Glava 2
METODI APROKSIMACIJE
AMPLITUDNIH I FAZNIH
KARAKTERISTIKA
ANALOGNIH FILTARA
Projektovanje filtara, pojam pod kojim podrazumijevamo određivanje funkcije
prenosa sistema sa željenim karakteristikama, oslikava našu potrebu za idealnim
filtrom, koji bi trebao da bez slabljenja propušta signale iz propusnog opsega,
dok bi signali iz nepropusnom opsega trebali biti beskonačno oslabljeni, tako
da njihova amplituda na izlazu filtra bude jednaka nuli. Takođe je poželjno
postići da signali čije se sve frekvencijske komponente nalaze u propusnom
opsegu prođu kroz filtar bez izobličenja. Međutim, funkcije prenosa sistema
kojima realizujemo filtre su realne racionalne funkcije kompleksne učestanosti,
sa konačnim brojem nula i polova. Prilikom projektovanja filtara realizibilnih
ovom klasom funkcija prenosa, idealne karakteristike filtara nije moguće
postići, već se one mogu samo aproksimirati. Stoga i specifikacije filtara moraju
uzeti u obzir ove neidealnosti, te se u njima navode granične učestanosti
propusnih i nepropusnih opsega, maksimalno dozvoljeno slabljenje u
propusnom i minimalno potrebno slabljenje u nepropusnom opsegu. Prilikom
projektovanja, prvo se aproksimacionim metodima postiže željena amplitudna
karakteristika, a zatim se fazna karakteristiku koriguje ekvalizatorima faze.
GLAVA 2
2.1
Funkcije prenosa analognih filtara
Podsjetimo se da je funkcija prenosa linearnih, vremenski invarijantnih sistema,
iskazana kao količnik Laplasove transformacije odziva Y ( s ) i Laplasove
transformacije eksitacije X ( s ) pri nultim početnim uslovima, zapravo količnik
dva polinoma N ( s ) i D ( s ) sa realnim koeficijentima:
H (s) =
Y (s)
X (s)
=
bm s m + bm −1s m −1 +  + b0 N ( s )
=
,
s n + an −1s n −1 +  + a0
D(s)
(2.1)
tzv. realna racionalna funkcija. Nakon faktorizacije polinoma u brojniku i
nazivniku, funkcija prenosa se može zapisati u obliku:
H (s) =
Y (s)
X (s)
=K
( s − z1 )( s − z2 )( s − zm )
.
( s − p1 )( s − p2 )( s − pn )
(2.2)
Budući da su koeficijenti funkcije H ( s ) realni, njene nule i polovi dolaze u
konjugovano kompleksnim parovima. Na Slici 2.1 je prikazan jedan mogući
raspored nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni.
jΩ
×
×
×
×


s -ravan




×
σ

Slika 2.1 Mogući raspored nula i polova funkcije prenosa
u kompleksnoj s ravni.
8
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
Korijeni polinoma D ( s ) su polovi funkcije prenosa H ( s ) . Gledano u
kompleksnoj s ravni, za stabilne sisteme vrijedi da se polovi funkcije prenosa
nalaze u lijevoj poluravni, a karakteristični polinom D ( s ) mora biti Hurvicov
(Hurwitz) polinom, tj. imati sve koeficijente realne i pozitivne, a korijene u lijevoj
poluravni.
Ako svi korijeni polinoma N ( s ) leže na imaginarnoj osi ili u lijevoj
poluravni kompleksne s ravni, funkcija prenosa H ( s ) se naziva minimalno
fazna funkcija. Korijeni polinoma N ( s ) su nule funkcije prenosa H ( s ) .
Sa stanovišta amplitudne karakteristike nevažno je da li funkcija prenosa ima
nule koje leže u lijevoj ili u desnoj poluravni, pod uslovom da su raspoređene
na isti način. Pod tim podrazumijevamo da nule iz jedne poluravni
predstavljaju sliku u ogledalu nula iz druge poluravni, tj. da su osno simetrične
u odnosu na imaginarnu osu. Ipak treba voditi računa o tome da filtar sa
funkcijom prenosa koja ima nule u lijevoj poluravni ima manju fazu, što u
praktičnim realizacijama znači manje kašnjenje signala.
Primjer 2.1:
Odrediti amplitudne i fazne karakteristike filtara čije su funkcije prenosa
H1 ( s ) =
s+z
s−z
i H2 (s) =
, gdje su z i p realne i pozitivne konstante.
s+ p
s+ p
Rješenje:
Oba zadata sistema imaju istu amplitudnu karakteristiku:
Ω2 + z 2
H1 ( Ω ) = H 2 ( Ω ) =
,
Ω2 + p 2
(2.3)
ali su im fazne karakteristike različite:
arg H 1 ( Ω ) = arctg
Ω
Ω
− arctg ,
z
p
(2.4)
9
GLAVA 2
arg H 2 ( Ω ) = π − arctg
Ω
Ω
− arctg .
z
p
(2.5)
Kako je:
arctg
Ω π
≤ ,
z 2
(2.6)
slijedi:
arg H 2 ( Ω ) − arg H1 ( Ω ) = π − 2arctg
Ω
≥ 0.
z
(2.7)
Dakle, sistem sa funkcijom prenosa koja ima nulu u desnoj poluravni ima
veću fazu. Razmatranje se lako proširi na sisteme sa više nula funkcije prenosa.

Da bi se olakšalo projektovanje filtara, vrši se normalizacija kompleksne
učestanosti dijeljenjem sa pogodno odabranom normalizujućom učestanošću Ω0 ,
koja je najčešće jednaka graničnoj učestanosti propusnog opsega:
sn =
s
.
Ω0
(2.8)
Analogno vrijedi za kružnu učestanost. Normalizovanu kružnu učestanost ćemo
označavati malim slovom ω , tako da je:
ω=
Ω
.
Ω0
(2.9)
Radi jednostavnijeg postupka realizacije filtara vrši se i normalizacija impedanse
dijeljenjem svih impedansi proizvoljno odabranom otpornošću R0 , čime se
dobijaju normalizovane vrijednosti elemenata:
Rn =
Ln = L
10
R
,
R0
(2.10)
Ω0
,
R0
(2.11)
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
Cn = C Ω 0 R0 .
(2.12)
NP filtar kod koga je izvršena normalizacija učestanosti i normalizacija
impedansi zvaćemo NP prototip.
2.2
Specifikacija amplitudne i fazne karakteristike
Zahtjevi koje treba da zadovolji filtar se obično zadaju u ustaljenom stanju,
funkcijom prenosa:
H ( s ) = Vizl ( s ) Vul ( s )
s = jΩ
,
(2.13)
gdje je sa Vul ( s ) označena Laplasova transformacija ulaznog, a sa Vizl ( s )
izlaznog napona na pristupnim krajevima filtra. Modul ove funkcije prenosa na
imaginarnoj osi:
H (Ω) = H ( s )
s = jΩ
(2.14)
je amplitudna karakteristika filtra, dok je njen argument na imaginarnoj osi:
ϕ ( Ω ) = arg ( H ( s ) )
s = jΩ
(2.15)
fazna karakteristika filtra.
Za određivanje funkcije prenosa filtra neophodno je postaviti zahtjeve koje
filtar treba da zadovolji u pogledu amplitudne i fazne karakteristike.
Uobičajeno je zahtjeve za amplitudnu karakteristiku izražavati u decibelima:
M ( Ω ) = − R ( Ω ) = 20log H ( Ω ) [ dB] ,
(2.16)
gdje se sa M ( Ω ) označava kriva pojačanja (magnituda), a sa R ( Ω ) kriva slabljenja
filtra. Za konkretnu učestanost govorimo o pojačanju, odnosno slabljenju filtra na
toj učestanosti.
Zahtjevima u pogledu amplitudne karakteristike se zadaju granične
frekvencije propusnih i nepropusnih opsega, pojačanje jednosmjerne
11
GLAVA 2
komponente, dozvoljena odstupanja slabljenja u propusnim opsezima i
neophodna slabljenja u nepropusnim opsezima. Na Slici 2.2 prikazan je način
specificiranja amplitudne karakteristike za različite tipove filtara. Ovdje su sa
PO označeni propusni, sa NPO nepropusni, a sa TO prelazni opsezi. Kružne
učestanosti Ω p , Ω pn i Ω pv su granične učestanosti propusnih, Ω s , Ω sn i Ω sv
nepropusnih opsega, dok Rp , R pn , R pv označavaju slabljenja u propusnim, a
Rs , Rsn , Rsv u nepropusnim opsezima.
Funkcija niskopropusnog filtra je da propusti spektralne komponente niskih
frekvencija od jednosmjernog signala do željene granične frekvencije i da oslabi
visokofrekvencijske komponente signala. Ovaj filtar se specificira graničnom
učestanošću Ω p propusnog, graničnom učestanošću Ω s nepropusnog opsega,
pojačanjem jednosmjerne komponente, te slabljenjima u propusnom i
nepropusnom opsegu. Slično se specificira i visokopropusni filtar. U praksi,
propusni opseg visokopropusnog filtra se ne proteže do beskonačnosti, već je
ograničen parazitnim kapacitivnostima. Propusnik i nepropusnik opsega imaju
po dva prelazna opsega koji ne moraju biti simetrični, ali su filtri sa simetričnim
prelaznim opsezima jednostavniji za projektovanje.
U nekim aplikacijama oblik fazne karakteristike nije bitan, te je dovoljno
zadovoljiti zahtjeve za magnitudu. Međutim, postoje slučajevi kada je
neophodno voditi računa o obliku fazne karakteristike, te se osim zahtjeva za
amplitudnu karakteristiku specificira i željena fazna karakteristika ili željeno
grupno kašnjenje, koje se definiše sa:
τ (Ω) = −
dϕ ( Ω )
dΩ
.
(2.17)
Ako sistem treba da obezbijedi idealan prenos signala bez izobličenja, onda
izlaz mora da bude savršena replika ulaza, eventualno pomnožen sa nekom
konstantom K i zakašnjen za neko τ 0 , tj.:
y ( t ) = Kx ( t − τ 0 ) .
(2.18)
Funkcija prenosa takvog sistema je:
H ( s ) = Ke− sτ 0 .
(2.19)
Ovakav sistem ima konstantnu amplitudnu karakteristiku K , linearnu faznu
karakteristiku ϕ ( Ω ) = −τ 0Ω i konstantno grupno kašnjenje τ ( Ω ) = τ 0 .
12
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
2 lo
20
og H ( Ω )
20
0log
g H ( Ω)
Rp
Rp
Rs
Rs
T
TO
TO
O
P
PO
N
NPO
PO
O
NP
PO
Ω
Ω p Ωs
(aa)
(b))
2 g H ( Ω)
20log
20lo
og H ( Ω )
Rpn
Rp
Rsn
T v
TO
TO
On
N On
NPO
Ω
Ωs Ω p
Rs
Rsv
TO
On
N Ov
NPO
PO
O
POn
Ω
Ωsn Ω pnn Ω pv
p Ω sv
(cc)
Rpv
TO
Ov
PO
Ov
NP
PO
Ω pnn Ωsnn Ωsvs Ω pv
p
Ω
(d))
mp
plituudn
nih kar
k raktteristikka filta
f ara: (a) NP
P filta
Sllikaa 2.2 Speciffikaacije am
fi r;
(b) VP
P fiiltarr; (cc) filta
f ar PO
d) fi
filtarr NPO
N O.
P i (d
13
GLAVA 2
U slučaju kada je fazna karakteristika linearna:
ϕ ( Ω ) = −τ 0 Ω ,
(2.20)
ako pretpostavimo da je signal na ulazu filtra prostoperiodična funkcija:
x ( t ) = cos Ω0t ,
(2.21)
x ( t ) = cos ( Ω0t + ϕ ( Ω0 ) ) = cos ( Ω0t − τ 0 Ω0 ) = cos Ω0 ( t − τ 0 ) .
(2.22)
signal na izlazu će biti:
U ovom slučaju, kašnjenje signala u vremenu τ 0 pri prolasku kroz filtar
jednako je grupnom kašnjenju za tu učestanost:
τ ( Ω0 ) = −
dϕ
=τ0 .
d Ω Ω=Ω
(2.23)
0
Grupno kašnjenje u ovom slučaju ne zavisi od učestanosti, što znači da sve
frekvencijske komponente signala podjednako kasne pri prolasku kroz filtar.
Posmatrajmo sada filtar sa amplitudnom karakteristikom koja je jednaka
jedinici i proizvoljnim oblikom fazne karakteristike. Amplitude pojedinačnih
frekvencijskih komponenti se neće promijeniti prolaskom signala kroz ovakav
filtar. Međutim, ako je fazna karakteristika nelinearna, fazno kašnjenje
pojedinačnih frekvencijskih komponenti signala nije podjednako, te dolazi do
promjene oblika signala.
Veza između faznog kašnjenja, tj. vremenskog pomaka pojedinačnih
frekvencijskih komponenti signala na izlazu filtra u odnosu na frekvencijske
komponente ulaznog signala, i grupnog kašnjenja nije jednostavna. Ona zavisi
od oblika krive grupnog kašnjenja, odnosno fazne karakteristike. Na primjer,
ako je u okolini posmatrane učestanosti grupno kašnjenje približno linearno,
što znači da se fazna karakteristika u okolini te učestanosti može približno
opisati kvadratnom zavisnošću:
ϕ ( Ω ) = − (τ 0 Ω0 ) Ω2 ,
(2.24)
približno fazno kašnjenje ove frekvencijske komponente signala se može
odrediti iz:
14
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara


