instrumenta) ˇcime skra´cuje duˇzinu dela ˇzice koji osciluje. Kada se smanji duˇzina ˇzice,
prema istoj relaciji, raste frekvencija normalnog moda.
P r i m e r X. Slobodni deo tanje ˇzice E na gitari ima duˇzinu 64,0 cm, pri ˇcemu je
osnovna frekvencija 330 Hz. Ako je skratimo na prvom pragu, okidanjem proizvodi notu F
frekvencije 350 Hz. Odrediti za koliko je skra´cena ˇzica.
R e ˇs e nj e. Jednaˇcina (9.3) povezuje osnovnu frekvenciju sa duˇzinom ˇzice. Za n = 1
se za brzinu talasa na ˇzici dobija
2L
2(0, 640 m)
νn =
(330 Hz) = 422 m/s.
n
1
Kako se osim duˇzine ˇzice ne´ce menjati niˇsta, brzina talasa ostaje ista. Na osnovu relacije
(9.3), moˇze da se dobije i nova duˇzina ˇzice za koju je osnovna frekvencija 350 Hz,odnosno
u=
L=n
422 m/s)
u
= (1)
= 0, 603 m.
2νn
2(350 Hz)
Razlika duˇzine neskra´cene ˇzice i ˇzice skra´cene na prvom pragu je prema tome 3,70 cm.
8
Oscilovanje zategnute ˇzice, prilikom formiranja stoje´ceg talasa na njoj, je relativno prost sluˇcaj u kojem
su frekvencije modova celobrojni umnoˇsci osnovne frekvencije, odnosno frekvencije prvog harmonika. Kod
drugih sistema takodje postoje modovi oscilovanja ali ono obiˇcno nisu celobrojni umnoˇsci osnovne frekvencije
te tada ne moˇzemo izdvojiti harmonike.
254
9.3.2
GLAVA 9. TALASI
Izbijanja
Zvuk koji se dobija kada se pritisnu dve susedne dirke na klaviru, odgovara superpoziciji dva
talasa bliskih ali ne potpuno jednakih frekvenci, ima periodiˇcne promene u jaˇcini. Sliˇcno
se deˇsava sa zvukom koji proizvode mlaznjaci a razlog je u tome ˇsto se frekvencije zvuˇcnih
talasa koje stvaraju njihovi motori obiˇcno malo razlikuju po frekvenciji. U oba sluˇcaja je,
flukutiranje u intenzitetu zvuka, posledica konstruktivne i destruktivne interferencije ˇsto je
prikazano na slici 9.11.
Slika 9.11: Izbijanja.
Talas koji se dobija kada se superponiraju dva talasa sliˇcnih frekvencija ima frekvenciju koja je jednaka njihovoj srednjoj vrednosti. Takava rezultuju´ci talas ima fluktuiraju´cu
amplitudu, takozvana izbijanja ili udare, sa frekvencijom koja se naziva frekvencija izbijanja, odnosno udara. Ovo se moˇze pokazati i matematiˇcki ako se podje od jednaˇcine
talasa u jednoj taˇcki prostora (duˇz pravca kojim se prostire)
µ
x = A cos
¶
2π
t = A cos(2πνt),
T
gde je ν = 1/T frekvencija talasa. Rezultat superpozicije dva talasa ´ce biti prosto zbir
njihovih elongacija
x = x1 + x2 ,
odnosno
x = A cos(2πν1 t) + A cos(2πν2 t).
Koriste´ci odgovaraju´ci trigonometrijski identitet iz matematiˇckog dodatka, rezultat sabiranja se moˇze prikazati u obliku
x = 2A cos(πνu t) cos(2πνsr t),
(9.5)
gde je νu = |ν1 −ν2 |, frekvencija udara, odnosno izbijanja, a νsr srednja vrednost frekvencija
ν1 i ν2 . Drugim reˇcima rezultuju´ci talas oscilacije frekvencijom koja je jednaka srednjoj
9.4. ENERGIJA TALASA. INTENZITET
255
vrednosti frekvencija talasa. Kada je reˇc o njegovoj amplitudi ona raste od nulte vrednosti
do maksimalne koja je duplo ve´ca od amplitude pojedinaˇcnih talsa a ta njena promena se
deˇsava frekvencijom koja se naziva frekvencija udara-izbijanja νu . Prvi kosinusni faktor
u jednaˇcini (9.5) upravo opisuje ˇcinjenicu da amplituda menja svoje vrednosti periodiˇcno.
Drugi kosinusni faktor u ovoj jednaˇcini ima frekvenciju νsr , i predstavlja frekvenciju rezultuju´ceg talasa.
Klavir ˇstimeri koriste efekat pojave izbijanja za ˇstimovanje. Ako prilikom toga upotrebe
na primer zvuˇcnu viljuˇsku frekvencije 256 Hz, i ona u kombinaciji sa odgovaraju´com ˇzicom
klavira daje 2 izbijanja po sekundi, tada je frekvencija ˇzice na klaviru ili 254 ili 258 Hz.
9.4
Energija talasa. Intenzitet
Talasanje koje se javlja u nekoj sredini zapravo znaˇci da se kroz nju prenosi energija.
Energija nekih talasa moˇze da se direktno registruje. Na primer, zemljotresi mogu da uniˇste
ˇcitave gradove. Zvuˇcni talasi velikog intenziteta mogu da uniˇste nervne ´celije u unutraˇsnjem
uhu i da izazovu stalan gubitak sluha. Ultrazvuˇcni talasi se koriste za dubinsko zagrevanje
istegnutih miˇsi´ca. Laserski snop dovoljnog intenziteta moˇze da spali ´celije, vodeni talasi
menjaju oblik obale a takodje se sve viˇse koriste za dobijanje elektriˇcne energije.
Koliˇcina energije u talasu je u direktnoj vezi sa njegovom amplitudom. Talasi zemljotresa
velike amplitude izazivaju velika pomeranja na povrˇsini Zemlje. Jaki zvuˇcni talasi odgovaraju velikiim varijacijama u pritisku, veliki morski talasi imaju ve´ci efekat na morsku
obalu od talasa manje amplitude, itd.
Kako talasi predstavljaju prenos oscilovanja-deformacija kroz sredinu, a potencijalna
energija oscilacija prilikom deformisanja sredine za x iznosi 1/2kx2 , energija koju nosi talas
je proporcionalna kvadratu amplitude, obzirom da ona predstavlja maksimalnu elongaciju
x.
Energetski efekti talasa, osim od njegove amplitude, takodje zavise i od vremena. Na
primer, ˇsto duˇze primenjujemo ultrazvuˇcni uredjaj za dubinsko zagrevanje miˇsi´ca, on ´ce
mu preneti ve´cu koliˇcinu energije. Duˇze fokusiranje sunˇceve svetlosti na jednu taˇcku na
komadu drveta, moˇze da izazove njegovo paljenje. Zemljotresi ˇsire´ci se, izazivaju sve manje
i manje ˇstete ˇsto smo dalje od njihovog epicentra. Primetimo da prostiranje talasa kroz
sredinu, odnosno promena (veliˇcine) oblasti kroz koju se kre´cu ima veoma veliki uticaj na
njih. Svi pobrojani faktori su zapravo ukljuˇceni u definniciju intenziteta talasa kao odnos
snage talasa i povrˇsine kroz koju se prostiru
I=
P
,
S
(9.6)
gde je P snaga koju talas ima prillikom prolaska kroz povrˇsinu S. SI jedinica za intenzitet
je, u skladu sa ovom relacijom, W/m2 . Tako na primer, infracrvena i vidljiva svetlost, na
gornju povrˇsinu atmosfere Zemlje, nailaze sa intenzitetom od 1300 W/m2 .
P r i m e r X. Srednji intenzitet Sunˇcevog zraˇcenja koje dolazi do povrˇsine Zemlje iznosi
oko 700 W/m2 . (a) Izraˇcunati koliˇcinu energije koja padne na kolektor sunˇceve energije
ˇcija je povrˇsina 0,500 m2 za 4,00 h. (b) Koliki je intenzitet istog zraˇcenja ukoliko se ono
sabirnim soˇcivom fokusira na 200 puta manju povrˇsinu?
256
GLAVA 9. TALASI
R e ˇs e nj e. (a) Prema relaciji (9.6), poˇsto je snaga energija po jedinici vremena
P = E/t, vaˇzi
P
E/t
E
I=
=
=
,
S
S
St
pa je
E = ISt = (700 W/m2 )(0, 500 m2 )[(4, 00)(3600 s)] = 5, 04 × 106 J.
(b) Odnos intenziteta (koristi´cemo oznaku prim za nove veliˇcine) je
I0
P 0 /S 0
S
=
= 0,
I
P/S
S
jer je u oba sluˇcaja snaga talasa ista. Kako je S = 200S 0 za traˇzeni intenzitet se dobija
I 0 = 200I = 200(700 W/m2 ) = 1, 40 × 105 W/m2 .
9.5
Akustika
Jedno staro filozofsko pitanje glasi: Ako drvo padne u ˇsumi a nema nikoga da ˇcuje buku
koja prati njegov pad da li je zvuk zaista postojao? Odgovor na ovo pitanje zavisi od
toga kako definiˇsemo zvuk. Ako ga defniˇsemo samo kao ljudsku percepciju onda ga nije ni
bilo, ali ako zvuk definiˇsemo kao poreme´caj u materijalnoj sredini koji ´ce izazvati promenu
medjusobnog poloˇzaja atoma u njoj, a to se ˇsiri iz mesta gde je poreme´caj nastao, tada
je zvuk postojao. Mehaniˇcki talas opisanog oblika se naziva zvuk. Sa druge strane naˇsa
percepcija mehaniˇckih talasa nije identiˇcna upravo uvedenom pojmu ˇcemu ´ce biti posve´cen
deo narednog teksta.
9.5.1
Zvuk
Zvuk je ve´c bio pominjan viˇse puta kao primer mehaniˇckog talasa. Kako je ˇculo sluha jedno
od naˇsih najvaˇznijih ˇcula, interesantno je videti kako ono ustvari funkcioniˇse, odnosno kakva
je veza izmedju fiziˇckih karakteristika zvuka i naˇse percepcije njega.9 Zvuk osim toga ima i
veoma bitnu primenu i izvan oblasti u kojoj ga mi ˇcujemo. Na primer ultrazvuk ne moˇzemo
da ˇcujemo ali umemo da ga koristimo za dobijanje ultrazvuˇcnih snimaka u medicini.
U fiziˇckom smislu zvuk se definiˇse kao poreme´caj u materijalnoj sredini koji se, kroz
nju prostire od izvora zvuka, odnosno od mesta na kome je taj poreme´caj nastao. Na
atomskoj skali, to je poreme´caj u uobiˇcajenom poretku atoma, koji se ˇcesto svodi na to da
oni vrˇse prosto harmonijsko oscilovanje.
Kao ˇsto je prikazano na slici 9.12, ˇzica koja osciluje stvara zvuˇcni talas oko sebe. Osciluju´ci napred-nazad, ˇzica predaje energiju vazduhu, uglavnom kao toplotnu energiju koja
stvara vrtloge u njemu. Deo pak energije ˇzice odlazi na zguˇsnjavanje i razredjivanje okolnog
vazduha, pri ˇcemu se stvaraju oblasti, u kojima je pritisak malo niˇzi, odnosno malo viˇsi
od atmosferskog. Takva razredjenja i zguˇsnjenja se od toga mesta prostiru kao longitudinalni talas pritiska koji ima frekvenciju jednaku frekvenciji oscilovanja ˇzice. Upravo taj
poreme´caj, koji je na ovaj naˇcin stvoren u vazduhu, predstavlja zvuˇcni talas.
9
U literaturi se fiziˇcke karakteristike zvuka ˇcesto nazivaju objektivne a ono kako ih mi ose´camo subjektivne.
