www.matematiranje.com
Pošto je u pitanju sedmougao, onda je n = 7.
n ⋅ (n − 3)
2
7 ⋅ (7 − 3)
D7 =
2
7⋅4
D7 =
2
D7 = 14
Dn =
S n = (n − 2) ⋅1800
S7 = (7 − 2) ⋅1800
S7 = 5 ⋅1800
S7 = 9000
Dn = 3n (jer je broj dijagonala tri puta veći od broja stranica)
n=?
Dn = 3n
n(n − 3)
= 3n
2
(n − 3)
=3
2
n − 3 = 3⋅ 2
( pokratimo n i n )
n−3 = 6
n = 3+ 6
n=9
1
www.matematiranje.com
S n = 16200
A) n = ?
B) Dn = ?
S n = (n − 2) ⋅1800
16200 = (n − 2) ⋅1800
16200
n−2 =
1800
n−2 =9
n = 9+2
n = 11
n ⋅ (n − 3)
2
11⋅ (11 − 3)
D11 =
2
11⋅ 8
D11 =
2
D11 = 44
Dn =
2
www.matematiranje.com
α = 1600
A) n = ?
B) Dn = ?
Iskoristićemo da je zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla 180 stepeni i naći spoljašnji ugao, a onda ćemo preko
spoljašnjeg ugla izračunati n.
α + α1 = 1800
1600 + α1 = 1800
α1 = 1800 − 1600
α1 = 200
n=
3600
α1
3600
=
= 18
200
Dalje nije teško izračunati broj dijagonala:
n ⋅ (n − 3)
2
18 ⋅ (18 − 3)
D18 =
2
18 ⋅15
D18 =
2
D18 = 135
Dn =
Dn = 5n (broj dijagonala je pet puta veći od broja temena )
3
www.matematiranje.com
Dn = 5n
n(n − 3)
= 5n
2
(n − 3)
=5
2
n − 3 = 5⋅ 2
( pokratimo n i n )
n − 3 = 10
n = 3 + 10
n = 13
Sada računamo zbir njegovih unutrašnjih uglova:
S n = (n − 2) ⋅1800
S13 = (13 − 2) ⋅1800
S13 = 11⋅1800
S13 = 19800
α = 1100
n=?
Pokušaćemo da nađemo broj stranica n, i tako utvrditi da li takav mnogougao postoji!
α + α1 = 1800
1100 + α1 = 1800
α1 = 1800 − 1100
α1 = 700
n=
3600
α1
=
3600 36
1
=
=5
0
70
7
7
Dakle, takav mnogougao ne postoji!
4
www.matematiranje.com
ϕ = 120
n=?
Znamo da je centralni ugao jednak spoljašnjem uglu. Dakle: ϕ = α1
n=
3600
α1
=
3600
= 30
120
Dakle , taj mnogougao ima 30 stranica.
ϕ = 150
α =?
Centralni ugao jednak je spoljašnjem uglu. To jest: ϕ = α1
α + α1 = 1800
α + 150 = 1800
α = 1800 − 150
α = 1650
α = 5 ⋅ ϕ ( centralni ugao je 5 puta manji od unutrašnjeg)
n=?
Centralni ugao jednak je spoljašnjem uglu: ϕ = α1
Datu jednakost možemo zapisati i kao: α = 5 ⋅ α1
Dalje ćemo oformiti sistem jednačina:
5
www.matematiranje.com
α = 5α1
α + α1 = 1800
5α1 + α1 = 1800
6α1 = 1800
1800
6
α1 = 300
α1 =
I konačno, broj stranica traženog mnogougla je:
n=
3600
α1
=
3600
= 12
300
Prvo jedno objašnjenje: mi smo centralni ugao obeležavali sa ϕ a oni ga daju sa α , da vas to ne zbuni.
Znamo da je centralni ugao jednak spoljašnjem, a to ćemo iskoristiti da nađemo unutrašnji ugao!
α unutr . = 1800 − 300 = 1500
6
www.matematiranje.com
a
150
o
a
Uočimo dalje trougao ABC. On je jednakokraki , a znamo da je jedan ugao 1500 .
Kako je zbir uglova u svakom trouglu 1800 , naći ćemo traženi ugao:
1800 − 1500 300
=
= 150
ACB =
2
2
o
15
o
15
a
a
o
150
Nacrtajmo sliku i ona će nam sve “ispričati'':
E
D
0
60
a
a
0
0
60
0
060
60
F
60
o
30
C
a
a
o
30
A
a
B
7
www.matematiranje.com
Znamo da se šestougao sastoji iz 6 jednakostraničnih trouglova. Uglovi u svakom od tih trouglova su po 600 .
Ugao CAD je polovina od 600 , dakle 300 . Takav je i ugao ACF= 300
Jasno je da su uglovi trougla ACD: 300 , 600 i 600 + 300 = 900
Ovaj zadatak je vrlo sličan 234. zadatku al ovde imamo ugao ACB a trebamo naći centralni ugao!
ϕ
o
10
o
10
Trougao ABC je jednakokraki, jer su dve njegove stranice istovremeno i stranice mnogougla. Dakle i ugao
BAC je 200 .
Onda je unutrašnji ugao mnogougla : ABC = 1800 − (100 + 100 ) = 1800 − 200 = 1600
Spoljašnji ugao ( koji je jednak traženom centralnom) je :
ϕ = 1800 − 1600 = 200
Broj stranica n ćemo naći iz formule:
n=
3600
ϕ
3600
=
= 18
200
8
www.matematiranje.com
E
D
3
a
a
a
F
C
a
A
a
B
D = 4 3cm
d =?
D = 2a
4 3 = 2a
4 3
2
a = 2 3cm
a=
d =a 3
d =4 3 3
d = 4⋅3
d = 12cm
9
www.matematiranje.com
d =2 3
a=?
P=?
d =2 3
a 3=2 3
a = 2cm
a2 3
P = 6⋅
4
2
2 3
P = 6⋅
4
4 3
P = 6⋅
4
P = 6 3cm 2
10
www.matematiranje.com
s
D
x
E 130
o
C
o
110
o
90
A
F
B
Kako je s osa simetrije, to zaključujemo da je ugao AFD = 900
Dalje posmatramo četvorougao AFDE. Znamo da je zbir uglova u svakom četvorouglu 3600 .
Kako znamo tri ugla , lako ćemo izračunati nepoznati ugao:
EDF = 3600 − (900 + 1100 + 1300 )
EDF = 3600 − 3300
EDF = 300
11
www.matematiranje.com
12
Download

www.matematiranje.com 1 Pošto je u pitanju sedmougao, onda je n