τ
x ( t ) = cos ( Ω0t + ϕ ( Ω0 ) ) = cos  Ω0 t − 0 Ω02  = cos Ω0 ( t − τ 0 )
Ω0


(2.25)
i iznosi τ 0 . Za faznu karakteristiku kvadratnog oblika grupno kašnjenje očitano
na mjestu odgovarajuće frekvencijske komponente signala približno je dva puta
veće od njegovog faznog kašnjenja:
τ ( Ω0 ) = −
τ
dϕ
= 0 ⋅ 2Ω0 = 2τ 0 .
d Ω Ω=Ω Ω0
(2.26)
0
Što je nelinearnost fazne karakteristike više izražena, to je teže na ovaj način
uspostaviti vezu između faznog i grupnog kašnjenja, te ćemo objašnjenje
fizičkog značenja pojma grupnog kašnjenja potkrijepiti rezultatima simulacije.
U fizičkom smislu se grupno kašnjenje može posmatrati kao kašnjenje
sporopromjenljive anvelope signala koji se sastoji od frekvencijskih
komponenti iz uskog frekvencijskog opsega. Kašnjenje anvelope signala
približno je jednako grupnom kašnjenju očitanom na frekvenciji one
komponente signala koja se nalazi u sredini posmatranog frekvencijskog
opsega.
Kako bismo ilustrovali značenje grupnog kašnjenja kao kašnjenja anvelope
signala, posmatrajmo filtar sa faznom karakteristikom i grupnim kašnjenjem
prikazanim na Slici 2.3. Dovedimo na ulaz filtra složenoperiodičan signal koji
se sastoji od dvije komponente učestanosti f = 430 Hz i f = 470 Hz iz opsega
gdje je fazna karakteristika nelinearna i gdje karakteristika grupnog kašnjenja
ima izražene vrhove. Frekvencija anvelope ovog složenoperiodičnog signala
iznosi f = 20 Hz :
(1 2) cos(2π ⋅ 430) + (1 2) cos(2π ⋅ 470) = cos(2π ⋅ 20)cos(2π ⋅ 450) .
(2.27)
Iz rezultata simulacije se može zaključiti da anvelopa složenoperiodičnog
signala na izlazu kasni u odnosu na anvelopu ulaznog signala za približno
2.6ms koliko i iznosi grupno kašnjenje na učestanosti u sredini posmatranog
frekvencijskog opsega, na učestanosti f = 450 Hz .
15
GLAVA 2
P
h
a
s
e
-0d
3.0ms
G
r
o
u
p 2.0ms
-100d
D
e
l
a 1.0ms
y
-200d
-270d
0Hz
200Hz
VP(RL:2)
400Hz
600Hz
0s
0Hz
800Hz
200Hz
VG(RL:2)
Frequency
600Hz
800Hz
Frequency
(a)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
400Hz
(b)
2.0V
0V
-2.0V
0s
V(V_in:+)
20ms
V(RL:2)
40ms
60ms
80ms
Time
(c)
Slika 2.3 (a) Fazna karakteristika; (b) grupno kašnjenje i
(c) kašnjenje anvelope signala.
Prilikom projektovanja filtara sa zadatom amplitudnom i faznom
karakteristikom može se desiti da sistem nije minimalno fazni, tj. da funkcija
prenosa ima nule u desnoj poluravni kompleksne s ravni. Malo kasnije ćemo
vidjeti da je sa stanovišta realizacije pasivnih filtara, koji se izvode u vidu
ljestvičastih mreža, pogodno da nule funkcije prenosa budu na imaginarnoj osi.
Zbog toga se funkcija prenosa koja ima nule u desnoj poluravni kompleksne
s ravni, tzv. neminimalno fazna funkcija prenosa H N ( s ) , razdvaja na dvije
funkcije prenosa i zapisuje u obliku proizvoda minimalno fazne funkcije
prenosa H M ( s ) i funkcije prenosa filtra svepropusnika H SO ( s ) :
16
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
H N ( s ) = H M ( s ) ⋅ H SO ( s ) .
(2.28)
Prvo se realizuje minimalno fazna funkcija prenosa H M ( s ) koja ispunjava
zahtjeve u pogledu amplitudne karakteristike, a zatim se željena fazna
karakteristika postiže kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega
H SO ( s ) . Kaskadnim vezivanjem filtra svepropusnika opsega se ne mijenja
amplitudna karakteristika prvog filtra, jer je funkcija prenosa kaskadne veze
jednaka proizvodu funkcija prenosa u kaskadnoj vezi, a amplitudna
karakteristika filtra svepropusnika opsega je jednaka jedinici za svaku
učestanost.
Razdvajanje funkcije prenosa H N ( s ) projektovanog filtra na minimalno
faznu funkciju prenosa H M ( s ) i funkciju prenosa filtra svepropusnika H SO ( s )
se vrši na sljedeći način. Posmatrajmo prvo raspored nula i polova
neminimalno fazne funkcije H N ( s ) u kompleksnoj s ravni, kao na Slici 2.4.
Dopunimo ovu sliku polovima i nulama u tačkama koje predstavljaju slike u
ogledalu nula iz desne poluravni. Te dodatne nule i polove smo označili sa
" ⊗ ". Svepropusna funkcija H SO ( s ) se formira grupišući nule iz desne
poluravni u polinom u brojniku N SO ( s ) , a polove koji su njihova slika u
ogledalu iz lijeve poluravni u polinom u nazivniku DSO ( s ) :
H SO ( s ) =
N SO ( s )
DSO ( s )
.
(2.29)
Minimalno fazna funkcija H M ( s ) sadrži preostale polove i nule iz lijeve
poluravni (uključujući imaginarnu osu).
Funkcija prenosa filtra svepropusnika H SO ( s ) ima nule u desnoj poluravni i
polove u lijevoj poluravni koji su slika u ogledalu nula iz desne poluravni, pa
vrijedi da je:
N SO ( s ) = ± DSO ( − s ) .
(2.30)
17
GLAVA 2
jΩ
dodatne nule
i polovi