9.5. AKUSTIKA
257
Slika 9.12: Oscilovanje ˇzice stvara talas. (a) Kada se kre´ce na desno sabija vazduh ispred
a razredjuje ga iza sebe. (b) Kada se kre´ce na levo stvara joˇs jedan niz razredjenja i
zguˇsnjenja.
Slika 9.13: Nakon viˇse oscilacija, stvara sa niz zguˇsnjenja i razredjenja, odnosno zvuˇcni
talas. Na grafiku je prikazana promena kalibrisanog pritiska Pk u zavisnosti od udaljenosti
x od izvora zvuka. U sluˇcaju uobiˇcajenih zvuˇcnih talasa reˇc je o malim odstupanjima
pritiska od atmosferskog, odnosno o malim vrednostima kalibrisanog pritiska.
258
GLAVA 9. TALASI
Zvuˇcni talasi, u ve´cini fluida su longitudinalni, jer fluidi uglavnom nemaju otornost
na deformacije smicanja. U ˇcvrstom stanju zvuˇcni talasi mogu da budu i transverzalni i
longitudinalni.
Slika 9.14: Zvuˇcni talas koji dolazi do ˇcoveka izaziva prinudno oscilovanje bubne opne.
Amplituda zvuka opada sa udaljenoˇs´cu od izvora, jer se energija talasa prenosi kroz sve
ve´ce i ve´ce oblasti. Pri tome se ona ili aposrbuje od strane tela (slika 9.14) ili se konvertuje
u toplotnu energiju usled viskoznosti vazduha. Niz razredjenja i zguˇsnjenja vazduha dolazi
do naˇseg uva i primorava bubnu opnu na prinudno oscilovanje. To je posledica ˇcinjenice
da postoji rezultuju´ca sila usled razlike u pritisku koji je izazvao zvuˇcni talas i pritiska iza
bubne opne koji je jednak atmosferskom. Kompleksan mehanizam pretvara ove vibracije u
nervne impulse koje ose´camo kao zvuˇcni signal.
Osim ovih efekata, na mestima gde je komprimovan vazduh je i dodatno zagrejan a na
mestima razredjenja je ohladjen ˇsto na tim mestima delimiˇcno menja ravnoteˇznu raspodelu
molekula. Da li ´ce pri tome postojati protok toplote od mesta zguˇsnjenja ka mestima
razredjenja u najve´coj meri zavisi od toga koliko su ona daleko, odnosno zavisi od talasne
duˇzine zvuka.
9.5.2
Brzina zvuka, frekvencija i talasna duˇ
zina
Zvuˇcni talas se, kao i svaki talas, prostire odredjenom brzinom i poseduje frekvenciju i
talasnu duˇzinu. Da je reˇc o nekoj konaˇcoj brzini moˇze lako da se uoˇci pri posmatranju
vatrometa koji se nalazi dovoljno daleko od nas. Bljesak vatrometa se naime vidi priliˇcno
pre nego ˇsto se ˇcuje eksplozija, ˇsto nam ukazuje na to da je brzina zvuka znatno manja od
brzine svetlosti.
Kada je reˇc o frekvenciji, mi zvuˇcne signale razliˇcitih frekvencija naˇsim ˇculima registrujemo (subjektivno) kao signale razliˇcite visine.
Tre´cu fiziˇcku veliˇcinu koja je ovde pomenuta kao karakteristika talasa, talasnu duˇzinu,
ne moˇzemo direktno da registrujemo naˇsim ˇculima. Indirektno to ipak moˇzemo uoˇcavaju´ci
korelaciju izmedju veliˇcine muziˇckih instrumenata i visine tona koje proizvode. Mali instrumenti, kao na primer, frule, proizvode zvuke visoke frekvencije, dok veliki, poput tube,
proizvode tonove niskih frekvencija. Visoki tonovi su povezani sa malim talasnim duˇzinama
pa je veliˇcina instrumenta na taj naˇcin takodje povezana sa veliˇcinom talasne duˇzine zvuka
koji oni mogu da generiˇsu.10
10
Ova srazmera izmedju veliˇcine i talasne duˇzine vaˇzi i unutar ljudskog roda jer, kao znamo, glas manjih
9.5. AKUSTIKA
259
Veza izmedju brzine zvuka u, njegove frekvencije ν, i talasne duˇzine λ, je kao i za sve
talase, data relacijom
u = νλ.
(9.7)
Talasna duˇzina zvuka je rastojanje izmedju susednih identiˇcnih delova talasa, na primer
rastojanje izmedju dva susedna mesta gde je vazduh komprimovan (slika 9.15). Frekvencija
zvuˇcnog talasa je jednaka frekvenciji izvora koji ga proizvodi, i jednaka je broju talasa koji
prodju kroz izabranu taˇcku u jedinici vremena.
Slika 9.15: Zvuˇcni talas koji se prostire brzinom u i ima talasnu duˇzinu λ nastao usled
oscilovanja izvora (zvuˇcne viljuˇske) frekvencijom ν.
Iz tabele 8.1 se vidi da se brzina zvuka puno menja u zavisnosti od sredine u kojoj
se prostire. Brzina zvuka u sredini je inaˇce odredjena njenom gustinom i reagovanjem
na deformacije, odnosno njenim elastiˇcnim osobinama (kompresibilnost u sluˇcaju gasova).
Pokazuje se da ˇsto je ve´ca gustina sredine, zvuk se sporije prenosi kroz nju. Mala vrednost
brzine zvuka u vazduhu je stoga posledica ˇcinjenice da on spada u slabo elastiˇcne sredine
jer se u znaˇcajnoj meri komprimuje pri promeni pritiska. Sa druge strane, teˇcnosti i ˇcvrsta
tela se veoma malo komprimuju pod delovanje sila, pa je u njima brzina zvuka, uglavnom,
ve´ca nego u vazduhu.
Zemljotresi, u suˇstini zvuˇcni (mehaniˇcki) talasi koji se prostiru kroz Zemlju, su interesantan primer kako brzina zvuka zavisi od elastiˇcnih osobina sredine. Zemljotresi imaju i
longitudinalne i transverzalne komponente, koje se prostiru razliˇcitim brzinama. Naime, zapreminski modul elastiˇcnosti granita (odgovoran za prostiranje longitudinalne komponente
talasa) je ve´ci od modula smicanja (odgovoran za transverzalnu komponentu). Posledica
toga je da je longitudinalni ili talas pritiska, P-talas, zemljotresa u granitu, mnogo brˇzi od
brzine transverzalnog, S-talasa. Obe komponente zemljotresa se prostiru sporije u materijalima koji su manje tvrdi od granita, kao ˇsto su na primer sedimenti. P-talas se tako
ljudi je obiˇcno piskaviji (manje talasne duˇzine-ve´ce frekvencije), a glas ve´cih ljudi dublji.
260
GLAVA 9. TALASI
sredina
gasovi na 0 o C
vazduh
ugljen dioksid
kiseonik
helijum
vodonik
teˇcnosti na 20 o C
etanol
ˇziva
voda
morska voda
ljudsko tkivo
u
(m/s)
sredina
ˇcvrsta tela
guma
polietilen
mermer
staklo
olovo
aluminijum
ˇcelik
331
259
316
965
1290
u
(m/s)
54
920
3810
5640
1960
5120
5960
1160
1450
1480
1540
1540
Tabela 9.1: Brzina zvuka u razliˇcitim sredinama.
prostire brzinom od 4,00 do 7,00 km/s, dok je brzina S-talasa od 2,00 do 5,00 km/s. Vreme
izmedju dolaska P i S talasa u datu taˇcku na Zemlji, uz poznavanje sastava slojeva kroz koje
su se kretali, na taj naˇcin omogu´cuje da se odredi mesto gde se nalazi epicentar zemljotresa.
Na brzinu zvuka u vazduhu u znaˇcajnoj meri utiˇce i njegova temperatura. Na nivou
mora, brzina zvuka je data relacijom
s
u = (331 m/s)
T
.
273 K
(9.8)
Kao ˇsto je ve´c napomenuto u okviru termofizike, brzina zvuka u vazduhu
p je zapravo proporcionalna korenu srednjeg kvadrata brzine molekula, odnosno vksk = 3kT /m, odakle
i sledi proporcionalnost brzine zvuka i korena temperature vazduha kroz koji se prostire
(9.8). Uobiˇcajene dnevne promene temperature vazduha relativno malo utiˇcu na brzinu
zvuka. Tako na primer, na 0 o C, brzina zvuka u vazduhu je 331 m/s, dok je na 20 o C, 343
m/s, ˇsto predstavlja pove´canje u iznosu koji je manji od 4%.
Vaˇzna karakteristika zvuka je ˇcinjenica da je njegova brzina skoro nezavisna od frekvencije.11 Kako je prema jednaˇcini (9.7), brzina zvuka odredjena karakteristikama sredine i,
kao ˇsto je napomenuto, nezavisna od frekvencije, sledi da ´ce zvuk niˇze frekvencije imati
ve´cu talasne duˇzine, i obrnuto.
P r i m e r X. Izraˇcunati talasne duˇzine za graniˇcne frekvencije oblasti ˇcujnosti (20 i 20
000 Hz), na temperaturi 30 o C.
11
Da je to tako za prostiranje zvuka kroz vazduh bez prepreka i u oblasti u kojoj ljudsko uho ˇcuje (od 20
do 20 000 Hz) se moˇzemo lako uveriti. Naime, ako bi vaˇzilo suprotno, odnosno ako bi brzina zvuka zavisila
od frekvencije, onda bi, prilikom sluˇsanja koncerata koji se organizuju na stadionima, do nas prvo dolazili
tonovi viˇsih ili niˇzih frekvencija a nakon njih ostali.
9.5. AKUSTIKA
261
R e ˇs e nj e. Brzina zvuka na ovoj temperaturi je
s
303 K
= 348, 7 m/s,
273 K
u = (331 m/s)
pa se primenom jednaˇcine (9.8) za traˇzene talasne duˇzine dobija
λmax =
u
νmin
348, 7 m/s
= 17 m,
20 Hz
348, 7 m/s
= 1, 74 cm.
νmax
20000 Hz
Brzina zvuka moˇze da se promeni pri prelasku iz jedne sredine u drugu. Pri tome
frekvencija ostaje ista, obzirom da je situacija prelaska zvuka iz sredine u sredinu, analogna
izazivanju prinudnih oscilacija a izvor zvuka (tj. njegova frekvencija) se pri tome nije
promenio. Odavde zakljuˇcujemo da ´ce se pri prelasku zvuka u drugu sredinu, u kojoj mu se
brzina u menja a ν, kako smo videli, ostaje ista, nuˇzno promeniti njegova talasna duˇzina.
λmin =
9.5.3
u
=
=
Intenzitet i nivo zvuka
U ˇsumi je ponekad mogu´ce ˇcuti pad jednog jedinog lista sa drveta na zemlju. Kada mirno
leˇzimo u krevetu, ˇcesto moˇzemo da ˇcujemo pulisarenje krvi uˇsima. Medjutim, ako pored
nas prodje motocikl bez auspuha teˇsko da ´cemo ˇcuti ˇsta nam govori osoba koja se nalazi
tik pored nas. Jaˇcina navedenih zvukova je u vezi sa naˇcinom na koji osciluje njihov
izvor, odnosno energijom kojom pri tome raspolaˇze. Odgovaraju´ca fiziˇcka veliˇcina se naziva
intenzitet zvuka I i definisana je jednaˇcinom (9.6).
Kako je snaga energija po jedinici vremena, a energija povezana sa kvadratom amplitude talasa, moˇze da se kaˇze da je intenzitet svakog talasa takodje povezan sa kvadratom
njegove amplitude. Za zvuˇcne talase u vazduhu je amplituda povezana sa maksimalnim
odstupanjima pritiska od atmosferskog, tako da zvuk velikog intenziteta ima relativno veˇ je amplituda oscilovanja izvora
liki kalibrisani pritisak (iznad ili ispod atmosferskog). Sto
zvuka ve´ca, ve´ca je i koliˇcina vazduha koju on sabija prilikom formiranja talasa (slika 9.16)
pa je ve´ci i njegov intenzitet.
