Uvod u analizu (M3-02)
14., 19. i 21. XI 2014.
dr Nenad Teofanov
1. Osnovni topoloˇ
ski pojmovi u R
U ovom predavanju skup realnih brojeva se snabdeva topoloˇskom strukturom. Najpre ´ce se definisati pojam topoloˇskog prostora, a zatim ´ce se
komentarisati med¯uodnos taˇcke x ∈ R i skupa A ⊂ R pomo´cu topoloˇskih
pojmova. Posebno ´cemo se zadrˇzati na pojmu taˇcke nagomilavanja nekog
skupa taˇcaka.
1.1. Topoloˇ
ski prostor. Neka je X proizvoljan neprazan skup i neka je τ
kolekcija podskupova skupa X, τ ⊂ P(X), gde je sa P(X) oznaˇcen partitivni
skup skupa X. Ako su ispunjeni slede´ci uslovi:
T.1 ∅, X ∈ τ,
T.2 (∀O1 , O2 ∈ X)(O1 , O2 ∈ τ ⇒ O1 ∩ O2 ∈ τ ),
T.3 (∀Oλ ∈ X, λ ∈ Λ)(Oλ ∈ τ ⇒ ∪λ∈Λ Oλ ∈ τ ).
onda je (X, τ ) topoloˇski prostor, a τ topologija na X. Elementi kolekcije τ
se, u tom sluˇcaju, nazijavu otvoreni skupovi.
Na primer, za svaki neprazan skup X, τ = {∅, X} je (najgrublja) topologija
na X, a τ = P(X) je najfinija topologija na X.
Iz uslova T.2 sledi da je svaki skup dobijen presekom konaˇcno mnogo
otvorenih skupova iz τ otvoren skup u τ . Iz T.3 sledi da je proizvoljna unija
elemenata skupa τ takod¯e element skupa τ.
Neka je (X, τ ) topoloˇski prostor. Skup B ⊂ X je zatvoren skup u (X, τ )
ako i samo ako je njegov komplement otvoren skup u (X, τ ). Prema tome,
∅ i X su i otvoreni i zatvoreni skupovi u proizvoljnoj topologiji na X. U
opˇstem sluˇcaju, proizvoljan poskup skupa X ne mora da bude otvoren niti
zatvoren.
1.2. Uobiˇ
cajena topologija skupa R. Podsetimo se, apsolutna vrednost
broja x ∈ R je data sa:
½
x, x ≥ 0
|x| =
−x, x < 0.
Prema tome, ako je ε > 0, vaˇzi |x| < ε ⇔ x ∈ (−ε, ε). Takod¯e, ako su zadati
brojevi x ∈ R i ε > 0, onda je y ∈ (x − ε, x + ε) ako samo ako je |y − x| < ε.
Okolina taˇcke x ∈ R je svaki skup koji sadrˇzi otvoreni interval koji sadrˇzi
taˇcku x. Dakle, ako x ∈ (a, b) onda je svaki nadskup skupa (a, b) okolina
taˇcke x. S obzirom da je svaki skup samom sebi nadskup, sledi da je svaki
otvoreni interval koji sadrˇzi taˇcku x okolina te taˇcke. Posebno, za ma koji
broj ε > 0, interval (x − ε, x + ε) je ε−okolina taˇcke x.
Lema 1.1. Ako x ∈ (a, b) onda (a, b) sadrˇzi neku ε−okolinu taˇcke x.
1
2
Dokaz. Neka x ∈ (a, b) i neka je ε = min{b − x, x − a}. Tada za proizvoljan
broj y ∈ (x − ε, x + ε) vaˇzi: y > x − ε ≥ x − (x − a) = a kao i y < x + ε ≤
x + (b − x) = b, pa je (x − ε, x + ε) ⊂ (a, b).
¤
Iz leme 1.1 sledi da je skup S okolina taˇcke x ∈ R ako i samo ako postoji
ε > 0 tako da je (x − ε, x + ε) ⊂ S.
Definicija 1.2. Neka je O ⊂ R. Skup O je otvoren skup u R ako i samo
ako je O okolina svake svoje taˇcke.
Iz dokaza leme 1.1 sledi da je otvoreni interval (a, b) okolina svake svoje
taˇcke. Prema tome, otvoreni intervali u R su otvoreni skupovi u R. Naravno,
nije svaki otvoren skup u R nekakav otvoren interval. Na primer, unija
disjunktnih otvorenih intervala (a, b) sup(c, d), a < b < c < d je otvoren
skup u R koji nije otvoren interval. Primetimo da je cardA = cardR za
svaki otvoren skup A u R.
Teorema 1.3. Date su taˇcke a, b ∈ R. Tada postoje disjunktne okoline tih
taˇcaka.
Dokaz. Neka je a < b. Ako je ε = (b − a)/3 onda iz x ∈ (a − ε, a + ε) sledi
b−a
2a b
a 2b
b−a
=
+ < +
=b−
= b − ε,
3
3
3
3
3
3
pa su (a − ε, a + ε) i (b − ε, b + ε) disjunktne okoline taˇcaka a i b.
x<a+ε=a+
¤
Znaˇcaj kolekcije svih otvorenih skupova skupa R sledi iz naredne teoreme.
Teorema 1.4. Neka je τ = {O ⊂ | O je otvoren skup u R}. Tada je
(R, τ ) topoloˇski prostor.
Dokaz. T.1: ∅ ∈ τ sledi trivijalno. Takod¯e, R ∈ τ jer, na primer (x − 1, x +
1) ∈ R za proizvoljnu taˇcku x ∈ R.