⊗
×
×

⊗
×
⊗
s -ravan



σ
Slika 2.4 Postupak razdvajanja neminimalno fazne funkcije prenosa na
minimalno faznu funkciju prenosa i funkciju prenosa filtra
svepropusnika.
Amplitudna karakteristika filtra sa ovako formiranim polinomima u brojniku u
nazivniku njegove funkcije prenosa je:
H ( Ω ) = 1, ∀Ω ,
(2.31)
te se zaista radi o filtru svepropusniku opsega sa frekvencijskom
karakteristikom:
H SO ( Ω ) = e
− j 2 arctg
Di ( Ω )
Dr ( Ω )
,
(2.32)
gdje je Dr ( Ω ) realni, a Di ( Ω ) imaginarni dio polinoma DSO ( Ω ) .
Dakle, na ovaj način možemo postići proizvoljnu faznu karakteristiku filtra,
odnosno željeno kašnjenje, a da se pri tome ne promijeni prethodno postignuta
amplitudna karakteristika. Zbog toga se filtar svepropusnik opsega naziva i
ekvalizator faze ili kašnjenja.
18
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
2.3
Aproksimacija amplitudne karakteristike NP filtra
Da bi realizacija filtara bila moguća linearnim, vremenski invarijantnim
električnim mrežama, čije su funkcije prenosa realne i racionalne funkcije:
H (s) =
Y (s)
X (s)
=
bm s m + bm −1s m −1 +  + b0 N ( s )
=
,
s n + an −1s n −1 +  + a0
D(s)
(2.33)
u istom obliku treba, na osnovu postavljenih zahtjeva, odrediti i funkciju
prenosa filtra. Međutim, ovakvim oblikom funkcije prenosa se ne mogu postići
frekvencijske karakteristike idealnog filtra, već ih je moguće samo
aproksimirati. Pri tome, kvadrat amplitudne karakteristike normalizovanog NP
filtra:
2
H (ω ) =
N (ω )
2
D (ω )
2
=
( )
D (ω ) D ( −ω ) E (ω )
N (ω ) N ( −ω )
=
P ω2
2
u propusnom opsegu ω ≤ 1 treba da aproksimira jedinicu
(2.34)
uz maksimalno
dozvoljeno slabljenje dato sa Rp [ dB ] , dok u nepropusnom opsegu ω >1 treba da
aproksimira nulu sa slabljenjem većim od minimalno propisanog slabljenja, datog sa
Rs [ dB ] . U prethodnim relacijama smo koristili oznake:
( )
(2.35)
( )
(2.36)
P ω 2 = N (ω ) N ( −ω ) ,
E ω 2 = D (ω ) D ( −ω ) .
U daljnjem izlaganju nećemo posebno naglašavati da li se radi o
normalizovanom ili nenormalizovanom filtru jer na to ukazuju same oznake
koje se koriste za učestanost kao nezavisnu varijablu. Za normalizovanu
kompleksnu učestanost s nećemo uvoditi posebnu oznaku, osim kada to bude
neophodno, jer je skoro uvijek iz konteksta jasno da li se radi sa
normalizovanim ili nenormalizovanim kompleksnim učestanostima.
Maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu dato sa Rp [ dB ]
određuje dozvoljenu valovitost ε 2 amplitudne karakteristike u propusnom
opsegu:
19
GLAVA 2
R p = −20 log
1
1+ ε
2
 R p = 10 log (1 + ε 2 )  ε 2 = 10
0.1 R p
−1.
(2.37)
Slično, ako je minimalno propisano slabljenje u nepropusnom opsegu
Rs [ dB ] , onda je dozvoljena valovitost δ 2 amplitudne karakteristike u
nepropusnom opsegu data sa:
Rs = −20 log
1
1+ δ
2
 Rs = 10 log (1 + δ 2 )  δ 2 = 100.1Rs − 1 .
(2.38)
Na Slici 2.5 je prikazana idealna amplitudna karakteristika NP filtra i granice
u kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika dobijena aproksimacionim
metodama. Funkcije prenosa drugih tipova filtara (VP filtra, filtra PO i filtra
NPO) mogu se dobiti iz funkcije prenosa NP filtra frekvencijskim
transformacijama, o kojima će više riječi biti u daljnjem tekstu.
Definišimo karakterističnu funkciju K ( s ) kao realnu racionalnu funkciju,
takvu da je:
1
2
H (ω ) =
1 + K (ω )
2
.
(2.39)
Za karakterističnu funkciju K ( s ) vrijedi da je:
2
K (ω ) =
2
1
H (ω )
2
−1 =
D (ω ) − N (ω )
Dakle, karakteristična funkcija
N (ω )
K ( s)
2
2
=ˆ ε
2
F (ω )
2
N (ω )
2
.
se definiše tako da
(2.40)
K (ω )
2
aproksimira nulu u propusnom opsegu, uz dozvoljenu valovitost datu sa ε 2 , te
da bude veće od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu
datog sa δ 2 , kao na Slici 2.6.
Opšti problem aproksimacije funkcije prenosa NP filtra se svodi na
pronalaženje racionalne karakteristične funkcije:
20
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
H (ω )
H (ω )
1
1
1
1+ ε2
1
ω
1
1+δ
2
1
(a)
ωs
ω
(b)
Slika 2.5 (a) Amplitudna karakteristika idealnog NP filtra i (b) granice u
kojima treba da se nađe amplitudna karakteristika realnog NP filtra.
K (ω )
2
δ2
PO
NPO
ε2
ωr 1
ωr 2 ωr 3
ω z1 ω z 2
ω
Slika 2.6 Izgled karakteristične funkcije na imaginarnoj osi.
21
GLAVA 2
K (s) = ε
F (s)
,
N (s)
(2.41)
takve da:
1. F ( s ) ima korijene na jω osi u propusnom opsegu,
2. N ( s ) ima korijene na jω osi u nepropusnom opsegu,
2
3. K (ω ) ≤ ε 2 , ω ≤ 1 ,
2
4. K (ω ) ≥ δ 2 , ω ≥ ωs .
Nule polinoma F ( s ) su nule refleksije ωr , tako da za signale tih učestanosti
i
imamo idealnu transmisiju signala H (ωr ) = 1 . Nule polinoma N ( s ) su nule
i
transmisije, označene sa ωz . Signali tih učestanosti uopšte ne prolaze kroz filtar,
i
jer je H (ωz ) = 0 .
i
Iz Furijeove analize znamo da je amplitudna karakteristika sistema sa
realnim impulsnim odzivom parna funkcija učestanosti. Nakon određivanja
2
kvadrata amplitudne karakteristike H (ω ) u obliku (2.34), kao količnik dva
parna polinoma P (ω 2 ) i E (ω 2 ) , te zamjene ω 2 sa − s 2 , polinome P ( − s 2 ) i
E ( − s 2 ) treba faktorizovati, odnosno napisati u obliku:
P (−s2 ) = N ( s ) N ( −s ) ,
(2.42)
E (−s2 ) = D ( s ) D (−s ) ,
(2.43)
kako bismo mogli odrediti racionalnu funkciju H ( s ) = N ( s ) D ( s ) .
Pri određivanju polinoma D ( s ) iz (2.43), koristimo činjenicu da polinom
E ( − s 2 ) , da bi bio paran, mora imati korijene simetrične u odnosu na ishodište.
Budući da D ( s ) mora biti Hurvicov polinom, on treba da sadrži sve korijene
od E ( − s 2 ) iz lijeve poluravni kompleksne s ravni. Polinom N ( s ) je
eksplicitno određen izborom nula transmisije na jω osi u nepropusnom
opsegu:
22
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
(
N ( s ) = k ∏ s 2 + ωz2i
i
)
mi
,
(2.44)
gdje je k konstanta, dok su ωz nule transmisije reda mi . Ako je mi = 0, ∀i ,
i
onda filtar nema konačnih nula transmisije, tako da je
H ( s) = k D ( s) .
N (s) = k
i
Koeficijenti funkcije prenosa u (2.33) se mogu odrediti na osnovu položaja
nula i polova funkcije prenosa u kompleksnoj s ravni. Ovi koeficijenti su se
ranije zadavali tabelarno (najčešće do reda 10), dok se u novije vrijeme za
njihovo određivanje koriste softverski paketi, kao što je npr. MATLAB.
Stepen n u funkciji prenosa filtra (2.33) nazivamo red filtra. Red filtra se bira
u zavisnosti od toga kojom brzinom treba da raste slabljenje na visokim
frekvencijama. Amplitudna karakteristika filtra na visokim frekvencijama teži
nuli sa faktorom 1 ω n− m , a slabljenje raste sa 20 ( n − m ) dB/dekadi:
−20log H (10ω ) − ( −20log H (ω ) ) ≈ −20log
= 20log (10ω )
n−m
− 20log (ω )
n−m
1
(10ω )
n−m
1 

−  −20log n − m  =
ω 

(2.45)
= 20log10n − m = 20 ( n − m ) .
2.3.1 Batervortovi filtri
Niskopropusni Batervortovi (Stephen Butterworth, 1885–1958) filtri imaju
maksimalno ravnu amplitudnu karakteristiku u propusnom opsegu, što znači da je
ona jednaka jedinici za ω = 0 (idealna transmisija jednosmjerne komponente
signala), i da su sve moguće derivacije greške transmisije, koja se definiše sa:
( ) = 1 − H (ω )
Δ ω
2
2
=
K (ω )
2
1 + K (ω )
2
,
(2.46)
jednake nuli za ω = 0 , tj.:
K (0) = 0 ,
(2.47)
23
GLAVA 2
 K (ω ) 2 

 = 0, i = 1, 2,3,
1 + K ( ω ) 2 

ω =0
di
( dω 2 )
i
(2.48)
2
Budući da je K (ω ) količnik dva polinoma po ω 2 , tj.:
a0 + a1ω 2 + a2ω 4 +  + anω 2 n
,
N (ω ) N ( −ω )
2
K (ω ) =
(2.49)
kako bismo zadovoljili navedene uslove mora biti ai = 0 , i = 0,1,, n − 1 ,
odnosno sve nule refleksije moraju biti u ishodištu, tako da je:
1
2
H (ω ) =
1 + K (ω )
2
=
N (ω )
2
2
N (ω ) + anω 2 n
.
(2.50)
Stepen n polinoma u nazivniku mora biti bar za jedan veći od stepena m
polinoma u brojniku da bi transmisija bila jednaka nuli kada s → ∞ . Dakle, za
proizvoljan polinom N ( s ) , odnosno za proizvoljan set nula transmisije,
možemo konstruisati NP funkciju prenosa sa maksimalno ravnom
amplitudnom karakteristikom u propusnom opsegu.
Parametar an se određuje na osnovu maksimalnog dozvoljenog slabljenja u
propusnom opsegu. Iz postavljenih zahtjeva da slabljenje monotono raste sa
učestanošću, a da ne smije biti veće od maksimalno dozvoljenog slabljenja u
propusnom opsegu datog preko valovitosti ε 2 , za kvadrat amplitudne
karakteristike na granici propusnog opsega vrijedi:
2
H (1) =
1
.
1+ ε 2
(2.51)
Poredeći ovaj izraz sa vrijednošću kvadrata amplitudne karakteristike na
granici propusnog opsega:
2
H (ω ) =
24
1+
2
1
 H (1) =
2n
anω
N (ω )
2
1+
1
an
N (1)
,
2
(2.52)
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
za NP filtar sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom dobijamo
valovitost u propusnom opsegu:
ε2 =
an
N (1)
= 10
2
0.1R p
−1 ,
(2.53)
što nam omogućava da odredimo koeficijent an na osnovu date vrijednosti
slabljenja Rp , ako smo prethodno odredili polinom nula transmisije N ( s ) .
Veoma važan specijalni slučaj NP funkcije prenosa sa maksimalno ravnom
amplitudnom karakteristikom je funkcija prenosa bez konačnih nula
transmisije, sa N ( s ) = 1 :
1
2
H (ω ) =
1 + ε 2ω 2 n
.
(2.54)
Amplitudne karakteristike normalizovanih NP filtara sa maksimalno
ravnom amplitudnom karakteristikom i bez konačnih nula transmisije za
n = 2, 3, 4 su prikazane na Slici 2.7.
Za ovaj slučaj, kad slabljenje monotono opada sa porastom učestanosti, red
filtra n se određuje iz uslova da slabljenje na graničnoj učestanosti
nepropusnog opsega ω s treba da bude veće od propisanog minimalno
potrebnog slabljenja Rs , na sljedeći način:
12