Kao ˇsto postoje donja i gornja graniˇcna frekvencija unutar kojih uvo ose´ca promene
pritiska u vazduhu kao zvuk, tako postoje i odredjene graniˇcne vrednosti intenziteta zvuka.
Minimalna vrednost intenziteta zvuka koje ljudsko uvo moˇze da ˇcuje naziva se intenzitet
zvuka na pragu ˇcujnosti ili prag ˇcujnosti. Taˇcna vrednost praga ˇcujnosti zavisi od stanja
organa sluha (razlikuje se od ˇcoveka do ˇcoveka, a podloˇzan je i promeni sa godinama), ali i
od frekvencije zvuˇcnog signala. Prag ˇcujnosti za jednostavnije talase u slobodnom prostoru,
na uˇcestanosti od 1000 Hz, odredjen je eksperimentalno, statistiˇckim ispitivanjem mladih
i zdravih osoba i iznosi
I0 = 10−12 W/m2 .
(9.9)
Gornja granica intenziteta zvuka koga ljudsko uvo moˇze da ˇcuje odredjena je pojavom bola
do koga dolazi zbog stvaranja velikog pritiska na bubnu opnu, pa se zato naziva granica
bola. Ona takodje zavisi od stanja organa sluha i od uˇcestanosti zvuˇcnog signala, a za 1000
Hz je neˇsto viˇse od 1012 puta ve´ca od praga ˇcujnosti.
262
GLAVA 9. TALASI
Slika 9.16: Grafik promene kalibrisanog pritiska za dva izvora zvuka razliˇcitih intenziteta.
Izvor koji osciluje ve´com amplitudom formira zvuˇcni talas ve´ceg intenziteta.
Veliki opseg intenziteta zvuka u oblasti ˇcujnosti (od 10−12 W/m2 do 1 W/m2 ) je za
ljude, obzirom da uvo na zvuk reaguje ne linearno nego logaritamski, nepodesan. Stoga je
pogodno uvesti novu veliˇcinu koja se naziva nivo zvuka i koja se izraˇzava u decibelima
(dB). Nivo zvuka L u decibelima, zvuka intenziteta I je definisan izrazom
µ
L(dB) = 10 log10
¶
I
,
I0
(9.10)
u kome je sa I0 oznaˇcen referentni intenzitet zvuka, koji smo nazvali prag ˇcujnosti. Nivo
zvuka je, u skladu sa formulom (9.10) u suˇstini bezdimenziona veliˇcina (budu´ci da je definisan odnosom dva intenziteta, odnosno njegovim logaritmom) a naziv nivo ukazuje da je reˇc
o relativnoj veliˇcini obraˇcunatoj u odnosu na neki fiksirani standard (I0 u ovom sluˇcaju).
Jedinica nivoa zvuka, decibel,12 se koristi da ukaˇze na to da je logaritam odnosa I/I0
pomnoˇzen brojem 10.
Nivo zvuka na pragu ˇcujnosti iznosi 0 dB, obzirom da je log1 = 0. U tabeli 8.2 su dati
intenziteti i odgovaraju´ci nivoi za odredjene karakteristiˇcne zvuˇcne talase.
Jedna od interesantnijih stvari koju treba uoˇciti u tabeli 8.2 je da su intenziteti, za
ve´cinu zvukova, veoma mali delovi W/m2 . Podatak da ljudsko uvo ose´ca intenzitet od
10−12 W/m2 (prag ˇcujnosti) postaje impresivniji kada se predstavi kao ˇcinjenica da u tom
sluˇcaju na, bubnu opnu, povrˇsine oko 1 cm2 , pada 10−16 W (odnosno J energije u jednoj
sekundi). U tom sluˇcaju molekuli vazduha vibriraju sa amplitudama koje su manje od
njihove veliˇcine a kalibrisani pritisak je, pri tome, manji od 10−9 atm!
Druga izuzetna ˇcinjenica u vezi ove tabele je raspon predstavljenih intenziteta. Odnos
zvuka koji izaziva oˇste´cenja uva u sekundi i praga ˇcujnosti je ˇcak 1012 . Mi ne registrujemo taj raspon kao izuzetno veliki ve´c je naˇs ose´caj toga blaˇzi i viˇse odgovara njegovom
logaritmu. Drugim reˇcima, nivo zvuka u decibelima bolje odgovara naˇsem ose´caju razlika
u jaˇcini zvuka nego intenziteti izraˇzeni u W/m2 . Skala u decibelima je naravno i mnogo
12
Osnovna jedinica je zapravo bel, koji je ime dobio po Aleksandru Belu, izumitelju telefona.
9.5. AKUSTIKA
263
primer/efekat
prag ˇcujnosti
ˇsuˇstanje liˇs´ca
ˇsaputanje na 1 m udaljenosti
tiˇsina u ku´ci
proseˇcna buka u ku´ci
proseˇcna buka u kancelariji, lagana muzika
razgovor
buˇcna kancelarija, gust saobra´caj
glasno odvrnut radio
unutraˇsnjost metroa
(posledice prilikom duˇze izloˇzenosti)
najbuˇcnije fabrike
(posledice prilikom izloˇzenosti 8 h dnevno)
posledice prilikom izloˇzenosti 30 min dnevno
prag bola, glasni rok koncerti,
pneumatski ˇceki´c udaljen 2 m
(posledice prilikom izloˇzenosti u trajanju od sekunde)
mlazni avion na 30 m udaljenosti
pucanje bubne opne
I
(W/m2 )
1 × 10−12
1 × 10−11
1 × 10−10
1 × 10−9
1 × 10−8
1 × 10−7
1 × 10−6
1 × 10−5
1 × 10−4
L
(dB)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 × 10−3
90
1 × 10−2
1 × 10−1
100
110
1
1 × 102
1 × 104
120
140
160
Tabela 9.2: Intenziteti i nivoi zvuka za neke karakteristiˇcne zvuˇcne talase.
praktiˇcnija za izraˇcunavanja obzirom da se u okviru nje operiˇse brojkama koje se kre´cu od
delova jedinica do stotica, dok se u skali intenziteta operiˇse brojevima koji su, na primer,
oblika 1 × 10−11 .
P r i m e r X. Izraˇcunati nivo zvuka intenziteta I = 5, 00 × 10−4 W/m2 (5 puta intenzivniji zvuk od onoga ˇciji nivo iznosi 80 dB).
R e ˇs e nj e. Prema formuli (9.10) se dobija
Ã
I = 10 log10
5, 00 × 10−4 W/m2
1, 00 × 10−12 W/m2
!
= 10 log10 (5, 00 × 108 )
= 10(8, 70) dB = 87, 0 dB.
P r i m e r X. Za koliko se pove´ca nivo zvuka ukoliko se njegov intenzitet udvostruˇci?
R e ˇs e nj e. Razlika nivoa ova dva zvuka
µ
L2 − L1 = 10 log10
I2
I0
¶
µ
− 10 log10
I1
I0
¶
µ
= 10 log10
µ
I2
I0
¶
µ
− log10
I1
I0
¶¶
obzirom na osobine logaritamske funkcije13 moˇze da se napiˇse u obliku
L2 − L1 = 10(log10 I2 − log10 I0 − log10 I1 + log10 I0 ) = 10(log10 I2 − log10 I1 )
13
Za osobine ove funkcije pogledati Dodatak na kraju knjige.
264
GLAVA 9. TALASI
µ
= 10 log10
¶
I2
.
I1
Kako je intenzitet udvostruˇcen, odnos je I2 /I1 = 2, 00, pa je razlika u decibelima
L2 − L1 = 10 log10 2, 00 = 10(0, 301) = 1, 01 dB.
Iz tabele se takodje vidi da pove´canje u intenzitetu za faktor 10 (odnosno 10 puta)
odgovara pove´canju nivoa zvuka za 10 dB.14 Nekoliko interesantnih primera za ove odnose
je navedeno u tabeli 8.3
I2 /I1
2,0
5,0
10,0
L2 − L1
3,0 dB
7,0 dB
10,0 dB
Tabela 9.3: Odnosi intenziteti i odgovaraju´ce razlike u nivou zvuka.
9.5.4
Doplerov efekat
Verovatno smo svi primetili da se zvuk automobilske sirene menja dok automobil prolazi
kraj nas. Frekvencija zvuka koji pri tome registruju naˇse uˇsi, potaje viˇsi dok se automobil
pribliˇzava a opada kada on poˇcne da se udaljava. Pri ovome naravno sirena sve vreme
emituje zvuk iste frekvencije, a menja se frekvencija zvuka koji mi registrujemo To je samo
jedan primera takozvanog Doplerovog efekta.15
Da bi razumeli ˇsta izaziva prividnu promenu frekvencije talasa, zamislimo da se nalazimo
na ˇcamcu usidrenom na ustalasalom moru sa talasima perioda T = 3, 0 s. To znaˇci da ´ce
na svake 3,0 s ˇcamac pogoditi breg talasa. Slika 9.17 (a) prikazuje tu situaciju, za sluˇcaj
kada se talasi kre´cu sa desna na levo. Ukoliko trenutak kada ˇcamac pogodi breg talasa
proglasimo za poˇcetni trenutak posmatranja (odnosno resetujemo ˇstopericu tako da u tom
trenutku pokazuje nulu), nakon 3 sekunde ´ce brod pogoditi naredni, nakon 6 sekundi drugi,
itd. Na osnovu toga zakljuˇcujemo da je frekvencija talasa ν = 1/T = 1/3.0 Hz.
Pretpostavimo da ˇcamac viˇse nije usidren i da ga vetar nosi ka nadolaze´cim talasima
(slik 9.17 (b)). Ukoliko opet resetujemo ˇstopericu da bude na nuli u momentu kada breg
talasa pogodi ˇcamac, primeti´cemo da ´ce nas naredni breg pogoditi za manje od 3,0 s nakon
prvog. Razlog je naravno taj ˇsto se ˇcamac kre´ce u susret talasima. Drugim reˇcima, period
talasa koje ”prima” ˇcamac je manji od 3,0 s, odnosno od perioda koji je registrovan kada
je on mirovao. Obzirom da je ν = 1/T , to znaˇci da ´ce se na ˇcamcu registrovati talas ve´ce
frekvencije od one kada je bio u stanju mirovanja.
Ukoliko ˇcamac promeni smer kretanja i poˇcne da se kre´ce u istom smeru kao i talasi registrova´ce se suprotan efekat. Ponovo resetujemo ˇstopericu u momentu kada ˇcamac pogodi
breg talasa i merimo vreme do nailaska slede´ceg. Primeti´ce se da je to vreme duˇze od 3.0
14
Tako na primer, pove´canje u nivou, od 60 na 90 dB, je pove´canje od 30 dB, ali u pogledu intenziteta
reˇc je o pove´canju od 103 puta.
15
Ovaj efekat je dobio ime po Austrijskom fiziˇcaru Kristijanu Johanu Dopleru (Christian Johann Doppler,
1803-1853), koji ga je otkrio kod svetlosnih talasa.
9.5. AKUSTIKA
265
(a)
vèamca=0
u
(b)
(c)
vèamca
vèamca
u
u
ˇ
Slika 9.17: (a) Talasi se kre´cu ka stacionarnom ˇcamcu. (b) Camac
se kre´ce ka izvoru talasa.
ˇ
(c) Camac
se kre´ce od izvora talasa.
s, obzirom da je smer i talasa i ˇcamca isti. Drugim reˇcima, period registrovanih talasa je
ve´ci a njihova frekvencija je manja nego u sluˇcaju kada ˇcamac miruje.
Pomenuti efekti se deˇsavaju usled postojanja relativne brzine kretanja ˇcamca u odnosu
na talase. Kada se ˇcamac kre´ce sa leva na desno, relativna brzina je ve´ca od brzine talasa,
ˇsto dovodi do registrovanja talasa ve´ce frekvencije. Kada se ˇcamac kre´ce u suprotnom
smeru, relativna brzina registrovanih talasa je manja, a time i frekvencija registrovanih
talasa.
