4.3.2015
Logička kola. Bulova algebra.
Vanr.prof.dr.Lejla Banjanović‐
Mehmedović
Osnove logičke algebre
 Sve računarske operacije koje se izvode samo na ciframa 0
p
j
j
i 1 i koje daju te iste vrijednosti nazivaju se logičke operacije.
 Grana matematike: Logička algebra (prekidačka algebra)
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
2
1
4.3.2015
Bulova algebra
 Loogičke operacije: g
p
j
 negacija, konjukcija i disjunkcija.
 Joše neke logičke operacije:  ekskluzivna disjunkcija
 negacija konjukcije (Shefferova operacija)
 negacija disjunkcije (Pierceova operacija ili operacija Lukasiewicza)
 Grana matematike, koja proučava operacije konjukcije, disjunkcije i negacije i pravila rada sa njima – Boolova algebra.
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
3
Logička kola
 Uređaji koji služe za izvođenje osnovnih logičkih operacija nazivaju se logička kola.
 Osnovna (elementarna) logička kola i jednostavnija složena logička kola nazivaju se još i logičke kapije (eng. gate), jer u izvjesnom smislu ona propuštaju signale, odnosno kombinacije signala.
 AND, OR, NOT – osnovna logička kola
 NOT – često se naziva invertor
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
4
2
4.3.2015
Izvedba logičkih kola
 Mehanička
 Hidraulička
 Pneumatska
 Elektromehanička
 Elektronička – dovoljna brzina rada i minijaturizacija
 Biološka
PLS 2
Pozitivna logika:
N
Negativna
ti
llogika:
ik
LOW → 0
LOW → 1
HIGH → 1
HIGH → 0
Logicka kola. Bulova algebra
5
Bulove operacije
 Bulova operacija p
j
sabiranja korespondira logičkom kolu “OR”, prekidači u paralelnoj vezi.
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
6
3
4.3.2015
Bulove operacije
p
j
 Bulova operacija množenja korespondira logičkom kolu “AND”, prekidači u serijskoj vezi.
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
7
Bulove operacije
 Bulova operacija p
j
komplementa korespondira logičkom kolu “NOT”, zatvoren prekidač ili relejni kontakt.
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
8
4
4.3.2015
Logička kola
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
9
Logička kola
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
10
5
4.3.2015
Gejtovi sa više ulaza
Ime gejta
Grafički simbol Funkcija
3-ulazni AND
F = xyz
3-ulazni OR
F = x+ y+z
3-ulazni
NAND
F = (xyz)'
3-ulazni NOR
F = (x+y+z)'
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
11
Logički izrazi i funkcije
 Svaki izraz koji se može izraziti samo pomoću logičkih operacija naziva se logički izraz.
 Funkcija čija se definicija može izraziti samo pomoću logičkih operacija naziva se logička funkcija:

y=y(x1, x2,...xn)
 Primjer:
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
12
6
4.3.2015
Primjer implementacije funkcije iz izraza
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
13
Pravila logičke algebre
 Aksiomi logičke algebre Aksiomi logičke algebre – određeni broj pravila se proglašava elementarnim činjenicama logičke algebre, koje se prihvataju bez dokaza i na kojima se zasnivaju sva druga pravila i kompletna logička algebra.
 Izbor aksima nije jednoznačan!
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
14
7
4.3.2015
Aksiomi i teoreme Bulove algebre
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
15
Bazni Bulovi algebarski identiteti 1/2
 Aditivni:
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
16
8
4.3.2015
Bazni Bulovi algebarski identiteti 2/2
p
 Multiplikacioni:
 Dvojni komplement:
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
17
Bazna svojstva Bulove algebre 1/5
 Aditivna:
Multiplikaciona:
p
 Svojstvo komutativnosti aditivnosti
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
18
9
4.3.2015
Bazna svojstva Bulove algebre 2/5
 Aditivna:
Multiplikaciona:
p
 Komunitativno svojstvo multiplikacije
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
19
Bazna svojstva Bulove algebre 3/5
 Aditivna:
Multiplikaciona:
p
 Asocijativno svojstvo aditivnosti
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
20
10
4.3.2015
Bazna svojstva Bulove algebre 4/5
 Aditivna:
Multiplikaciona:
p
 Asocijativno svojstvo multiplikacije
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
21
Bazna svojstva Bulove algebre 5/5
 Aditivna:
Multiplikaciona:
p
 Svojstvo distributivnosti
j
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
22
11
4.3.2015
Bulova pravila pojednostavljenja 1/3
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
23
Bulova pravila pojednostavljenja 2/3
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
24
12
4.3.2015
Bulova pravila pojednostavljenja 3/3
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
25
Logicka kola. Bulova algebra
26
EX‐OR
PLS 2
13
4.3.2015
DeMorganova pravila
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
27
Ekvivalentne transformacije logičkih izraza
 Za dva logička izraza se kaže da su ekvivalentni
ukoliko uzimaju iste vrijednosti za ma kako izabrane vrijednosti promjenljivih koje se u njima javljaju.  Dva ekvivalentna logička izraza uvijek se mogu svesti jedan na drugi primjenom konačno mnogo j
g
g
transformacija izraženih pravilima logičke algebre.
 De Morganove teoreme ‐ izrazito značajne!
 Pronalaženje najjednostavnije logičke funkcije koja je ekvivalentna polaznoj logičkoj funkciji ‐
minimizacija logičke funkcije!
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
28
14
4.3.2015
Primjer pojednostavljenja logičke funkcije  Pojednostaviti i realizirati logičku funkciju:
PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
29
Tabele istine
 Logički izrazi i logičke funkcije se često predstavljaju sa tzv. kombinacionim tablicama (tabele istine ili
tabele stanja).
 Ove tabele predstavljaju tabele koje prikazuju vrijednost izraza odnosno funkcije za sve moguće kombinacije vrijednosti promjenljivih koji se u njima pojavljuju. j lj j PLS 2
Logicka kola. Bulova algebra
30
15
4.3.2015
Primjer: Sistem za spaljivanje toksičnih otpada
p
 Postoje tehnologije:
 Optička
 Termalna
 Električna
PLS_3
Sinteza logickih kola
Primjer: Sistem za spaljivanje toksičnih otpada
p
 Redudantni sistem:
 Sa više senzora
 Najmanje 2 senzora detektuju vatru, otvoreni ventili
PLS_3
Sinteza logickih kola
16
4.3.2015
Primjer tabele istine za analizirani sistem
PLS_3
Sinteza logickih kola
Realizacija logičke funkcije iz p j
primjera
PLS_3
Sinteza logickih kola
17
4.3.2015
Primjer pojednostavljenja logičke funkcije g
j
PLS_3
Sinteza logickih kola
Realizacija logičke funkcije nakon pojednostavljenja
p j
j j
PLS_3
Sinteza logickih kola
18
Download

Osnove logičke algebre - Vanr.prof.dr. Lejla Banjanović