1
−20log H (ωs ) ≥ Rs  −20log 
2
2n 
 1 + ε ωs 
(
(
)
≥ Rs ,
)
10log 1 + ε 2ωs 2 n ≥ Rs  ωs 2 n ≥ ε −2 100.1Rs − 1 
(
)
 2n log ωs ≥ log ε −2 100.1Rs − 1  ,


(
)
log ε −2 100.1Rs − 1 

.
n≥
2log ωs
(2.55)
(2.56)
(2.57)
25
GLAVA
A2
H (ω )
1
1
1+ ε 2
n=4
n=3
n=2
ω
1
Slikka 22.7 Amp
A plittudn
ne kar
k raktterisstikke nnorm
maalizo
ovaanih
h NP
N filta
f ara sa
mak
m ksim
maln
no ravvnom amp
a plittudn
nom
m kara
k akteerisstikom
mu
prop
p pusnom
m ops
o seguu i bez
b z koonaačniih nula
n a trranssmiisijee zaa
n = 2,
2 3, 4.
D bism
Da
b mo odrred
dili llokaacijje polo
p ovaa ovvogg filttra,, u izra
i azu:
1
2
H (ω ) = H (ω ) H ( −ω ) =
1 + ε 2ω 2 n
((2.5
58)
s − s 2 i izje
i ednačim
mo
o naazivvnikk do
obijjenog izraazaa sa nuulom
m:
zaamijjeniimo
o ω 2 sa
2
1 ( −1) ε 2 s 2n
1+
= 0.
n
((2.5
59)
K jenii ovvogg po
Korij
olin
nom
ma su
s polo
p ovii prreno
osnne funk
filtraa:
f kcije fi
sk2n =
1
ε
2
( −1)
n+1
=
1
ε
2
e j ( n++1+ 2kk )π , k ∈  .
((2.6
60)
mo korrijene iz lijev
l ve polu
p uraavnii im
mam
mo željjene polo
p ove::
Zaadrržavvajuući sam
sk = ε
−1
n
e
j
2 k + n +1
π
2n
, k = 00,1, 2,
2 , n − 1
oređđen
no naa radi
r ijusu ε
raspo
ne uniiforrmn
olovva za
z n = 2,33, 4 je dat naa Sllici 2.88.
po
26
6
−1
n
((2.6
61)
makku 18800 n . Rasp
R poreed
, naa razm
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
π
4
π
jΩ
6
8
jΩ
1σ
1σ
n=2
π
jΩ
1σ
n=4
n=3
Slika 2.8 Lokacije polova Batervortovog filtra za n = 2,3, 4 .
Iz ε 2 = 100.1R − 1 za ε = 1 dobijamo da je Rp = 3 dB slabljenje na granici
propusnog opsega, za ω = 1 . Odgovarajući NP filtar bez konačnih nula
transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom ima funkciju
prenosa oblika:
p
H (s) =
1
s n + bn −1 s n −1 +  + b1 s + 1
(2.62)
i naziva se Batervortov (Butterworth) filtar. U literaturi se često i oni filtri bez
konačnih nula transmisije sa maksimalno ravnom amplitudnom
karakteristikom kod kojih je ε ≠ 1 nazivaju Batervortovi filtri.
Koeficijenti bi se računaju na osnovu položaja polova u kompleksnoj s ravni
zavisno od reda filtra. Nekada su ovi koeficijenti zadavani tabelarno, dok se u
novije vrijeme koriste softverski paketi koji olakšavaju ove proračune bez
korišćenja tabela.
Kako se pri određivanju reda filtra uzima prvi cio broj veći ili jednak
dobijenom rezultatu za n na osnovu (2.57), to znači da je istim redom filtra
moguće zadovoljiti i strožije zahtjeve od postavljenih. Stoga je moguće, nakon
usvajanja vrijednosti za n , na osnovu izraza ε 2 =
100.1Rs − 1
, pronaći novu
ωs2 n
vrijednost za valovitost ε u propusnom opsegu, koja će osigurati slabljenje na
granici nepropusnog opsega jednako minimalnom dozvoljenom slabljenju Rs .
Pri tome se u propusnom opsegu dobije maksimalno slabljenje manje od onog
27
GLAVA 2
određenog zahtjevima i prvobitnom vrijednošću za ε , a učestanost na kojoj
slabljenje iznosi maksimalno dozvoljenih Rp [dB] postaje veća od jedan. Sa
promjenom vrijednosti za ε mijenja se poluprečnik kružnice u kompleksnoj
ravni na kojoj su raspoređeni polovi prenosne funkcije Batervortovog filtra, a
samim tim i funkcija prenosa filtra.
2.3.2 Čebiševljevi filtri
Pokazalo se mnogo efikasnijim, umjesto monotono rastuće greške
aproksimacije u propusnom opsegu kod filtara sa maksimalno ravnom
amplitudnom karakteristikom, grešku aproksimacije rasporediti ravnomjerno u
propusnom ili nepropusnom opsegu. Filtre sa jednolikim oscilacijama amplitudne
karakteristike nazivamo Čebiševljevi (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894)
filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno raspoređena u propusnom
opsegu, a inverzni Čebiševljevi filtri ako je greška aproksimacije ravnomjerno
raspoređena u nepropusnom opsegu.
Čebiševljevi filtri
Raspoređivanjem greške aproksimacije ravnomjerno u cijelom propusnom
opsegu nastaju filtri sa karakterističnom funkcijom K ( s ) u obliku polinoma
koji osciluje uniformno između 0 i ε 2 u propusnom opsegu:
2
K (ω ) = ε 2 Cn2 (ω ) ,
(2.63)
−1 ≤ Cn (ω ) ≤ 1 za 0 ≤ ω ≤ 1 .
(2.64)
gdje je:
Mi se nećemo zadržavati na rigoroznim metodima za određivanje polinoma
Cn (ω ) , ali je očito da polinom:
Cn (ω ) = cos  nΦ (ω ) 
(2.65)
osciluje uniformno između -1 i 1 i to sa rastućom frekvencijom kad n raste.
Iz poznatog matematičkog identiteta koji se dokazuje indukcijom:
28
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
cos nΦ (ω ) = 2 n −1 cos n Φ (ω ) −
−
n ( n − 3 )( n − 5 )
3!
n ( n − 3) n −5
n n −3
2 cos n − 2 Φ (ω ) +
2 cos n − 4 Φ (ω )
1!
2!
(2.66)
2 n − 7 cos n − 6 Φ (ω ) + 
slijedi da je cos nΦ (ω ) polinom po ω ako je:
Φ (ω ) = cos −1 (ω ) ,
ω ≤ 1.
(2.67)
Čebiševljev polinom reda n je:
C n (ω ) = cos ( n cos −1 ω ) ,
ω ≤1.
(2.68)
U nepropusnom opsegu, za ω ≥ 1 , cos −1 ω nije definisano, te se za Cn (ω )
usvaja hiperbolna kosinusna funkcija koja monotono raste za ω > 1 :
C n (ω ) = ch ( n ch −1 ω ) .
(2.69)
Prvih nekoliko Čebiševljevih polinoma u propusnom opsegu ima oblik:
C0 (ω ) = cos0 = 1 ,
(2.70)
C1 (ω ) = cos (1 ⋅ cos −1 ω ) = ω ,
(2.71)
C2 (ω ) = cos ( 2 ⋅ cos −1 ω ) = 2  cos ( cos −1 ω )  − 1 = 2ω 2 − 1 ,
(2.72)
2
C3 (ω ) = cos ( 3 ⋅ cos −1 ω ) = −3cos ( cos −1 ω ) + 4  cos ( cos −1 ω )  = −3ω + 4ω 3 , (2.73)
3
C 4 (ω ) = cos ( 4 ⋅ cos −1 ω ) = 1 − 8ω 2 + 8ω 4 .
(2.74)
Postoji rekurzivna trigonometrijska relacija:
cos ( n + 1) x  = 2cos nx cos x − cos ( n − 1) x 
(2.75)
koja, kad se primijeni na Čebiševljeve polinome, postaje:
29
GLAVA 2
Cn +1 (ω ) = 2ωCn (ω ) − Cn −1 (ω ) , n = 1, 2,
(2.76)
C0 (ω ) = 1, C1 (ω ) = ω.
Čebiševljev polinom n -tog reda ima sljedeće osobine:
1. 0 ≤ Cn (ω ) ≤ 1 za ω ≤ 1 , dok je Cn (ω ) > 1 za ω ≥ 1 ,
2. Cn (ω ) je monotono rastući polinom za ω ≥ 1 i za svako n ,
3. Cn (ω ) je paran polinom ako je n parno, a neparan ako je n neparno,
4. Cn ( 0 ) = 1 za n parno,
5. Cn ( 0 ) = 0 za n neparno.
Dakle, ako se za aproksimaciju amplitudne karakteristike NP filtra koriste
Čebiševljevi polinomi, funkcija prenosa NP filtra sa jednolikim oscilacijama u
propusnom opsegu i bez konačnih nula transmisije se određuje iz:
2
H (ω ) =
1
,
1 + ε Cn2 (ω )
(2.77)
2
gdje je Cn (ω ) Čebiševljev polinom reda n .
Amplitudna karakteristika Čebiševljevog filtra
oscilacije u cijelom propusnom opsegu.
H (0) = 1
H (ω )
ima jednolike
H ( 0 ) = 1 za neparno
1 + ε 2 za parno n , dok je H (1) = 1
n, a
1 + ε 2 , ∀n . Dalje, H (ω )
monotono opada za ω > 1 . Postoji n kritičnih tačaka u propusnom opsegu
gdje H (ω ) poprima maksimalnu ili minimalnu vrijednost.
Na Slici 2.9 prikazane su amplitudne karakteristike normalizovanih
Čebiševljevih filtara za red filtra n = 2,3, 4 .
30
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
H (ω )
1
1
1+
+ε2
n=3
n=4
n=2
ω
1
Sliika 2.99 A
Am
mpliitud
dne kaarakkterristiike norrmaalizzovaanih
NP Čeebišševlljevvih filttaraa zaa n = 2,, 3, 4 .
NP
Polo
P ovi Čebiševljevog filttra sse iz
i kvad
k dratta amp
a plituudn
ne kara
k aktterisstikke:
1
2
H (ω ) =
1 + ε co
os ( n cos
c −1 ω )
2
2
(2.778)
odre
o eđuuju na
n sljeedećći nači
n in. U
o ozznaaku::
Uvvediimo
s
j
ξ = α + j β = coss −1 .
(2.779)
s = σ + jω = j co
os (α + jβ ) = j cos
c α cosh
c h β + sin α sin
nh β ,
(2.880)
taako
o daa je::
odno
o osn
no:
σ = sin
s α siinh β ,
(2.881)
w = cos
oshh β ,
c α co
(2.882)
H ( s ) ⋅ H ( − s ) = H (ω )
2
s
ω=
j
=
1
.
1 + ε co
os 2 ( nξ )
2
(2.883)
31
GLAVA 2
Lokacija polova Čebiševljevog filtra se određuje iz uslova da nazivnik
funkcije prenosa bude jednak nuli:
1 + ε 2 cos 2 ( nξ ) = 0  (1 + jε cos nξ )(1 − jε cos nξ ) = 0  1 ± jε cos nξ = 0 , (2.84)
odakle slijedi da je:
cos nξ = cos ( nα + jnβ ) = cos nα cosh nβ − j sin nα sinh nβ = ±
j
ε
,
1
cos nα cosh nβ = 0 ∧ sin nα sinh nβ = ± .
(2.85)
(2.86)
ε
Rješenja sistema jednačina zapisanog sa (2.85) i (2.86) su:
αk = ±
2k − 1
1
1
π , β k = ± sinh −1 , k > 0 ,
2n
n
ε
(2.87)
pa su realni i imaginarni dijelovi polova od H ( s ) H ( − s ) koji se nalaze u lijevoj
poluravni sljedeći:
1
2k − 1
1
σ k = − sinh  sinh −1  sin
π , k = 1, 2, , n ,
2n
ε
n
1
(2.88)
2k − 1
1
ω k = cosh  sinh −1  cos
π , k = 1, 2, , n .