Izvrˇsenu analizu je mogu´ce proˇsiriti na sluˇcaj zvuˇcnih talasa u vazduhu. Pretpostavimo
da se posmatraˇc P kre´ce a da je izvor zvuˇcnog talasa S stacionaran. Pretpostavimo da
je, takodje i vazduh u stanju mirovanja i da se posmatraˇc kre´ce brzinom vp , direktno ka
taˇckastom, stacionarnom (vs = 0) izvoru talasa (slika 9.18).16
Neka su ν i λ frekvencija i talasna duˇzina, respektivno, izvora talasa, a da je brzina
zvuka u. U sluˇcaju kada se ne kre´cu ni izvor ni posmatraˇc (vs = 0 i vp = 0), frekvencija
zvuka koji registruje posmatraˇc je jednaka frekvenciji zvuˇcnog izvora. Kada se posmatraˇc
kre´ce ka izvoru zvuka, brzina talasa u odnosu na njega postaje ve´ca, i iznosi u0 = u+vp (kao
u sluˇcaju ˇcamca), dok talasna duˇzina ostaje nepromenjena. Na osnovu jednaˇcine u = λν,
zakljuˇcujemo da je frekvencija zvuka koga ˇcuje posmatraˇc uve´cana i da iznosi
ν0 =
16
u
u + vp
=
.
λ
λ
Kada se kaˇze da je izvor stacionaran, misli se da se ne kre´ce u odnosu na sredinu (u ovom sluˇcaju
vazduh) kroz koju se prostire zvuk.
266
GLAVA 9. TALASI
Slika 9.18: Biciklista se kre´ce brzinom vp ka stacionarnom izvoru talasa S.
Kako je λ = u/ν, ovaj izraz moˇze da se zapiˇse u obliku
µ
¶
vp
ν (posmatraˇc se kre´ce ka izvoru).
ν = 1+
u
0
(9.11)
Ukoliko se posmatraˇc kre´ce od izvora, relativna brzina talasa u odnosu na posmatraˇca
je u0 = u − vp , pa ´ce frekvencija zvuka koji registruje posmatraˇc biti
µ
¶
vp
ν = 1−
ν (posmatraˇc se kre´ce od izvora).
u
0
(9.12)
Ove dve formule mogu da se objedine u jednu
µ
ν0 = 1 ±
¶
vp
ν,
u
(9.13)
gde se znak plus koristi kada se posmatraˇc kre´ce ka izvoru, a znak minus kada se kre´ce od
njega.
Razmotrimo sada situaciju kada se izvor kre´ce direktno ka posmatraˇcu A koji miruje.
Sa slike 9.19 se vidi da ´ce, talasni frontovi zvuka koji posmatraˇc A ˇcuje, u tom sluˇcaju
biti bliˇzi jedni drugima nego u sluˇcaju kada je izvor u stanju mirovanja. Stoga je talasna
duˇzina λ0 koju meri (uz pomo´c nekog instrumenta na primer) posmatraˇc A, kra´ca od talasne
duˇzine izvora λ. U toku svake oscilacije, koja traje T , izvor, kre´cu´ci se brzinom vs , prelazi
rastojanje vs T = vs /ν, a talasna duˇzina koju meri posmatraˇc λ0 je upravo jednaka razlici
talasne duˇzine izvora λ i ovog iznosa
λ0 = λ − ∆λ = λ −
vs
.
ν
Kako je λ = u/ν, frekvencija zvuka koji ˇcuje posmatraˇc A je
ν0 =
u
u
=
=
0
λ
λ − vνs
u
ν
u
,
− vνs
9.5. AKUSTIKA
267
Slika 9.19: Izvor S se kre´ce brzinom vs ka stacionarnom posmatraˇcu A, odnosno od takodje
stacionarnog posmatraˇca B.
odnosno
ν0 =
1
ν,
1 − vus
(9.14)
odakle se moˇze zakljuˇciti da je, frekvencija koju registruje posmatraˇc kada se izvor kre´ce
ka njemu, ve´ca od frekvencije talasa koje emituje izvor.
Ako se izvor kre´ce od posmatraˇca (sluˇcaj sa posmatraˇcem B sa slike 9.19), posmatraˇc
registruje ve´cu talasnu duˇzinu λ0 , od talasne duˇzine kojom izvor emituje talase, ˇsto znaˇci
da frekvencija koju posmatraˇc registruje opada, i iznosi
ν0 =
1
ν.
1 + vus
(9.15)
Kombinuju´ci jednaˇcine (9.14) i (9.15), opˇsti izraz koji opisuje vezu izmedju registrovane i
emitovane frekvencije, u sluˇcaju kada se izvor kre´ce a posmatraˇc je u stanju mirovanja, je
ν0 =
1
ν,
1 ∓ vus
(9.16)
gde se gornji znak odnosi na kretanje izvora ka posmatraˇcu a donji na udaljavanje od njega.
Naravno, mogu´ca je i najopˇstija situacija, u kojoj se i izvor i posmatraˇc kre´cu, a izraz za
registrovanu frekvenciju, u tom sluˇcaju, moˇze da se napiˇse uzimanjem u obzir ve´c dobijenih
izraza:
u ± vp
ν0 =
ν.
(9.17)
u ∓ vs
U ovom izrazu, gornji znaci (+vp i −vs ) odgovaraju situaciji kada se izvor i posmatraˇc pribliˇzavaju jedan drugome, a donji znaci (−vp i +vs ) situaciji kada se medjusobno udaljavaju.
268
GLAVA 9. TALASI
Na osnovu iznete analize je jasno da, uvek kada je reˇc o pribliˇzavanju, raste frekvencija, a
kada imamo sluˇcaj da se izvor i posmatraˇc udaljavaju, frekvencija opada.17
P r i m e r X. Ambulantna kola, sa ukljuˇcenom sirenom koja emituje zvuk frekvencije
400 Hz, se kre´cu brzinom 33,5 m/s, u susret kolima koja ka njima idu brzinom 24,6 m/s.
Zvuk koje frekvencije ´ce ˇcuti osoba u kolima kada se pribliˇzavaju ambulantnim kolima, a
koje kada se, nakon mimoilaˇzenja, udaljavaju? Temperatura vazduha iznosi 20 o C.
R e ˇs e nj e. Potrebno je iskoristiti u oba sluˇcaja jednaˇcinu (9.17), uz ˇcinjenicu da je
brzina zvuka u vazduhu, na navedenoj temperaturi, 343 m/s. Kada se kola pribliˇzavaju
jedna drugima, osoba u kolima ´ce registrovati frekvenciju
ν0 =
u + vp
343 m/s + 24, 6 m/s
ν=
400 Hz = 475 Hz.
u − vs
343 m/s − 33, 5 m/s
Kada se udaljavaju, traˇzena frekvencija je
ν0 =
u − vp
343 m/s − 24, 6 m/s
ν=
400 Hz = 338 Hz.
u + vs
343 m/s + 33, 5 m/s
Promena u registrovanoj frekvenciji je 475-338=137 Hz, odnosno viˇse od 30% prave frekvencije.
Udarni talasi
Brzina izvora zvuka moˇze imati bilo koju vrednost (svakako manju od brzine svetlosti u
vakuumu), pa u tom smislu moˇze biti i ve´ca od brzine prostiranja zvuka u datoj sredini.
Da li se medjutim, neˇsto posebno deˇsava kada se brzina izvora pribliˇzava, postaje jednaka
brzini zvuka a zatim i ve´ca od nje? Grafiˇcki prikaz ove tri situacije je dat na slici 9.20.
Slika 9.20: Izgled talasnih frontova za razliˇcite brzine izvora talasa u odnosu na brzinu
njihovog prostiranja kroz sredinu.
ˇ
Pretpostavimo da mlazni avion nailazi pravo ka nama, emituju´ci zvuk frekvencije ν. Sto
je ve´ca njegova brzina vs , prema jednaˇcini (9.14), je ve´ci i Doplerov efekat, odnosno viˇsa
je frekvencija ν 0 koju ˇcujemo. Prema toj jednaˇcini, u situaciji kada brzina izvora postane
17
Iako je tipiˇcno iskustvo koje imamo sa Doplerovim efektom vezano za zvuˇcne talase, reˇc je o fenomenu
koji se javlja kod svih tipova talasa. Na primer, relativno kretanje izvora i posmatraˇca, dovodi do promene
u registrovanoj frekvenciji i svetlosnih talasa. Doplerov efekat koriste policajci u radarskim sistemima kada
mere brzinu kretanja vozila. Astronomi takodje koriste ovaj efekat da bi odredili brzine zvezda, galaksija, i
drugih nebeskih tela u odnosu na Zemlju.
9.5. AKUSTIKA
269
jednaka brzini zvuˇcnog talasa, frekvencija ν 0 teˇzi beskonaˇcnosti jer imenilac ovog izraza
teˇzi nuli. Fiziˇcki to znaˇci da ´ce ispred izvora svaki naredni talas da sustigne prethodni,
jer se izvor kre´ce upravo sa brzinom zvuka. Posmatraˇc ´ce sve njih ˇcuti u isto vreme, i
zato je frekvencija beskonaˇcna.18 U sluˇcaju kada se izvor kre´ce brzinom ve´com od brzine
zvuka, zvuˇcni talasi ne´ce dolaziti do posmatraˇca sve dok izvor ne prodje kraj njega. Nakon
toga, do njega ´ce stizati talasi koje je emitovao pribliˇzavaju´ci se, pomeˇsani sa onima koje
je emitovao nakon toga.
Slika 9.21: Zvuk iz izvora koji se kre´ce brˇze od zvuka se ˇsiri sferno od taˇcke u kojoj je
emitovan. Konstruktivna interferencija se dogadja duˇz linija koje su prikazane stvaraju´ci
udarni talas.
Izmedju ovih talasa dolazi do konstruktivne interferencije duˇz linija prikazanih na slici
9.21 u koje oni stiˇzu istovremeno. Na taj naˇcin se formira poreme´caj koji se ˇcuje kao
eksplozija. Unutar ovih linja (u tri dimenzije je reˇc o konusu) interferencija je uglavnom
ˇ je ve´ca brzina izvora manji je ugao θ.
destruktivna pa je intenzitet zvuka manji. Sto
Na slici 9.21 kruˇznice predstavljaju sferne talasne frontove koje je izvor talasa emitovao
u raznim trenucima vremena tokom kretanja. Neka se u trenutku t = 0 izvor nalazio u
taˇcki koja je na slici oznaˇcena sa S0 a u trenutku t u taˇcki S. Za vremenski interval jednak
t, talasni front koji je emitovan iz taˇcke S0 je dostigao polupreˇcnik ut, dok se za isti interval
vremena izvor zvuka pomerio na rastojanja vs t, odnosno doˇsao u taˇcku S. Ukoliko se nacrta
linija koja polazi iz taˇcke S i koja je tangenta na kruˇznicu sa centrom u S0 ispostavlja se
da ´ce ona takdoje biti tangenta i svih ostalih talasniih frontova koji su nastali u trenucima
izmedju t = 0 i t. U tri dimenzije reˇc je o konusu kod koga je sinus ugla θ sa slike dat
izrazom
ut
u
sin θ =
= .
vs t
vs
18
Pre nego ˇsto su konstruisani avioni koji lete nadzvuˇcnim brzinama, bilo je miˇsljenja da su takvi letovi
nemogu´ci jer ´ce u momentu kada avion dostigne brzinu zvuka sabiranje talasa stvoriti ogroman pritisak koji
´ce uniˇstiti avion.
270
GLAVA 9. TALASI
Odnos brzina vs /u se naziva Mahov broj, a konusni talasni front koji se stvara u situacijama
kada je vs > u (odnosno pri nadzvuˇcnim brzinama) se naziva udarni talas. Interesantna
analogija udarnog talasa je talasni front oblika slova V koji se formira prilikom kretanja
broda na vodi u situaciji kada je njegova brzina ve´ca od brzine talasa koje stvara na povrˇsini
vode.
Slika 9.22: (a) Talas oblika slova V koji nastaje kao posledica ˇcinjenice da je brzina broda
ve´ca od brzine talasa koje stvara na vodi. (b) Dve eksplozije koje potiˇcu od kljuna i repa
aviona.
Mlazni avioni koji se kre´cu nadzvuˇcnim brzinama stvaraju udarne talase usled kojih se
ˇcuju eksplozije kao posledica energije skoncentrisane na konusima koji su posledica velikih
razlika u pritiscima. U stvari se uvek ˇcuju dve eksplozije, jedna dolazi sa njegovog kljuna
a druga sa repa (slika 9.22 (b) i 9.23)
Slika 9.23: Razlika u kalibrisanom pritisku na kljunu i repu aviona.
Posmatraˇci sa zemlje obiˇcno imaju poteˇsko´ce da uoˇce na nebu avion koji se kre´ce
nadzvuˇcnom brzinom jer ga, po navici, pogledom traˇze na mestu sa koga dolazi zvuk.
Ukoliko avion leti na malim visinama, pritisak koji se pri tome stvara moˇze da bude destruktivan i da izazove oˇste´cenja (lomljenje prozora na ku´cama). Iz tog razloga je letenje
nadzvuˇcnim brzinama obiˇcno zabranjeno iznad naseljenih oblasti.
Doplerov efekat i udarni talasi su interesantni fenomeni koji se najlakˇse uoˇcavaju kod
zvuˇcnih talasa ali postoje, kao ˇsto je ve´c reˇceno, kod svih tipova talasa. Ovaj efekat ima
9.5. AKUSTIKA
271
ˇ
Slika 9.24: Cerenkovljevo
zraˇcenje je svetlost koju zraˇci subatomska ˇcestica kre´cu´ci se
brzinom ve´com od brzine svetlosti u datoj sredini. Ovaj svetlosni talas se, kao i u sluˇcaju
zvuˇcnog talasa, ˇsiri u obliku konusa.
veliku primenu, kod ultrazvuˇcnih talasa se koristi za merenje brzine strujanja krvi, dok ga
policija u radarima koji rade sa mikrotalasima (jedna od oblasti u spektru elektromagnetnih
talasa) koristi za merenje brzine automobila.
Tipiˇcni V talasi se sre´cu i u situaciji kada se subatomske ˇcestice kre´cu kroz neki medijum
brzinom koja je ve´ca od brzine kojom se svetlost kre´ce kroz njega. Ukoliko takva ˇcestica
prilikom kretanja zraˇci elektromagnetne talase (svetlost), oni se ˇsire u obliku konusa sa
ˇ
uglom koji zavisi od brzine ˇcestice (slika 9.24). Ovakav tip zraˇcenja se naziva Cerenkovljevo
zraˇcenje.
9.5.5
Intereferencija i rezonanca zvuˇ
cnih talasa. Stoje´
ci talasi u vazduˇ
snim
stubovima
Za fenomen interferencije se moˇze re´ci da predstavlja zaˇstitni znak talasnih proces. Naime,
ukoliko za neki proces utvrdimo da poseduje ovaj efekat, moˇzemo biti sigurni da ima talasnu
prirodu. Kako je zvuk talas, i kod njega treba oˇcekivati postojanje efekta interferencije.19
Interferencija zvuˇcnih talasa ima mnogo primena. Jedna od interesantnijih je njeno
koriˇs´cenje za smanjenje neˇzeljenih zvukova odnosno buke i ˇsumova. Naime, piloti aviona
kao i ˇsatlova koriste specijalno napravljene sluˇsalice takve da se u njima deˇsava destruktivna interferencija buke koja dolazi od motora. Ovakve sluˇsalice su mnogo efikasnije od
obiˇcnih koje rade na principu priguˇsenja nepoˇzeljnih zvukova. Destruktivna interferencija
nepoˇzeljnih zvukova se takodje koristi i na komercijalnim letovima pri ˇcemu se ona stvara
u ˇcitavom prostoru aviona predvidjenom za putnike. Da bi se to postiglo koriste se elektronske komponente koje vrˇse veoma brzu analizu buke i na osnovu toga generiˇsu drugi
zvuˇcni talas koji ima svoje maksimume i minimume u potpunosti na suprotnim mestima u
odnosu na neˇzeljeni talas. Zvuˇcni talasi u fluidima su, kao ˇsto je naglaˇseno, talasi pritiska,
a za njega, prema Paskalovom principu, pritisci koji potiˇcu od dva izvora se mogu sabirati
i oduzimati kao obiˇcni brojevi. To znaˇci da, pozitivni i negativni kalibrisani pritisak, na
istom mestu, daju umanjeni kalibrisani pritisak koji odgovara zvuku srazmerno manjeg
19
Na ovu ˇcinjenicu je ukazano kada je bilo reˇci o izbijanjima.
272
GLAVA 9. TALASI
intenziteta.20
Gde sve moˇzemo susresti pojavu interferencije? Kod muziˇckih instrumenata se recimo
stalno sre´cemo sa konstruktivnom i destruktivnom interferencijom. Naime, jedino zvuˇcni
talasi koji poseduju takozvane rezonantne frekvencije ´ce interferirati konstuktivno i storiti
stoje´ce talase, dok ostale interferiraju destruktivno i poniˇstavaju se.
Slika 9.25: Rezonanca vazduha u cevi zatvorenoj na jednom kraju izazvana zvuˇcnom
viljuˇskom.
Pretpostavimo da zvuˇcnom viljuˇskom proizvodimo ton odredjene frekvencije i drˇzimo
je ispred kraja cevi koja je zatvorena na drugom kraju (slika 9.25). Ukoliko je zvuˇcna
viljuˇska odgovaraju´ce frekvencije, stub vazduha u cevi ´ce jako rezonirati. Upotrebimo li
niz zvuˇcnih viljuˇski razliˇcitih frekvencija primetili bi da samo na nekima dolazi do pojaˇcanja
tona a da na ve´cini njih postoje veoma slabe oscilacije vazduˇsnog stuba u cevi. To znaˇci
da vazduˇsni stub u cevi poseduje odredjeni niz takozvanih prirodnih frekvencija. Na slici
9.25 je prikazano kako se formira rezonanca na najniˇzoj od prirodnih frekvencija.
Slika 9.26: Nezavisno od naˇcina pobudjenja u cevima jednake duˇzine se formiraju isti stoje´ci
talasi.
Poreme´caj, izazvan oscilovanjem viljuˇske putuje duˇz cevi brzinom zvuka i pogadja njen
zatvoreni kraj. Ukoliko cev ima odgovaraju´cu duˇzinu, reflektovani zvuk ´ce sti´ci nazad ka
viljuˇski baˇs u trenutku kada ona zavrˇsi polovinu oscilacije pa ´ce do´ci do konstruktivne
20
Potpuna destruktivna interferencija je mogu´ca samo ukoliko su talasi veoma jednostavni, ˇsto obiˇcno
nije sluˇcaj, ali se svejedno nivo buke moˇze smanjiti ˇcak i za viˇse od 30 dB.
9.5. AKUSTIKA
273
interferencije izmedju tog zvuka i onoga koji emituje viljuˇska.
Stoje´ci talas koji se formira pri tome u ovakvoj cevi ima maksimalna pomeranja vazduha
(trbuh) na otvorenom kraju cevi, gde pokretanje molekula nije niˇcim ograniˇceno, a molekuli
se ne pomeraju (ˇcvor) tamo gde je kraj cevi koji je zatvoren. Rastojanje od trbuha do ˇcvora
je jednako ˇcetvrtini talasne duˇzine, odnosno jednako je duˇzini cevi, λ = 4L. Napomenimo
da se identiˇcna rezonancija dobija i kada se viljuˇska nalazi blizu zatvorenog kraja cevi (slika
9.26), ˇsto je opravdanje da je reˇc o jednoj od prirodnih frekvencija kojima moˇze da osciluje
vazduˇsni stub u cevi, nezavisno od naˇcina kako je njegovo oscilovanje izazvano.
Maksimalno pomeranje molekula vazduha je mogu´ce na otvorenom kraju cevi, dok se
na zatvorenom kraju molekuli ne pomeraju, tako da je mogu´ca rezonanca i na manjim
talasnim duˇzinama (slika 9.27). Prva naredna mogu´cnost rezonance je stoje´ci talas koji se
formira ukoliko je L = (3/4)λ0 .
Slika 9.27: Naredna rezonanca cevi zatvorene na jednom kraju. Talasna duˇzina je kra´ca i
iznosi λ0 = 4L/3.
Ukoliko nastavimo analizu, vide´cemo da zapravo postoji ˇcitav niz stoje´cih talasa, sve
manje talasne duˇzine a sve viˇsih frekvencija koje mogu da rezoniraju u ovakvoj cevi. Najniˇza
rezonantna frekvencija se naziva fundamentalna ili osnovna. Kao ˇsto ´ce kasnije biti
pokazano, sve ostale rezonantne frekvencije su celobrojni umnoˇsci osnovne frekvencije a
sve nose zajedniˇcko ime harmonici. Osnovna frekvencija je prvi harmonik, naredna je
drugi, itd. Na slici 9.28 su prikazana prva ˇcetiri harmonika, odnosno osnovni i tri viˇsa
harmonika.
Osnovni i viˇsi harmonici mogu da postoje istovremeno u raznim kombinacijama. Na
primer, srednja nota C na trubi zvuˇci razliˇcito od srednjeg C na klarinetu, iako su oba
instrumenta dobijena modifikovanjem cevi zatvorene na jednom kraju. Osnovna frekvencija
je kod oba instrumenta ista (i obiˇcno je najintenzivnija), a koji ´ce se viˇsi harmonici i sa
kojim intenzitetom pojaviti zavisi od veˇstine muziˇcara koji svira na ovim instrumentima.
Upravo ta meˇsavina viˇsih harmonika je ono ˇsto ˇcini razliˇcitim muziˇcke instrumente i ljudske
glasove, nezavisno od toga da li se tonovi proizvode u vazduˇsnim stubovima, na ˇzicama ili
uz pomo´c zategnutih membrana. Zvuk koji mi proizvodima naˇsim glasovnim aparatom je
uglavnom odredjen, osim debljine glasnih ˇzica, oblikom usne ˇsupljine i poloˇzajem jezika ˇsto
definiˇse koje ´ce se frekvencije, sem osnovne, pojaviti.
Rezonatne frekvencije cevi zatvorenih na jednom kraju
Talasna duˇzina osnovnog harmonika kod cevi zatvorene na jednom kraju λ = 4L, pa je na
osnovu izraza u = λν, njegova frekvencija
ν=
u
u
=
,
λ
4L
274
GLAVA 9. TALASI
Slika 9.28: Prvi i naredna tri harmonika koji mogu da se nagrade kod cevi zatvorene na
jednom kraju.
gde je u brzina zvuka u vazduhu. Za naredni harmonik vaˇzi λ0 = 4L/3, pa je
ν0 = 3
u
= 3ν1 .
4L
Poˇsto je ν 0 = 3ν, ovaj viˇsi harmonik se zove tre´ci. Ako se nastavi ovakva analiza dolazimo
do opˇsteg izraza koji opisuje sve mogu´ce rezonantne frekvencije cevi zatvorene na
jednom kraju
u
(9.18)
νn = n , n = 1, 3, 5, ...
4L
gde je ν1 fundamentalna frekvencija a prvi viˇsi harmonik je tre´ci, itd. Moˇze se re´ci da, u
sluˇcaju cevi zatvorene na jednom kraju, prirodne frekvencije formiraju harmonijsku seriju
u kojoj se pojavljuju samo neparni umnoˇzci fundamentalne frekvencije. Interesantno je
primetiti da rezonantne frekvencije zavise od brzine zvuka, a ova, kao ˇsto je ranije naglaˇseno,
od temperature. Iz tog razloga muˇzi v cari uvek ranije donose instrumente u prostoriju u
kojoj ´ce svirati i po potrebi ih ˇstimuju, odnosno podeˇsavaju.