2n
ε
n
(2.89)
Koristeći identitet sin 2 x + cos 2 x = 1 , možemo pisati:
σ k2
1
1
sinh  sinh −1 
ε
n
2
+
wk2
=1,
−1 1 
21
cosh  sinh
ε 
n
(2.90)
1
1
što znači da polovi sk = σ k + jωk leže na elipsi čije su ose a = sinh  sinh −1 
n
ε
1
1
(kraća) i b = cosh  sinh −1  (duža).
n
ε
Sa poznatim polovima sk , k = 1, 2, , n , funkcija prenosa Čebiševljevog filtra
poprima oblik:
32
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
H (s) =
1
n
2 ε ∏ ( s − sk )
n −1
=
(
1 2n −1 ε
n
s + bn s
n −1
)
+  + b1s + b0
.
(2.91)
k =1
Slično kao kod Batervortovog filtra, koeficijenti bi se računaju na osnovu
položaja polova u kompleksnoj s ravni.
Pri dizajniranju Čebiševljevog filtra imamo dva parametra: valovitost ε koja
je određena maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u propusnom opsegu
0.1R p
ε = 10
− 1 i red filtra n , koji se određuje iz uslova za slabljenje Rs na
graničnoj učestanosti nepropusnog opsega ω s :
−10log
n≥
1
≥ Rs ,
1 + ε Cn2 (ωs )
(2.92)
2
cosh −1
(10
0.1R p
)
−1 ε 2
cosh −1 ωs
.
(2.93)
Inverzni Čebiševljevi filtri
Inverzni Čebiševljev filtar ima monotono opadajuću amplitudnu
karakteristiku u propusnom opsegu i jednolike oscilacije u nepropusnom
opsegu, te konačne nule transmisije, kao na Slici 2.10.
Kvadrat amplitudne karakteristike ovog filtra je dat sa:
H (ω )
2
ε 2Cn2 (1 ω )
=
.
1 + ε 2Cn2 (1 ω )
(2.94)
Inverzni Čebiševljev filtar je jednako efikasan kao Čebiševljev filtar u smislu
da je isti red filtra potreban da se zadovolje postavljeni zahtjevi za amplitudnu
karakteristiku.
33
GLAVA
A2
H (ω )
1
n=4
n=3
n=2
1
1+ δ 2
1
ω
Slikka 22.100 A
Am
mpliitud
dnee kaarakkterristiike no
orm
malizzovvaniih NP
N invverzznih
h
Čeb
bišeevljjeviih filta
f ara za n = 2, 3, 4 .
Slikka 22.111 Kaarakkterristiike gruupn
nog kaššnjeenjaa fiiltarra 8.
8 reedaa zaa:
( Čeb
(a)
bišeevljjev i (b
b) in
nveerznni Čeb
f ar.
Č bišeevljeev filta
Međuutim
M
osto
oje veelikke razl
r likee u nnjih
hoviim faazniim kaarakkterristiikam
m, po
ma i
grrupn
nom
m kkašnjeenjuu. Č
Čeb
bišeevljeevi filttri u ppro
opuusno
om op
pseggu im
majuu izzražženiije
vaarijaacijee ggrup
pno
og kašnjeenjaa neg
n go inv
i verzzni Čeebišševlljevvi filtr
f ri, Slik
S ka 2.1 1. U
sittuaccijaamaa kaada su maale varrijaccijee kaašnjenjja veom
k što
o suu sisstem
v ma važnee, kao
mi za
prreno
os slik
s ke illi po
odaatakka, invverzzni Čebiševljjevii filltri imaju preedn
nost.
34
4
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
2.3.3 Eliptički filtri
Raspoređivanjem greške aproksimacije i unutar propusnog i unutar
nepropusnog opsega, uz iste postavljene zahtjeve dobija se manji red filtra u
poređenju sa filtrima sa maksimalno ravnom amplitudnom karakteristikom i
filtrima sa jednolikim oscilacijama.
Rezultujuća karakteristična funkcija K ( s ) mora biti racionalna funkcija sa
konačnim nulama refleksije ωr i konačnim nulama transmisije ωz .
Karakteristična funkcija:
i
i
2
K (ω ) = ε 2Tn2 (ω )
(2.95)
sa jednakim maksimumima ε 2 u propusnom opsegu i jednakim minimumima u
nepropusnom opsegu, može se ostvariti eliptičkim funkcijama Tn (ω ) , te se
rezultujući filtri, sa kvadratom amplitudne karakteristike:
2
H (ω ) =
1
1 + ε Tn2 (ω )
(2.96)
2
zovu eliptički filtri, ili Kauerovi (Wilhelm Cauer, 1900-1945) filtri. Eliptička (u
literaturi poznata i kao Čebiševljeva) racionalna funkcija Tn (ω ) je data sa:
n2
Tn (ω ) = k ∏
ω 2 − (ωs ω z
)
i
ω 2 − ω z2
i =1
2
(2.97)
i
za n parno, a sa:
Tn (ω ) = kω
( n −1)
∏
i =1
2
ω 2 − (ωs ω z
i
ω 2 − ω z2
)
2
(2.98)
i
za n neparno.
Sve frekvencije su normalizovane tako da je granica propusnog opsega
ω p = 1 . Konstanta k se određuje iz uslova da su maksimumi oscilacija u
propusnom opsegu jednaki jedinici, te valovitost ε određuje veličinu oscilacija
u propusnom opsegu i računa se kao obično.
35
GLAVA 2
Kada nivo oscilacija amplitudne karakteristike u nepropusnom opsegu teži
ka nuli, eliptički filtri postaju jednaki Čebiševljevim filtrima, a kada se gube
oscilacije u propusnom opsegu, ovi filtri postaju inverzni Čebiševljevi filtri.
Eliptički filtri teže Batervortovim filtrima kada nivoi oscilacija u oba opsega,
propusnom i nepropusnom, teže ka nuli.
Eksplicitno određivanje reda filtra n je veoma teško i zahtijeva
izračunavanje eliptičkih integrala. Umjesto toga, često se koriste parametarske
krive. U nepropusnom opsegu je ε 2Tn2 (ω )  1 , pa ako je Rs slabljenje na
granici nepropusnog opsega za ω = ωs , možemo uspostaviti sljedeću relaciju
između Tn (ωs ) , Rs i ε :
Rs = −20log H (ωs ) = −10log
≈ 10log ε T
2
2
n
1
= 10log (1 + ε 2Tn2 (ωs ) ) ≈
1 + ε Tn2 (ωs )
,
2
(2.99)
(ωs ) = 20log ε + 20log Tn (ωs )
tako da je:
Rs + 20log
1
ε
≈ 20log Tn (ωs ) .
(2.100)
Na osnovu (2.97) i (2.98) se izračunaju Čebiševljeve racionalne funkcije na
granici nepropusnog opsega Tn (ωs ) za različite vrijednosti reda filtra n .
Dobijene vrijednosti se porede sa vrijednošću Tn (ωs ) koja se dobije u
zavisnosti od minimalnog propisanog slabljenja u nepropusnom opsegu i
valovitosti ε , na osnovu (2.100). Na taj način se radi predikcija reda filtra, pa
se zatim provjerava da li su ispunjeni svi postavljeni zahtjevi. Ako nisu, red
filtra se povećava dok se ne postignu željene karakteristike.
Nakon određivanja potrebnog reda filtra, kada su poznati svi parametri,
mogu se odrediti nule i polovi funkcije prenosa H ( s ) . Analitički proračuni
položaja polova i nula u kompleksnoj s ravni, na osnovu kojih se određuju
koeficijenti u funkciji prenosa eliptičkih filtara:
m
H (s) =
36
(
H ∏ s 2 + ai
i =1
n −1
s n + bn −1s
)
+  + b1 s + b0
,
(2.101)
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
izzlazze iz okkviraa ove
o e knjig
k ge. Pri pro
ojekktovvan
nju filltarra korristiićem
mo
o ggoto
ove
proggram
me ko
oji pror
p račuunaavaaju oovee ko
oefficijentte na
n osn
o novuu post
p tavljen
nih zah
htjeeva
zaa am
mplituudn
nu kara
k akteeristikuu fiiltraa.
Para
P ameetarr H se birra takko da vršnaa vrije
v ednostt po
ojaččannja buude jeddnaaka
jeedin
nicii. N
Nulee reefleeksiije ωr i nnulle tran
t nsm
misijje ωz suu u geom
metrrijskkoj sim
mettriji
i
i
oko freekvvenccijee
ωs , tj.
t ωr ⋅ ωz = ωs . O
Od čettiri paaram
mettra filttra ε i δ (ili
i
i
) zaatim
m ω s i sttepeenaa n , trii see mo
oguu sp
peccificciratti n
neovvisn
no.
ekkvivvaleenttno Rp i Rs ),
Na
N priimjer, zaa date
d e vrije
v ednnostti Rp , Rs i ω s po
otreebn
no je prron
naći nuule
trranssmiisijee ωz , taako
o da Tn ( ω ) im
ma jeddnaake minim
m muumee ddovo
oljn
ne visinee u
i
neprrop
pusn
nom
m opse
o eguu. Tada
T a jee Tn (ω ) potp
p pun
no poz
p znaato.
Amp
A plittudn
ne karraktteristikke N
NP eliiptičkih
h filta
fi ara za
z n = 2, 3, 4 su
u prika
p azaane na
Sllici 2.112.
H (ω )
1
1
1+ ε 2
n=4
n=3
n=2
1
1+ δ 2
1
ω
Sllikaa 2.12 A
Amp
plituudn
ne kkaraakteerisstikke norm
n mallizo
ovan
nih
h
2 3,, 4 .
N elip
NP
ptiččkihh filltara zaa n = 2,
37
GLAVA 2
2.4
Aproksimacija fazne karakteristike
Funkcije prenosa koje se koriste za aproksimaciju fazne karakteristike ili
grupnog kašnjenja imaju konstantnu amplitudnu karakteristiku na svim
frekvencijama. To su filtri svepropusnici, čija funkcija prenosa ima oblik:
H SO ( s ) =
N SO ( s )
DSO ( s )
=
DSO ( − s )
DSO ( s )
.
(2.102)
Parametri funkcije prenosa (2.102) se biraju tako da ona aproksimira željeno
kašnjenje. Normalizacija frekvencijske varijable pri aproksimaciji faznih
karakteristika filtara se vrši sa Ω 0 = 1 τ 0 , gdje je τ 0 kašnjenje jednosmjerne
komponente.
Za aproksimaciju fazne karakteristike koriste se Beselovi (Bessel) filtri. Na
osnovu:
H (ω ) = H (ω ) e jϕ (ω ) ,
τ (ω ) = −
dϕ (ω )
dω
(2.103)
,
(2.104)
možemo izraziti faznu karakteristiku filtra na sljedeći način:
2
H (ω ) ⋅ H (ω ) = H (ω ) e j 2ϕ (ω ) = H ( s ) ⋅ H ( − s ) s = jω e j 2ϕ (ω ) ,
H ( s ) ⋅ H ( s ) = H ( s ) ⋅ H ( − s ) e j 2ϕ ( ω )
ϕ (ω ) =
H (s)
1
.
ln
2 j H ( − s ) s = jω
s = jω
,
(2.105)
(2.106)
(2.107)
Grupno kašnjenje:
τ (ω ) = −
dobijamo na sljedeći način:
38
dϕ (ω )
dω
(2.108)
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara

dϕ (ω ) 1 d  H ( s )
=
ln
.
dω
2 j d ω  H (− s ) s = jω 
(2.109)
Izvodom logaritamske funkcije iz (2.109), uz smjenu s = jω dobija se:
dϕ (ω ) 1 H (−ω ) d  H (ω ) 
=
.
dω
2 j H (ω ) d ω  H (−ω ) 
(2.110)
Koristeći formulu za izvod količnika iz (2.110), dobijamo:
dϕ (ω ) 1 H (−ω ) H (ω )′ H (−ω ) − H (−ω )′ H (ω )
=
,
2
2 j H (ω )
dω
[ H (−ω )]
(2.111)
dϕ (ω ) 1 H (−ω ) j ⋅ H ′(ω ) H (−ω ) + j ⋅ H ′(−ω ) H (ω )
=
.
2
dω
2 j H (ω )
[ H (−ω )]
(2.112)
U (2.111) je sa H (ω )′ označen izvod po ω , dok je u (2.112) je sa H ′(ω )
označen izvod po jω . Nakon smjene ω = s j u (2.112) dobijamo:
dϕ (ω ) 1 H (− s ) H ′( s ) H (− s ) + H ′(− s ) H ( s )
=
2
dω
2 H (s)
[ H (− s)]
(2.113)
dϕ (ω ) 1 H ′( s) H (− s) + H ′(−s) H ( s)
=
,
dω
2
H ( s ) H (− s )
s = jω
(2.114)
dϕ (ω ) 1  H ′( s ) H ′(− s ) 
.
= 
+
dω
2  H ( s ) H (− s )  s = jω
(2.115)
Kako je τ (ω ) = −
dobija:
,
s = jω
dϕ (ω )
dω
, konačno se za grupno kašnjenje na imaginarnoj osi
'
'
1  H ( s ) H ( −s ) 
+
= −P

2  H ( s ) H ( − s )  s = jω
τ (ω ) = − 
 H '( s ) 
,


 H ( s )  s = jω
(2.116)
39
GLAVA 2
gdje je sa P ( ⋅) označen parni dio funkcije.
Množenjem brojnika i nazivnika funkcije prenosa H ( s ) sa N ( − s )
dobijamo:
H (s) =
N ( s ) N ( −s )
D ( s ) N ( −s )
=
Q(s)
P(s)
,
(2.117)
pa grupno kašnjenje možemo zapisati u obliku:
1  P '( s ) P '( −s ) 
+
=P

2  P ( s ) P ( − s )  s = jω
τ (ω ) = 
 P '( s ) 
.


 P ( s )  s = jω
(2.118)
Problem pronalaženja funkcije prenosa H ( s ) sa željenim grupnim
kašnjenjem τ (ω ) se svodi na pronalaženje polinoma P ( s ) = N ( −s ) ⋅ D ( s )
takvog da P ( P' ( s ) P ( s ) ) duž jω ose aproksimira željeno kašnjenje. Često je
za to potrebna pomoć numeričkih metoda. Jednom kad se pronađe polinom
P ( s ) mora se izvršiti njegova faktorizacija na N ( − s ) i D ( s ) , pri čemu je
D ( s ) Hurvicov polinom stepena n ne manjeg od stepena m polinoma N ( s ) .
Dakle, P ( s ) mora u lijevoj poluravni da ima najmanje toliko korijena koliko ih
ima u desnoj poluravni.
Jednačina (2.118) se sad može koristiti za pronalaženje aproksimacije
funkcije prenosa NP filtra bez konačnih nula transmisije u obliku:
H ( s ) = Ke− sτ 0 ,
(2.119)
što je idealna funkcija prenosa mreže bez izobličenja, koja samo unosi
konstantno kašnjenje τ 0 i konstantno pojačanje 20 log K .
Nakon normalizacije amplitudne karakteristike sa K :
H ( s ) = e− sτ 0 ,
i kompleksne učestanosti s
normalizovanog filtra:
40
(2.120)
sa Ω 0 = 1 τ 0 , dobijamo funkciju prenosa
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
H (s) = e
−
s
1 τ0
=e
−
s
Ω0
= e− s .
(2.121)
s
→s
Ω0
Potrebno je pronaći funkciju prenosa u obliku:
H (s) =
n
s + bn −1s
n −1
b0
b
= 0
+  + b1s + b0 D ( s )
(2.122)
koja na neki način aproksimira funkciju e− s . Uvrštavajući ovakav oblik
funkcije prenosa (2.122) u izraz (2.118) za grupno kašnjenje, dobijamo:
D '( s ) D ( −s ) + D '( −s ) D ( s )
1  D '( s ) D '( −s ) 
.
+
=

2  D ( s ) D ( − s )  s = jω
2D ( s ) D ( −s )
s = jω
τ (ω ) = 
(2.123)
Grupno kašnjenje τ (ω ) u (2.123) nije konstantno, ali može aproksimirati
konstantu. Ako prilikom aproksimacije želimo da racionalna funkcija (2.123)
bude maksimalno ravna, na sličan način kao kod Batervortovih filtara, (2.123)
N2
, gdje je n stepen polinoma D ( s ) . Kako je
N 2 + anω 2 n
polinom u brojniku (2.123) stepena 2 n − 1 , a u nazivniku stepena 2n sa
treba svesti na oblik
koeficijentom uz najviši stepen ω 2 n jednakim 2 ( −1) , to znači da na jω osi
moramo zadovoljiti uslov da je:
n
2 D ( s ) D ( − s ) = D ' ( s ) D ( − s ) + D ' ( − s ) D ( s ) + 2 ( −1) s 2 n ,
(2.124)
n +1
1

s −2 n   D ' ( s ) D ( − s ) + D ' ( − s ) D ( s )  − D ( s ) D ( − s )  = ( −1) ,
2