Rezonatne frekvencije cevi otvorenih na oba kraja
Stoje´ci talasi koji se u sluˇcaju cevi otvorene na oba kraja formiraju se mogu analizirati
na veoma sliˇcan naˇcin kao u sluˇcaju cevi zatvorene na jednom kraju. Bitno je uoˇciti da,
obzirom da je cev otvorena na oba kraju, u njoj ´ce maksimalna pomeranja deli´ca vazduha
biti upravo na njenim krajevima (slika 9.29).
Uzimaju´ci to u obzir, na osnovu skica stoje´cih talasa sa ove slike, relativno lako se
dobija da su rezonatne frekvencije cevi otvorene na oba kraja date opˇstim izrazom
νn = n
u
, n = 1, 2, 3, ...
2L
(9.19)
gde je ν1 osnovna frekvencija, ν2 je frekvencija drugog harmonika, itd. Primetimo da cev
otvorena na oba kraja ima osnovnu frekvenciju koja je duplo ve´ca od one kod cevi koja je
9.5. AKUSTIKA
275
Slika 9.29: Prvi i naredna tri harmonika koji mogu da se nagrade kod cevi otvorene na oba
kraja.
zatvorena na jednom kraju. Spektar ostalih frekvencija im se takodje razlikuje. Iz njega
se moˇze zakljuˇciti da ´ce, u situaciji kada sviramo istu notu na dva duvaˇcka instrumenta
od kojih je jedan konstruisan od cevi otvorene na jednom a drugi od cevi otvorenu na oba
kraja, ona ´ce zvuˇcati razliˇcito. Naime, sviranje note srednje C ´ce na cevi otvorenoj na oba
kraja zvuˇcati bogatije (punije) jer ona u nizu harmonika ima i parne i neparne dok kod
cevi zatvorene na jednom kraju postoje samo neparni harmonici.
Duvaˇcki instrumenti koriste rezonancu u vazduˇsnim stubovima da pojaˇcaju tonove koji
ˇ cani instrumenti, kao ˇsto su na primer gise proizvode usnama ili vibriraju´cim piskovima. Ziˇ
tara i violina, stvaraju tonove ˇzicama dok oni rezoniraju u rezonatorskim kutijama, koje ih
znatno pojaˇcavaju i dodaju viˇse harmonike koji na taj naˇcin datom instrumetnu daju karakˇ je kompleksnijeg oblika rezonatorska kutija to je ve´ca sposobnost
teristiˇcnu boju tona. Sto
da rezonira u ˇsirem dijapazonu frekvencija.21
9.5.6
Spektar
Ukoliko je zvuk prost sinusni talas, onda se takav zvuk naziva prost ton. Medjutim, zvuˇcni
talasi su najˇceˇs´ce sloˇzeni talasi. Ukoliko se razlaganjem ovih talasa moˇze dobiti konaˇcan
broj prostih talasa onda se takav zvuk naziva sloˇzeni ton. Ako zvuˇcni talas nije periodiˇcan
(tj. ne moˇze se razloˇziti na proste talase) takva vrsta zvuka se naziva ˇsum. Prema tome,
zvuk se moˇze podeliti na ton i ˇsum, pri ˇcemu tonovi mogu da budu prosti i sloˇzeni.
Ako nacrtamo amplitude talasa dobijenih dekompozicijom sloˇzenog talasa u funkciji
frekvencije dobijamo amplitudski spektar. Spektar tona je linijski, tj. on sadrˇzi linije na
21
Rezonancija i stvaranje stoje´cih talasa su obradjeni na primeru zvuˇcnih talasa, ali su ideje koje su
pri tome koriˇs´cene veoma generalne i mogu se primeniti na sve talase. U tom smislu je analiza talasa
koji se stvaraju oscilovanjem zategnutih ˇzica analogna i moˇze se relativno lako uraditi. Intresantno je da
ovaj pristup moˇze da se primeni i na prouˇcavanje strukture atoma ukoliko se podje od pretpostavke da
se elektronima mogu pripisati talasne osobine. Na taj naˇcin se njihove orbite u atomima mogu smatrati
stoje´cim talasima koji imaju kao njegovo osnovno stanje prvi harmonik, dok viˇsa stanja odgovaraju viˇsim
harmonicima.
276
GLAVA 9. TALASI
frekvencijama ν1 , ν2 = 2ν1 , ν3 = 3ν1 , itd. Prost ton sadrˇzi samo jednu liniju na frekvenciji
ν1 . To znaˇci da sloˇzeni ton moˇze da se razloˇzi na niz prostih tonova ˇcije frekvencije stoje u
odnosu celih brojeva prema osnovnom (fundamentalnom) tonu frekvencije ν1 .
Osnovne karakteristike svakog tona su: visina, boja tona i jaˇcina (intenzitet). Visina
tona je odredjena, kao ˇsto je naglaˇseno frekvencijom fundamentalnog ili osnovnog tona.
Boja tona je odredjena relativnim odnosima amplutuda osnovnog tona i viˇsih harmonika.
Prema boji, razlikujemo tonove proizvedene glasovima razliˇcitih ljudi ili pomo´cu razliˇcitih
instrumenata. Jaˇcina tona je intenzitet sloˇzenog talasa koji je zbir
I = I1 + I2 + I3 + ·,
(9.20)
gde je I1 intenzitet osnovnog tona-odnosno prvog harmonika, I2 intenzitet drugo harmonika,
itd.
Za razliku od tona, ˇsum ima kontinualni spektar. Zbog toga je na verikalnoj osi amplitudskog spektra ˇsuma naneta vrednost amplitudske gustine gI = ∆I/∆ν. Spektri tona
i ˇsuma su dati na slici 9.30.
Slika 9.30: Spektar tona i ˇsuma.
9.5.7
ˇ
Culo
govora
ˇ
Covek
proizvodi govor organom govora koji obuhvata: plu´ca, duˇsnik, grkljan sa glasnim
ˇzicama, ˇzdrelo sa resicom, usnu ˇsupljinu (nepca, jezik, zubi) i nosnu ˇsupljinu, i koji se joˇs
naziva i vokalni trakt. Rad ovog organa moˇze da se uporedi sa radom gajdi: meh proizvodi
stalan protok vazduha koji svirala moduliˇse pretvaraju´ci ga u pulsiraju´ci protok odredjene
frekvencije. U organu govora plu´ca odgovaraju mehu, a glasne ˇzice svirali. One suˇzavaju
vokalni trakt, ostavljaju´ci otvor u vidu uske pukotine, ˇcijim se otvaranjem i zatvaranjem
periodiˇcno prekida vazduˇsna struja i formira zvuˇcni signal koji se dalje obradjuje u raznim
suˇzenjima i komorama koje svojiim poloˇzajem formiraju resica, nepca, jezik, zubi i usne.
Na taj naˇcin se, pri datoj osnovnoj frekvenciji zvuka, mogu stvarati razliˇciti spektri, na
osnovu kojih se pojedini glasovi medjusobno razlikuju.
Glasovi se fonetski dele na samoglasnike i suglasnike. Svi samoglasnici (vokali) su
zvuˇcni, a suglasnici mogu biti i zvuˇcni i bezvuˇcni. Opisani proces proizvodjenja glasa odnosi
se na samoglasnike, dok je kod suglasnika bitna razlika u tome ˇsto se umesto generatora
relaksacionih oscilacija na mestu glasnih ˇzica, javlja generator ˇsuma koji usled suˇzavanja
trakta izaziva vrtloˇzenje u vazduˇsnom strujanju. Kod stvaranja bezvuˇcnih suglasnika glasne
ˇzice miruju, dok kod zvuˇcnih suglasnika i one uˇcestvuju u formiranju glasa.
9.5. AKUSTIKA
277
Kao i svi sloˇzeni zvuci samoglasnici imaju linijski spektar. U njemu su uoˇcljive grupe
istaktnutih harmonika (slika 9.31) koji se nazivaju formanti. Njih ima ˇcetiri, ali mnogo
vaˇzniji od ostalih za raspoznavanje samoglasnika su prvi i, eventualno drugi. U tabeli 9.4
navedeni su najnaglaˇseniji, odnosno najvaˇzniji formanti u naˇsem jeziku.
Slika 9.31: Spektri samoglasnika ”u” i suglasnika ”s”.
Poloˇzaj formanata na skali frekvencije zavisi samo od oblikovanja vokalnog trakta a ne
od osnovne frekvencije glasa niti od toga da li je u pitanju muˇski ili ˇzenski glas. Sa druge
strane, proseˇcna vrednost osnovne frekvencije iznosi oko 125 Hz za muˇski glas, oko 250 Hz
za ˇzenski i oko 300 Hz za deˇciji glas.
samoglasnik
U
O
A
E
I
1. formant
200-400 Hz
400-800 Hz
700-1200 Hz
400-700 Hz
200-400 Hz
2. formant
1800-2500 Hz
2200-3200 Hz
Tabela 9.4: Raspored prva dva formanta u vokalima srpskog jezika.
Kod suglasnika se u spektru ˇsuma mogu uoˇciti istaknuti delovi a to je neˇsto ˇsto odgovara
formantima. Samoglasnici i suglasnici zajedno grade slogove od kojih je naˇcinjen govor.
Trajanje slogova zavisi od brzine govora a u sluˇcaju normalne brzine iznosi oko 0,1-0,2
sekunde. Od toga neˇsto ve´ci deo otpada na samoglasnik jer suglasnik je samo neka vrsta
kra´ce prelazne pojave izmedju dva stacionarna reˇzima tj. dva samoglasnika, koji mogu
trajati i vrlo dugo (na primer kod pevanja). U energijskom smislu, najve´ci deo govora nose
samoglasnici a naroˇcito komponente glasova u oblastima formanata. Suglasnici su sa druge
strane brojniji, i samim tim vaˇzniji za raspoznavanje slogova i reˇci, pa se moˇze re´ci da oni
odredjuju razumljivost govora.
9.5.8
ˇ
Culo
sluha
Ljudsko organ ˇcula sluha, uvo, je osetljiv na veliki opseg frekvencija na razne naˇcine.
Ono nam daje obilje prostih informacija o zvuku koji ˇcujemo, kao ˇsto su njegova visina,
jaˇcina kao i to iz kog smera dolazi. Na osnovu zvuka koji smo registrovali uˇsima moˇzemo
278
GLAVA 9. TALASI
takodje da steknemo utisak o kvalitetu muziˇckog instrumenta (u tom smislu i glasa) kao
i nijanse emocija u njemu. Na koji naˇcin je, medjutim, to ˇsto ˇcujemo u vezi sa fiziˇckiim
karakteristikama zvuka i kako naˇse ˇculo sluha funkcioniˇse?
ˇ
Culo
sluha nam omogu´cuje da ose´camo zvuk. Raspon frekvencija zvuˇcnih talasa koje
moˇze da ˇcuje normalna osoba je priliˇcno veliki i iznosi od 20 do 20 000 Hz. Zvuk frekvencije
ispod 20 Hz se zove infrazvuk a frekvencije iznad 20 000 Hz ultrazvuk i ni jedan ni drugi
se ne moˇze registrovati ljudskim ˇculom sluha. Kada je reˇc o ˇzivotinjama, psi mogu da ˇcuju
zvuk do 30 000 Hz, slepi miˇsevi i delfini skoro do 100 000 Hz, dok su slonovi poznati po
tome ˇsto mogu da registruju i zvuk ispod 20 Hz.
Naˇsem ose´caju koji nazivamo visina zvuka odgovara frekvencija. Ljudi uglavnom mogu
jako dobro da razlikuju zvuke razliˇcitih frekvencija, a mo´c razdvajanja ide ˇcak do 0, 3%
pa i viˇse. Na primer 500,0 Hz i 501,5 Hz su za ljudsko uho razliˇcite frekvencije. Ose´caj
za visinu tona je direktno povezan za frekvenciju i veoma malo zavisi od jaˇcine zvuka. Za
izuzetno nadarene osobe koje mogu da, kada ˇcuju, jasno razlikuju muziˇcke note, kaˇzemo
da poseduju apsolutni sluh.
Uho je izuzetno osetljivo na zvuke niskih intenziteta. Najslabiji zvuk koji moˇze da se
ˇcuje iznosi, kao ˇsto je ve´c navedeno 10−12 W/m2 ili 0 dB. Zvuk, pak intenziteta ve´ceg od
1012 W/m2 ljudsko uvo moˇze da podnese bez oˇste´cenja samo neko kratko vreme. Postoji
svega nekoliko mernih uredjaja koji su u mogu´cnosti da registruju i izmere ovoliki dijapazon
intenziteta zvuka. Ljudsko uvo ose´ca zvuk odredjenog intenziteta kao zvuk koji je manje ili
viˇse glasan. Na datoj frekvenciji, mogu´ce je razaznati razliku u glasnosti od oko 1 dB dok
je razliku od 3 dB ve´c veoma lako osetiti. Glasnost zvuka medjutim nije povezana samo
sa njegovim intenzitetom ve´c i sa frekvencijom. Ljudsko uho je maksimalnno osetljivo na
frekvencijama od 2 000 do 5 000 Hz, pa zvuk tih frekvencija nama izgleda jaˇci od zvuka
istog intenziteta ali frekvencije 500 ili 10 000 Hz. Tako na primer zvuk ˇcije su frekvencije
na rubu onih koje moˇzemo da registrujemo, nam izgleda manje glasan. U tabeli 8.4 su
pobrojane fiziˇcke veliˇcine i one koje naˇse uvo percepira.
percepcija
visina
glasnost zvuka
boja
fiziˇcka veliˇcina
frekvencija
intenzitet i frekvencija
broj i relativni intenzitet
razliˇcitih frekvencija
Tabela 9.5: Percepiranje zvuka.
Kada se na violini i klaviru odsvira ista nota, ne moˇzemo da pogreˇsimo u njihovom
razaznavanju na osnovu ˇcula sluha. Razlog je u tome ˇsto se u ukupnom tonu koji se pri
tome emituje nalaze razliˇciti niz frekvencija razliˇcitih odnosa intenziteta. Naˇse percepiranje
kombinacije frekvencija i intenziteta nazivamo kvalitetom tona ili njegovom bojom. Za
njegovo opisivanje se koriste termini kao - tup, bistar, topao, hladan, ˇcist, bogat, ... Za
razliku od prethodne dve karakteristike zvuka, boja tona je viˇse subjektivna. Analiziranje
boje tona nas dovodi u oblast perceptualne psihologije jer su procesima analize boje zvuka
dominantni sloˇzeni procesi koji se odvijaju u mozgu.
Iako skala u decibelima dobro odgovara subjektivnom ose´caju promene jaˇcine zvuka,
9.5. AKUSTIKA
279
zbog postojanja frekventne zavisnosti praga ˇcujnosti i granice bola, nivo zvuka ne moˇze biti
prava mera za subjektivni ose´caj njegove jaˇcine. Na primer, merenja pokazuju da se od dva
zvuka istog nivoa L = 20 dB, frekvencija 100 i 1000 Hz, prvi uopˇste ne ˇcuje, dok drugi spada
u oblast ˇcujnosti. Iz tog razloga je uvedena nova fiziˇcka veliˇcina koja se naziva subjektivna
jaˇcina zvuka sa jedinicom fon. Na slici 9.32 je prikazana veza izmedju subjektivne jaˇcine
zvuka, njegovog intenziteta i frekvencije. Krive linije su linije jednake glasnosti a kod svake
stoji koliko fona joj odgovara. Svaki ton koji po fiziˇckim karakteristikama leˇzi na datoj
krivoj liniji se, od strane proseˇcnog ˇcoveka, percepira kao jednako glasan. Na frekvenciji
od 1 000 Hz fon je numeriˇcki jednak decibelu.
Slika 9.32: Veza subjektivne jaˇcine zvuka u fonima i nivoa zvuka u decibelima za osobu
koja normalno ˇcuje. Fon i decibel su, po definiciji, jednaki na frekvenciji od 1 000 Hz.
Slika 9.33: Osenˇcena oblast odgovara frekvencijama i niovu intenziteta normalnog govora.
Analiza grafika predstavljenog na slici 9.32 ukazuje na neke interesantne stvari vezane
280
GLAVA 9. TALASI
za to kako ljudi ˇcuju. Prvo, tonove ispod 0 fona ve´cina ljudi ne moˇze da ˇcuje. Na primer,
zvuk od 60 Hz i 40 dB se ne ˇcuje. To znaˇci da kriva od 0 fona predstavlja granicu iznad
koje ˇcuju osobe normalnog sluha. Takodje, sa grafika se vidi, da moˇzemo da ˇcujemo i zvuk
nivoa ispod 0 dB. Na primer, -3 dB i 5 000 Hz se moˇze ˇcuti, poˇsto je takav zvuk iznad krive
od 0 fona. Sve krive glasnosti imaju minimum izmedju 2 000 i 5 000 H, ˇsto znaˇci da je ˇculo
sluha ljudi najosetljivije u ovoj frekventnoj oblasti. Na primer, zvuk od 15 dB na 4 000
Hz, ima glasnost od 20 fona, kao i zvuk od 20 dB na frekvenciji od 1 000 Hz. Krive rastu u
obe graniˇcne oblasti u pogledu frekvencija, ˇsto ukazuje da je na njima neophodno da zvuk
bude viˇse frekvencije da bi se ˇcuo kao manje glasan zvuk na srednjim frekvencijama.
Interesantno je takodje da mi ne koristimo ˇcesto celu oblast u kojoj ˇcujemo. To naroˇcito
vaˇzi za frekvencije iznad 8 000 Hz, koje su retke u okruˇzenju u kome ˇzivimo. Iz tog razloga
osobe koje su izgubile sposobnost da ˇcuju ove frekvencije to i ne znaju ukoliko se ne izvrˇsi
testiranje. Osenˇcena oblast na slici 9.33 oznaˇcava oblast po frekvenciji i intenzitetu u kojoj
se nalazi ve´cina zvuˇcnih talasa koje proizvodimo prilikom uobiˇcajene konverzacije.
Mehanizam registrovanja zvuka ˇ
culom sluha
Uvo, odnosno njegova ˇsupljina ima funkciju da zvuˇcni talas prevede u nervne impulse na
naˇcin koji je, iako mnogo komplikovaniji, analogan funkcionisanju mikrofona. Na slici 9.34
je prikazana uproˇs´cena slika anatomije ljudskog uveta sa koje se vidi da je ono u globalu
podeljeno na tri dela; spoljaˇsnje uvo, srednje uvo koje poˇcinje bubnom opnom a zavrˇsava
se kohleom, i unutraˇsnje uvo koje ˇcini sama kohlea. Ono ˇsto se vidi i ˇsto obiˇcno nazivamo
uvetom je samo spoljaˇsnje uvo i uˇsni kanal.
Slika 9.34: Uproˇs´cena slika ljudskog uva.
Spoljaˇsnje uvo, odnosno uˇsni kanal, prenosi zvuk do bubne opne. Vazduˇsni stub u
uˇsnom kanalu rezonira i delimiˇcno je odgovoran za osetljivost uva na zvuke od 2000 do
5000 Hz. Srednje uvo pretvara zvuk u mehaniˇcku oscilaciju koja se prenosi na kohleu. Ona
se u suˇstini sastoji od niza poluga koje prenose varijacije u pritisku i pove´cavaju ih. Tako
uve´cana sila se prenosi zatim na deo kohlee koji je manji od bubne opne pa stoga uve´cava
pritisak ˇcak i 40 puta u odnosu na onaj koji je delovao na bubnu opnu (slika 9.35).
Dva miˇsi´ca srednjeg uva koji nisu prikazani na slici ˇstite srednje uvo od intenzivnih
zvuˇcnih talasa. Oni reaguju na zvuk velikog intenziteta za nekoliko milisekundi i smanjuju
9.5. AKUSTIKA
281
ˇ
Slika 9.35: Sematski
prikaz sistema srednjeg uva koji konvertuje pritisak zvuka u silu,
pove´cava je preko sistema poluga i tako uve´canu je primenjuje na manju povrˇsinu kohlee,
stvaraju´ci pritisak na njoj koji je 40 puta ve´ci od onog u originalnom zvuˇcnom talasu.
silu koja se prenosi na kohleu. Zaˇstitna reakcija ovih miˇsi´ca moˇze da bude izazvana naˇsim
sopstvenim glasom, tako da, na primer, pevuˇsenje prilikom pucanja iz puˇske, moˇze da
smanji posledice buke koja se pri tome stvara.
kohlea
uzengija
nakovanj
èekiæ
bubna
opna
cilija
perilimfa
endolimfa
uh
zd
va
vazduh
Slušni
(kohlearni) nerv
Ušni kanal
Eustahijeva truba
Kortijev
organ
tektorijalna
membrana
srednje unutrašnje
uvo
uvo
ˇ
Slika 9.36: Sematski
prikaz srednjeg i unutraˇsnjeg uva.
Na slici 9.36 su prikazani srednje i unutraˇsnje uvo sa viˇse detalja. Talasi pritiska koji
se prostiru kroz kohleu izazivaju vibriranje tektorijalne membrane, koje se prenosi na ciliu
(dlaˇcice), koja stimuliˇse nerve da poˇsalju signal mozgu. Membrana rezonira na razliˇcitim
mestima za razliˇcite frekvencije, pri ˇcemu visoke frekvencije stimuliˇsu nerve blizu kraja a
niske one koji su daleko. Mehanizam prenoˇsenja informacija o zvuku u mozak je samo
282
GLAVA 9. TALASI
delimiˇcno poznat. Za zvuk frekvencije ispod 1000 Hz, nervi ˇsalju signal frekvencije jednake
zvuˇcnoj. Za frekvencije ve´ce od 1000 Hz signal koji ˇsalju nervi zavisi od njihove pozicije.
Informacija o intenzitetu zvuka je pak delimiˇcno sadrˇzana u broju nervnih signala. Mozak
daljom obradom kohlearnog nervnog signala obezbedjuje dodatne informacije kao ˇsto je
na primer ona o pravcu iz koga zvuk dolazi (bazira se na uporedjivanju vremena dolaska i
intenziteta zvuka koji je stigao do oba uva). Obrada viˇseg nivoa daje ostale finese signala,
npr prilikom sluˇsanja muzike, itd.
Problemi sa sluhom obiˇcno su izazvani problemima u srednjem ili unutraˇsnjem uvu.
Loˇsa provodnost zvuˇcnog talasa kroz srednje uvo moˇze da se prevazidje slanjem zvuˇcnih
oscilacija kohlei kroz lobanju na primer. Sluˇsni aparati koji se nose u tu svrhu uglavnom su
konstruisani tako da vrˇse pritisak na kosti iza uveta, umesto da prosto pojaˇcavaju zvuk koji
je poslat kroz uˇsni kanal. Oˇste´cenja nerava u kohlei se ne moˇze otkloniti ali moˇze parcijalno
da se kompenzuje pojaˇcavanjem zvuka. Pri ovome naravno postoji opasnost da pojaˇcanje
zvuka moˇze da izazove nova oˇste´cenja. Uobiˇcajeno oˇse´cenje kohlee se sastoji u oˇste´cenju
ili gubitku cilija dok nervi ostaju funkcionalni. Danas se prave i kohlearni implantanti koji
stimuliˇsu nerve direktno.