(2.125)
n
odnosno:
što se može svesti na:
{
}
s −2 n P  D ' ( s ) D ( − s )  − D ( s ) D ( − s ) = ( −1)
n +1
.
(2.126)
Diferenciranjem po s dobijamo:
{
}
P  sD '' ( s ) − 2 ( n + s ) D ' ( s ) + 2nD ( s )  D ( − s ) = 0 ,
(2.127)
41
GLAVA 2
što mora da vrijedi za svako s , ako hoćemo da H ( s ) ima maksimalno ravno
kašnjenje. Kako D ( s ) ≡ 0 nije koristan rezultat, vrijedi da je:
sD '' ( s ) − 2 ( n + s ) D ' ( s ) + 2nD ( s ) ≡ 0 .
(2.128)
Matematičkom indukcijom se može dokazati da je rješenje diferencijalne
jednačine po D ( s ) date sa (2.128) Hurvicov polinom:
n
D ( s ) =  bi s i , bi =
i =1
( 2n − i )!
,
2 i !( n − i )!
n −i
i = 0,1,, n − 1, bn = 1 .
(2.129)
Zbog veze (2.129) sa Beselovim polinomima, rezultujući filtri se nazivaju Beselovi
filtri. Beselovi polinomi višeg reda se mogu dobiti rekurzivnom formulom:
Dn ( s ) = ( 2n − 1) Dn −1 ( s ) + s 2 Dn − 2 ( s ) .
(2.130)
Sa porastom reda filtra n raste tačnost aproksimacije grupnog kašnjenja.
Posmatrajmo:
n!
( 2 n − i )! ⋅ 2 n ! = ( n − i )! ⋅ 1 .
bi
= n −i
2n !
b0 2 i !( n − i )! 2n !
2−i i !
( 2 n − i )!
n
(2.131)
Kada n → ∞ dobijamo:
bi
1
1
ni
→
⋅ −i = ,
i
b0
( 2n ) 2 i ! i !
lim H ( s ) = lim
n →∞
n →∞
b0
1
=
= e− s ,
bi i ∞ 1 i
b0  s
 s
i =0 i !
i = 0 b0
n
(2.132)
(2.133)
kao što smo i željeli. Naravno, za konačan red filtra n , funkcija prenosa H ( s )
sa konačnom greškom aproksimira amplitudnu karakteristiku i grupno
kašnjenje.
42
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
(aa)
b)
(b
S bljen
nje i (b
b) ggrešška gruupn
nogg kaašnjenja Bese
B elovvih filttaraa
Sllikaa 2.13 (aa) Slab
u zaavisnossti od
o redda filtr
f ra.
43
GLAVA
A2
Jeedan
n jeedin
ni para
p ametar, red
r Beesellovo
og filttra n , mo
ora bitti pažl
p ljivo
o odab
o abraan,
takko daa ob
bje ovve greeškee budu
b u prih
p hvaatljivvo maale. Za odr
o eđiivan
nje redda filttra
m u se
mogu
s kkoristiti num
n merričkki post
p tup
pci ili dijagrram
mi kkoji prrikaazujju slab
bljeenjaa i
no
orm
malizovvan
ne greš
g ške grrupnogg kašn
k njen
nja u pro
ocentim
ma u zavvisn
nossti od red
da
filltra i norm
n mallizo
ovan
ne ffrekkveenciije ω = Ωτ 0 , kaao što
š je p
prikkazano
o naa Sllici 2.113.
2..5
Ka
ara
aktterris
stik
ke filltara u vrrem
me
ens
sk
kom
m do
dom
men
nu
Osno
ovn
ne parram
metrri ffiltaara ko
oji u vreemeenskom
m dom
menu oddređujju preelazzni
prrocees, priikazzani suu naa Sllici 2.114. Kaašnjeenje τ d see deefin
niše kaao vrije
v emee potrrebn
no
daa jeedin
nični od
dsko
očn
ni odzziv dosttign
ne polovvinuu ssvoje kraajnjje vriijeddnosti
(o
odno
osn
no da im
mpuulsn
ni odzi
o iv dos
d stiggne svvoju
u mak
m sim
maln
nu vrijjedn
nosst), dook se
vrijijem
me pora
p asta τ r deefin
nišee kaao vrijjem
me koj
k e jee potr
p rebn
no da jeddin
ničn
ni odsk
o koččni
od
dzivv poraastee saa 100% naa 900% svoje krrajnnje vrij
nossti. Preemaašenjje γ jee raazlika
v edn
izm
među vršnee i kraajnje vrije
v edn
nostti jediiniččnogg odsk
o koččno
og odz
o zivaa. Na
N slikkam
ma
2.15--2.220 p
ničn
nih odsko
očn
nih i im
mpuulsn
nih od
dzivva nnek
kih
prikkazaani suu prrimjerii jedin
filltaraa.
1
0..9
0..5
0.1
γ
τd
τr
Slikaa 2..14 Para
P ameetri preelazzno
og proc
p cesa prik
na norrmaalizzovaano
om
p azaani n
jeedin
ničn
nom
m odsk
o koččno
om odzzivu
u.
44
4
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
68
2 4
S ka 22.155 Jedi
Slik
J iniččni odskoočn
ni oddzivvi B
Bateervvorttoviih filta
f ara red
da 2,4,6
2 6 i 8.
2
4 6 8
ničn
ni odsk
o koččni odzivvi Čebiiševvljevvih filttaraa saa 3 dB slaabljenjem
m
Sllikaa 2.16 Jeedin
reda 2,44,6 i 8.
2 4 6 8
S a 2..17 Jeedin
Slika
ničn
ni ods
o skoččni od
dzivvi Bese
B elovvih filttaraa redda 2,44,6 i 8.
45
GLAVA
A2
2
46
8
Sliika 2.118 Im
mpuulsn
ni odzi
o ivi Bat
B tervvorttovvih filta
f ara red
da 2,4,
2 ,6 i 8.
2
4
6 8
SSlikka 2.19
pulssni odzzivii Čeebiševvljevvih filttaraa saa 3 dB
d slaabljeenjeem
2 9 IImp
m
reedaa 2,44,6 i 8.
8
2
4
6
8
Slik
2 0 Imp
I pulssni odzzivii Beeselovvih filtaara red
da 2,4,
2 ,6 i 8.
S ka 2.20
46
6
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
2.6
Uporedne karakteristike analognih filtara
Za datu specifikaciju amplitudne karakteristike, red eliptičkog je manji nego red
Čebiševljevog filtra, dok je Batervortov filtar najvećeg reda. Osnovni razlog za
ove razlike leži u distribuciji greške aproksimacije i konačnim nulama
transmisije, zbog kojih eliptički filtri imaju vrlo strmu karakteristiku u
prelaznom opsegu. Uporedne amplitudne karakteristike filtara istog reda
prikazane su na Slici 2.21, za red filtra pet, maksimalno dozvoljeno slabljenje u
PO od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje u NPO od 30 dB. Prelazni opseg
je najširi kod Batervortovog filtra, nešto uži kod Čebiševljevog, dok eliptički
filtri imaju najstrmiju amplitudnu karakteristiku u prelaznom opsegu.
Najzahtjevniji parametar pri specifikaciji filtara je širina prelaznog opsega. Na
primjer, pri projektovanju NP filtra sa maksimalnim dozvoljenim slabljenjem u
PO od 0.5 dB i minimalnim propisanim slabljenjem od 23 dB u NPO, pri
ωs = 1.6 , potreban je Batervortov filtar osmog reda, Čebiševljev petog i
eliptički filtar trećeg reda. Za iste specifikacije slabljenja, ali sa ωs = 1.1 umjesto
ωs = 1.6 , potreban je Batervortov filtar trideset i devetog reda, Čebiševljev filtar
desetog reda i eliptički filtar petog reda. Manji uticaj na red filtra imaju
propisana slabljenja, tako da se pri ωs = 1.1 , ali uz dozvoljeno slabljenje u PO
od 3 dB i minimalno potrebno slabljenje od 30 dB u NPO, dobije da su
potrebni Batervortov filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljevi filtri desetog
reda i eliptički petog reda, čije su karakteristike prikazane na Slici 2.22.
Sljedeće što nas zanima kad poredimo filtre je fazna karakteristika, odnosno
grupno kašnjenje. Za isti red filtra, Čebiševljevi i eliptički filtri imaju
nelinearnije fazne karakteristike i krive grupnog kašnjenja sa izraženijim
vrhovima od Batervortovih filtara. Na Slici 2.23 prikazane su fazne
karakteristike Batervortovog, Čebiševljevog, inverznog Čebiševljevog i
eliptičkog filtra petog reda. Međutim, ovakav način poređenja nije u potpunosti
korektan, već je bolje porediti filtre koji zadovoljavaju iste zahtjeve, umjesto
filtara istog reda. Na Slici 2.24 prikazane su fazne karakteristike za Batervortov
filtar trideset i sedmog reda, Čebiševljev filtar desetog reda, inverzni
Čebiševljev filtar desetog reda i eliptički filtar petog reda čije amplitudne
karakteristike zadovoljavaju sljedeće zahtjeve: Fp = 1kHz , Fs = 1.1kHz ,
R p = 3dB i Rs = 30dB . Primjetno je da u najvećem dijelu propusnog opsega
eliptički i inverzni Čebiševljev filtar imaju manji nagib fazne karakteristike, a
time i manje grupno kašnjenje.
47
GLAVA
A2
20
0 log
g H ( F ) [ dB
d ]
F [Hz]]
Sliika 2.221 Am
mp
plituudn
ne kara
k akteeristtikee Batervo
orto
ovo
og (ccrn
no), Čeebišševlljevvog
(p
plavvo), invverzno
og Čeb
Č bišeevljevoog (crv
( ven
no) i elliptiičko
og (zelen
no) filtrra
peetogg reedaa.
20
0 log
g H ( F ) [ dB
d ]
F [Hzz]
Sliika 2.222 Am
mp
plituudn
ne kara
k akteeristtikee Batervo
orto
ovo
og fi
filtraa trrideesett i sedm
mogg reedaa
o), Čeb
Č bišeevljeevo
og filtr
f ra dese
d etogg reeda (pllavo
o), invverzzno
og
(crrno
og red
r da (crvveno
o), i eliiptiičko
og filtrra peto
p og
Čeebišševvljevvogg filtra desseto
no) koji ispun
njavvajuu zaahttjevve: Fp = 1kHz , Fs = 1.1kHz ,
reda (zelen
Rp = 3ddB i Rs = 30ddB .
48
8
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
arrg H ( F ) [ rad
r ]
F [ Hz ]
Sllikaa 2.23 Fazn