9.5.9
Ultrazvuk
Bilo koji zvuk frekvencije iznad 20 000 Hz, se naziva ultrazvukom.22 Ultrazvuk ima veoma
veliki broj primena, od tehniˇckih kod alarma u ku´cama za zaˇstitu od provalnika, pa do
prirodnih sistema npr. za komunikaciju i orijentaciju kod slepih miˇseva. Poˇcetak primene
ultrazvuka u tehnici se vezuje za kraj 50-ih godina proˇslog veka, zapravo za kraj Drugog
svetskog rata. Obzirom na visoku frekvenciju, talasna duˇzina mu je mala pa prilikom
prostiranja pokazuje osobine sliˇcne svetlosnim: prostire se praktiˇcno po pravoj liniji, slabo
se apsorbuje i malo difraktuje.
Ultrazvuk u medicinskoj terapiji
Ultrazvuk, kao i svaki talas, prenosi energiju koju sredina moˇze da apsorbuje uz propratne
efekte koji zavise od intenziteta ultrazvuka. Ultrazvuk intenziteta od 103 do 105 W/m2
moˇze da se koristi za razbijanje kamena u ˇzuˇci ili za uniˇstavanje kancerogenih tkiva prilikom operacija. Ovako intenzivan ultrazvuk uniˇstava individualne ´celije tako ˇsto promeni
propustljivost njihove membrane usled ˇcega protoplazma poˇcinje da izlazi iz njih. Ultrazvuk moˇze takodje da izbuˇsi zidove ´celija kavitacijom. Kavitacija je formiranje mehurova
pare u fluidu - longitudinalne ultrazvuˇcne oscilacije naizmeniˇcno ˇsire i sabijaju sredinu tako
da pri dovoljno velikim amplitudama mogu da se oslobode molekuli i da predju u gasnu
fazu. Najve´ca kavitaciona oˇste´cenja se deˇsavaju kada mehurovi kolabiraju.
Ve´ci deo energije koju sadrˇzi ultrazvuk visokog intenziteta se u tkivu transferiˇse u
toplotnu energiju. Utrazvuk visokog intenziteta se stoga ˇcesto koristi u fizikalnoj terapiji
za dubinsko zagrevanje tkiva u procesu koji se naziva ultrazvuˇ
cna dijatermija. U tu
svrhu se koristi zvuk frekvencija od 0,8 do 1 MHz.
22
U praksi je mogu´ce proizvesti ultravuk frekvencije ve´ce od gigaherca.
9.5. AKUSTIKA
283
Ultrazvuk u medicinskoj dijagnostici
Primena ultrazvuka u medicinskoj dijagnostici je izuzetno velika, jer je, koliko je do sada
poznato, reˇc o potpuno neˇskodljivom postupku. Intenzitet zvuka koji se koristi u dijagˇ
nostici je toliko mali (oko 10−2 W/m2 ) da ne moˇze da izazove toplotna oˇste´cenja. Cak
i
najjednostavniji pregled ultrazvukom moˇze da da veoma korisne informacije. Princip rada
je baziran na delimiˇcnoj refleksiji ultrazvuˇcnih talasa o tkiva razliˇcitih gustina. Brzina
zvuka u razliˇcitim tkivima je pribliˇzno ista. To znaˇci da je vreme potrebno svakom odbijenom talasu da se vrati direktno proporcionalno rastojanju od povrˇsi refleksije do izvora
talasa. Takva jednostavna zavisnost od rastojanja daje mogu´cnost da se na primer odredi
debljina razliˇcitih slojeva tkiva u organizmu.
Najˇces´ce se u primeni ultrazvuka dobija slika tako ˇsto se mikrofon-sonda prislanja na
telo, zvuk propuˇsta u raznim pravcima i ”hvata” njegov odjek usled odbijanja. Sonda u
sebi sadrˇzi viˇse izvora ultrazvuka tako da u toku rada dolazi do konstruktivne interferencije
u izabranom pravcu. Na osnovu registrovanog reflektovanog ultrazvuˇcnog talasa, se moˇze
odrediti mesto sa koga je reflektovan kao i njegova dubina. Kompjuter zatim na osnovu
toga konstruiˇse sliku sa oblikom i gustinom unutraˇsnjih struktura od kojih se ultrazvuk
odbio.
Slika 9.37: (a) Princip ultrzvuˇcnih pregleda. (b) Grafik intenziteta odbijenog ultrazvuka
od vremena.
Koliko male delove moˇze ultrazvuk da razlikuje? To zavisi od talasne duˇzine upotrebljenih talasa. Za pregled abdomena se obiˇcno koristi ultrazvuk frekvencije 7 MHz, a kako
je brzina zvuka kroz tkiva oko 1540 m/s, talasna duˇzina je λ = u/ν = 0, 22 mm. Prema
ovome se moˇze re´ci da je veliˇcina objekata koje ultrazvuˇcni aparat moˇze da razlikuje reda
milimetra. Ultrazvuˇcni aparati koji koriste viˇse frekvencije mogu da daju viˇse detalja ali
nemaju tako dobru prodornu mo´c kao oni koji rade na manjim frekvencijama. Pribliˇzna
dubina do koje moˇze da se dodje je oko 500λ, pa je tako za ultrazvuk frekvencije 7 MHz,
dubina do koje se dolazi 500 × 0, 22 = 0, 11 m. Viˇse frekvencije su prema tome pogodne
samo za pregled manjih organa (na primer oka).
Druga znaˇcajna primena ultrazvuka u medicinskoj dijagnostici je za detektovanje kretanja i odredjivanje njegove brzine preko Doplerovog efekta. On se obiˇcno koristi za pra´cenje
rada srca fetusa, merenje brzine protoka krvi i detektovanje zaˇcepeljenja u krvnim su-
284
GLAVA 9. TALASI
dovima. Veliˇcina Doplerovog efekta je direktno proporcionalna brzini objekta o koji se
reflektuje ultrazvuk. Ovde se zapravo odigrava dupli efekat jer reflektor, na primer srce
fetusa je, kada prima ultrazvuk posmatraˇc koji se nalazi u stanju kretanja, a kada ga
reflektuje, onda igra ulogo izvora koji se kre´ce.
Obzirom da su frekvencije ultrazvuka koji prima objekat i onoga koji reflektuje vrlo
bliske, pri njihovoj interakciji dolazi do stvaranja izbijanja, odnosno udara frekvencije
νu = |ν1 − ν2 | koja je direktno proporcionalna Doplerovom efektu ν1 − ν2 , odnosno brzini
posmatranog objekta. Doplerov efekat je u ovom sluˇcaju relativno mali, obzirom da su
i brzine objekata koje zvuk pogadja i koji ga reflektuju male, pa bi bili potrebni veoma
precizni uredjaji da ga direktno izmere. Medjutim, merenje frekvencije izbijanja je mnogo
ˇ
lakˇse. Staviv
se, obzirom da je ona u oblasti ˇcujnosti mogu´ce je da se direktno sluˇsa nakon
pojaˇcavanja.
P r i m e r X. Ultrazvuk frekvencije 2,50 MHz se emituje ka arteriji u kojoj se krv kre´ce
brzinom 20 cm/s ka izvoru. Kolika ´ce biti frekvencija zvuka koji dolazi u nju? Kolika je
frekvencija zvuka koji dolazi ka izvoru? Kolika je frekvencija izbijanja koje nastaje kada
interferiraju zvuk koji emituje izvor i zvuk koji se nakon reflektovanja kre´ce ka njemu?
R e ˇs e nj e. Krv je ”pokretni posmatraˇc”, brzine vp , tako da ona prima ultrazvuk (koji
se kre´ce brzinom u kroz tkiva) frekvencije
ν0 = ν
(1540 m/s + 0, 2 m/s)
u + vp
= (2500000 Hz)
= 2500325 Hz.
u
(1540 m/s)
Krv nakon toga postaje izvor reflektovanih talasa, frekvencije
ν 00 = ν 0
u
(1540 m/s)
= (2500325 Hz)
= 2500649 Hz.
u − vp
(1540 m/s − 0, 2 m/s)
Frekvencija izbijanja, odnosno udara, je na osnovu toga
νu = |ν 00 − ν 0 | = |2500649 Hz − 2500000 Hz| = 649Hz.
Primena ultrazvuka u industriji i drugim oblastima
Osim medicinske, ultrazvuk ima i brojne druge primene. U draguljarstvu, maˇsinstvu, za
odredjivanje postojanja naprslina i ˇsupljina. Naime gotovi fabriˇcki proizvodi koji nemaju
nikakvih greˇsaka vrlo dobro propuˇstaju ultrazvuk, a svaka ˇsupljina ispunjena vazduhom
ga gotovo potpuno reflektuje. Za ultrazvuˇcno ˇci´senje se tela potapaju u teˇcnost i izlaˇzu
ultrazvuku frekvencije uglavnom oko 40 kHz. Intenzitet ultrazvuka je toliki da izaziva
kavitaciju usled koje dolazi do skidanja masnih naslaga i prljaˇstvine.
U hemiji i metalurgiji se koriste sonde koje emituju ultrazvuk velike energije koji usled
efekta kavitacije moˇze da promeni unutraˇsnju strukturu date materije. Na takav naˇcin
ultrazvuk se moˇze iskoristiti za homogenizovanje smeˇse supstancija koje se inaˇce slabo ili
nikako meˇsaju, tj. za dobijanje emulzija i legura. Ultrazvuk pri dodiru sa kristalnim supstancama, moˇze pri odredjenim uslovima da raskine jedan broj veza u kristalima, razbijaju´ci
ih na sasvim male delove. Ukoliko pak neki hemijski proces postavimo pod ultrazvuˇcni talas, brzina reakcije se moˇze pove´cati i do nekoliko desetina puta, pri ˇcemu se on koristi kao
9.5. AKUSTIKA
285
jeftin katalizator.23
U geologiji i arheologiji sluˇzi za otkrivanje slojeva zemljiˇsta, podzemnih voda, mikrostruktura stena ili za otkrivanje podzemnih arheoloˇskih gradjevina. U okeanografiji se koriste
uredjaji koji se nazivaju sonari. Njima se ispituje oblik morskog dna, otkrivaju perforacije
na njemu, meri njegova dubina, sa bezbedne udaljenosti mogu da se pronalaze olupine
potonulih brodova i jata riba. Sonari rade uglavnom na frekvencijama u oblasti od 30,0
do 100 kHz. Slepi miˇsevi, delfini, podmornice a ˇcak i neke ptice koriste ultrazvuk. Sonari
emituju ultrazvuk koji kada se odbije o neku prepreku i ponovo dodje do njih analiziraju i
na osnovu toga odredjuju rastojanje i veliˇcinu objekta koji se nalazi ispred njih. Razlog za
refleksiju je to ˇsto objekat ima gustinu ve´cu od gustine sredine. Ukoliko se objekat i kre´ce,
onda se na osnovu Doplerovog efekta moˇze odrediti njegova brzina.
Biolozi koriste ultrazvuk za pra´cenje i pronalaˇzenje jata riba, kolonija algi, ve´cih morskih
organizama. Ukoliko se ultrzvukom stvori sitna ˇsupljina u ´celijskoj membrani kroz nju se u
´celiju moˇze ubaciti medikement, ili npr. genetski lanac. Pri ekstrahovanju aroma iz biljaka
potrebno je najˇceˇs´ce mehaniˇcki delovati na biljne ´celije sa pigmentima radi pove´canja efikasnosti procesa. Izvor mehaniˇcke sile je kalibrisani pritisak sredine pogodjene ultrazvukom.
Ultrazvuk takodje moˇze da paralizuje sitnije organizme jer deluje na nervne sinapse. U
kombinaciji sa ultraljubiˇcastim zracima njime se moˇze vrˇsiti sterilizacija mleka i medicinskih instrumenata. Kako je za ˇcoveka neˇcujan ali ne i za sve ˇzivotinje, ultrazvuk se koristi
i za zaˇstitu od glodara, insekata i drugih ˇstetoˇcina.
23
Ultrazvuko je mogu´ce izazvati procese u vinu koji su identiˇcni onima koji se odigravaju prilikom njegovog
starenja.
286
GLAVA 9. TALASI
Download

Talasi - Mason