ne kara
k akteerisstikke Bate
B ervo
orto
ovo
og (crn
( no),, Čeebiševvljev
vogg (p
plavvo),
in
nverrzn
nog Čeebišševlljevvog (crrven
no) i elipt
e tičkkogg (zeelenno) filttra pettogg
reeda.
arrg H ( F ) [ rad
r ]
F [ Hzz ]
ne kara
k akteerisstikke Bate
orto
ovo
og filtr
f ra trrideesett i ssedmo
og reda
r a
Sllikaa 2.24 Fazn
B ervo
(ccrno
o), Čeb
bišeevljjevoog filtrra des
d eto
og reda
r a (p
plavvo), invverzno
og
Čebi
Č iševvljevvogg filltraa deesettog redda (crv
( ven
no), i elipttičkkog filttra pettog
1 Hz , Fs = 1.1k
reeda (zeelen
no) ko
oji isspu
unjaavajju zzahtjevve: Fp = 1kH
1 kHzz ,
Rp = 3d
dB i Rs = 300dB
B.
49
GLAVA
A2
Sliika 2.225 Jedin
ničn
ni odskkočni odz
o zivi Baaterrvorrtovvogg (ccrno
o), Čeb
bišeevljjevo
og
(plavo
o), elip
e ptičkogg (zzeleeno)) i Bes
B selo
ovo
og (ccrvveno
o) filtr
f ra trrećeeg red
r da.
Sliika 2.226 Im
mpuulsn
ni o
odziivi Bat
B tervvorttovvog (crrno)), Čeb
Č biševvljeevo
og (p
plavvo)),
og ((zelleno
o) i Beesellovog (crvven
no) filttra treććegg red
da.
eliiptičko
m dom
d men
nu priikazzane su pprek
ko
Uporreddne karrakkteriistikke filttaraa u vreemeenskom
jed
din
ničn
nih odssko
očniih i im
mpuulsn
nih od
dzivva nna Slic
S ci 2.26, reespekttivn
no.
S ci 2.25 i Slic
Ellipttičkki i Čeebišševlljevvi fiiltrii, čiiji se
s pol
p lovii naalazze bliž
b že ima
i agin
narn
noj ossi, iimaaju
izrreženije oscilaacijee i duž
d že traajan
nje prrelazno
og prroceesa nego
n o Bes
B seloovi i
Baaterrvo
orto
ovi filtr
f ri.
50
0
Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih filtara
2.7
Frekvencijske transformacije
Iz NP prototipa mogu se izvesti funkcije prenosa ostalih tipova filtara.
Označimo sa:
s = σ + jω
(2.134)
normalizovanu kompleksnu učestanost NP filtra tako da je ω = 1 granica
propusnog opsega, zatim sa:
s = σ + jω
(2.135)
normalizovanu kompleksnu učestanost željenog filtra i sa Ω nenormalizovanu
frekvenciju.
Ideja se sastoji u određivanju funkcije preslikavanja:
s = F ( s) ,
(2.136)
koja će transformisati propusne i nepropusne opsege željenog filtra u propusni,
odnosno nepropusni opseg NP filtra. Ako u funkciji prenosa NP filtra
kompleksnu učestanost s zamijenimo sa F ( s ) , dobićemo funkciju prenosa
željenog filtra.
Kako je funkcija prenosa željenog filtra realna racionalna funkcija, slijedi da
funkcija preslikavanja F ( s ) mora biti neparna realna racionalna funkcija takva
da je:
s = jω = F ( jω ) = jf (ω ) .
(2.137)
Frekvencijska transformaciona funkcija:
ω = f (ω )
(2.138)
se bira tako da sve propusne opsege željenog filtra transformiše u propusni
opseg NP filtra ω ≤ 1 , a sve nepropusne opsege željenog filtra u nepropusni
opseg NP filtra ω > 1 . Zbog jednoznačnosti preslikavanja, frekvencijska
transformaciona funkcija je monotono rastuća, te f (ω ) ima jednostruke
51
GLAVA
A2
mjer freekveenccijskke tran
orm
maccion
ne funk
f kcijje.
Sllikaa 2.227 Prrim
t nsfo
m p
prop
pussnom opseggu i jeednosttrukke pol
p lovee ωb u svaako
om
nuule ωa u svvakkom
neepro
opuusn
m ops
o seguu, kako jee prik
p kazaano
o na
n Sllici 2..27. Op
O šte fo
me
nom
form
freekvvenccijsske traansfform
maccion
ne fun
nkccije f ( ω ) i fun
nkciije preeslikkavvanjja F ( s ) su
daate sa:
i
i
(ω
ω = f (ω ) = K
2
(s
s = F (s) = K
52
2
) (
ω ( ω − ω ) ( ω
)(
)(
−ω )
− ωa21 ω 2 − ωa22  ω 2 − ωa21 ω 2 − ωa2n
2
2
+ ωa21
(
)(s
2
b1
2
2
2
bm
) (
+ ω a22  s 2 + ωa2n
) (
s s +ω  s +ω
2
2
b1
2
2
bm
)
).
),
(22.13
39)
(22.14
40)
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
Tran
T nsfform
maccija
a nisk
koprroppussnog
g u viisokkop
prop
pussni filltarr
Uče
U stan
nossti VP
VP filltra se noorm
malizzuju ssa gran
g ničn
nom
m učes
u stannoššću propuusn
nog
opseeg Ω p , tako
t o da
d je norm
n maalizo
ovaana graaniččnaa uččestan
nostt prrop
pusn
nogg o
opseega
ω p = 1 . Proppusnni ops
o seg VP
P fiiltraa ω ≥ 1 treb
ba preeslikkatii u proopu
usn
ni op
pseeg NP
N
fiiltraa ω ≤ 1 , a nep
n rop
pusni ops
o seg VP
P filltraa ω < 1 u neprropusnni opse
o eg NP
NP filltra
ω > 1 . Prri toom
me frek
f kven
nijsska traansfform
macciona fun
nkccija treeba daa im
ma obli
o ik dat
d
saa (22.1339). Ove
O zaahtjevee ćee zado
ovo
oljitti fuunkkcijaa koja
k a im
ma poll ω = 0 i n
nuluu u
beskkon
načn
nosti, uz f (1) = 1 , kao
o na
n Slici 2.228. Prrem
ma tom
t me, frrekvven
ncijsska
onaa fuunkkcijaa je:
trranssformacio
ω=
1
ω
.
(22.1441)
Funk
F kcijjom
m prresllikaavan
nja:
s=
1
s
(22.1442)
nosaa NP
N filtr
f ra pprevvod
di u fun
nkcciju preno
osa VP
P fililtraa.
see fuunkkcijaa prren
Sliika 2.228 Trranssforrmaacija prop
p pussnogg i nep
pro
opusno
og oopssegaa V
VP ffiltra
u pro
p opuusnii i nepr
pusn
ni ops
o seg NP
P filltraa. P rop
pusn
ni ops
o sezii
n rop
suu šraafirranii.
53
GLAVA 2
Transformacija niskopropusnog filtra u filtar propusnik opsega
Da bi propusni opseg filtra PO ωl ≤ ω ≤ ωu preslikala u propusni opseg NP
filtra ω ≤ 1 , a nepropusne opsege filtra PO ω < ωl i ω > ωu u nepropusni
opseg NP filtra ω > 1 i pri tome zadovoljila opštu formu datu sa (2.139),
frekvencijska transformaciona funkcija treba da ima oblik kao na Slici 2.29, tj.
da bude monotono rastuća sa nulom u ω = 1 i polovima u nuli i
beskonačnosti:
ω=K
ω2 −1
.
ω
(2.143)
Granične učestanosti propusnog opsega ωl i ωu se preslikavaju u ±1 . Stoga
1
ω − 1 = 0 dobijamo ωu − ωl = K −1 i
K
ωlωu = 1 . Dakle, normalizujuća učestanost Ω0 treba da bude geometrijska
rješavanjem jednačine ω = 1  ω 2 ±
sredina graničnih učestanosti Ω0 = Ωl Ωu , dok je parametar K zapravo faktor
kvaliteta:
K=
Ω0
Ω
1
=
= 0 =Q,
B
ωu − ωl Ω u − Ω l
(2.144)
gdje je:
B = Ωu − Ωl
(2.145)
širina propusnog opsega.
Dakle, funkcija preslikavanja kojom se funkcija prenosa NP filtra prevodi u
funkciju prenosa filtra PO je data sa:
s=
54
Ω0 s 2 + 1
s2 + 1
=Q
.
B s
s
(2.146)
Meto
odi apro
a okssima
acije amp
plitudnih i faznih karakteriistik
ka ana
a lognih filta
ara
Sliika 2.229 Trranssforrmaacija prop
p pussnogg i nep
pro
opusnih
h oopseega filttra PO
Ou
propuusn
ni i nnep
prop
pussni opsegg NP filtr
f a. Pro
P opusni op
psezzi suu
šraafiranii.
Treb
T ba naapom
menutti da
d ovva traansfform
macijaa uvij
u ek rezulltuje sim
s metrričn
nim
om PO
O, kod kog
k ga oba
o a nneprrop
pusn
na opsegga ima
i aju po
ojeddnak
ko slaabljeenje i
fiiltro
ne oba
o preelazznaa op
psegga su
s ppod
djeddnaake.
šiirin
Tran
maccija
a nisk
koprroppussnog
g filtr
fi ra u filltarr neprrop
pusn
nikk op
psegga
T nsfform
Frek
F kven
nciijskaa trransformacioonaa fuunkkcijaa (22.1441) miijen
nja poz
p zicijje prop
p pussno
og i
pusn
nogg op
pseega. To
o znač
z či da
b prim
p mjeeno
om fun
nkccije preesliikavvnjaa (22.1442)
neprrop
d bi
f ar P
PO do
obiili filta
f ar NP
NPO. Sttogaa jee želje
ž enaa fuunkkcijaa ppresslikaavaanjaa ko
oja
na filta
p nosa NP
N filttra u fun
f nkciiju preeno
osa filttra NP
PO reciproččna
prevvodii fuunkkcijuu pren
presslikaavaanjaa koja
k a pprevvod
di funk
f kcijju preeno
osa NP filttra u fun
nkcciju
fuunkkcijii p
nosaa filltraa PO
O:
pren
s=
1 s
B s
.
=
Q s 2 + 1 Ω0 s 2 + 1
(22.1447)
Frek
F kven
nciijskaa tran
nsfo
orm
maciion
na funk
f kcijja je
j prik
p kazanaa na
n SSlicci 2.30
2 0. O
Ovo
om
m see do
obiije sim
s metriičn
ni filltarr NPO
O saa jed
dnaakim
m oosobin
nam
ma u oba
o
trranssformacijjom
pusn
na i ob
ba pre
p elazna opsegga.
prop
55
GLAVA
A2
Slikka 2.300 Traansfformaacijaa prrop
pusnnih i nepr
n rop
pusn
nogg op
psega filtrra N
NP
PO
up
prop
pussni i neepropuusnni opseeg NP
N filttra. Prropuusn
ni opseezi
su šrafiraani.
56
6
Download

Metodi aproksimacije amplitudnih i faznih karakteristika analognih