T.2: Neka su O1 , O2 ∈ τ i x ∈ O1 ∩ O2 . Dakle, postoje pozitivni brojevi
ε1 i ε2 tako da vaˇzi: (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂ O1 i (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ O2 . Ako je
ε = min{ε1 , ε2 }, onda vaˇzi (x − ε, x + ε) ⊂ O1 ∩ O2 , pa O1 ∩ O2 ∈ τ .
T.3: Neka je Oλ ∈ τ za proizvoljnu familiju indeksa λ ∈ Λ i neka x ∈
∪λ∈Λ Oλ . To znaˇci da postoji indeks λ0 ∈ Λ takav da je x ∈ Oλ0 . Iz Oλ0 ∈ τ
sledi da postoji ε > 0 tako da vaˇzi: (x − ε, x + ε) ⊂ Oλ0 ⊂ ∪λ∈Λ Oλ pa je
∪λ∈Λ Oλ ∈ τ.
Dakle, (R, τ ) je topoloˇski prostor.
¤
Topologija uvedena na R uz pomo´c otvorenih skupova naziva se uobiˇcajena
topologija na R.
U slede´coj definiciji precizira se odnos neke taˇcke i nekog skupa, pri ˇcemu
se posmatra uobiˇcajena topologija na R.
Definicija 1.5. Neka je A ⊂ R. Taˇcka x ∈ R je unutraˇsnja taˇcka skupa A
ako postoji otvoren skup O tako da vaˇzi x ∈ O ⊂ A. Skup svih unutraˇsnjih
taˇcaka skupa A se oznaˇcava sa A◦ .
3
Taˇcka x ∈ R je adherentna taˇcka skupa A ako svaka okolina taˇcke x ima
neprazan presek sa skupom A. Skup adherentnih taˇcaka skupa A je adheren¯
cija ili zatvaranje skupa A i oznaˇcava se sa A.
Ako svaka okolina taˇcke x ∈ R ima neprazan presek sa skupom A\{x}
onda je x taˇcka nagomilavanja skupa A. Skup svih taˇcaka nagomilavanja
(izvodni skup) skupa A se oznaˇcava sa A0 .
Taˇcka x ∈ R je rubna taˇcka skupa A ako svaki otvoren skup koji je sadrˇzi
ima neprazan presek sa skupom A i sa komplementom skupa A. Skup rubnih
taˇcaka (rub) skupa A oznaˇcava se sa ∂A.
Taˇcka x ∈ R je izolovana taˇcka skupa A ako postoji okolina U taˇcke x
tako da je U ∩ A = {x}.
Iz definicije direktno sledi cardA = cardR za svaki skup A neprazne
unutraˇsnjosti, A◦ 6= ∅, pa samim tim najviˇse prebrojivi skupovi nemaju
nijednu unutraˇsnju taˇcku. Takod¯e svaka taˇcka konaˇcnog skupa je njegova
ˇ
izolovana i njegova rubna taˇcka. Staviˇ
se, ∂N = N. Takod¯e, svaki skup je
podskup svoje adherencije.
ˇ
Citaocu
se ostavlja za veˇzbu da dokaˇze da za svaki skup S ⊂ R vaˇzi:
¯ S ◦ ⊂ S,
¯ S ◦ ∩ ∂S = ∅.
∂S ⊂ S,
Za ilustraciju pokaˇzimo da je S ◦ ∩ ∂S = ∅. Dovoljno je dokazati da iz x ∈
◦
S sledi x 6∈ ∂S. Neka x ∈ S ◦ . Tada postoji ε > 0 tako da je (x−ε, x+ε) ⊂ S.
Dakle, iz y ∈ (x − ε, x + ε) sledi y 6∈ R \ S, pa je (x − ε, x + ε) okolina taˇcke
x u kojoj nema taˇcaka iz R \ S, to jest x 6∈ ∂S. Dakle, S ◦ ∩ ∂S = ∅.
Primer 1.6. Dati su skupovi A = {1/n | n ∈ N}, B = {(−1)n /n | n ∈ N},
C = {1/n | n ∈ N} ∪ {0}. Odrediti unutraˇsnjost, rub, adherenciju, taˇcke
nagomilavanja i izolovane taˇcke datih skupova.
Dokaz. S obzirom da su svi dati skupovi prebrojivi, njihova unutraˇsnjost je
prazan skup.
Neka je (x − ε, x + ε) proizvoljna ε−okolina taˇcke x ∈ A. Osim taˇcke
skupa A (trivijalno, x ∈ A), u njoj se nalaze i elementi komplementa skupa
A. Ovo sledi iz cardA = cardN i card(x − ε, x + ε) = cardR, pa nije mogu´ce
da vavˇzi (x − ε, x + ε) ⊂ A. Dakle, A ⊂ ∂A.
Uz to, 0 ∈ ∂A jer se u proizvoljnom intervalu (−ε, ε) nalazi 0 6∈ A i neki
element skupa A (ovo sledi iz posledice Arhimedovog principa, jer za zadato
ε > 0 postoji 1/n ∈ A takav da je 1/n < ε).
Takod¯e, nijedna taˇcka x 6∈ A ∪ {0} nije rubna taˇcka skupa A. Naime, iz
teoreme 1.3 sledi da postoje disjunktne okoline taˇcke x i proizvoljne taˇcke
skupa A ∪ {0}, pa, dakle, postoji okolina taˇcke x u kojoj nema elemenata
skupa A.
Zakljuˇcak: ∂A = A ∪ {0}.
Iz navedene argumentacije sledi i A¯ = A ∪ {0}, kao i da je 0 jedina taˇcka
nagomilavanja skupa A.
Da je svaka taˇcka skupa A je njegova izolovana taˇcka takod¯e sledi iz
teoreme 1.3.
ˇ
Citaocu
se ostavlja da za veˇzbu ispita skupove B i C.
¤
4
1.3. Tri teoreme u vezi taˇ
caka nagomilavanja. Podsetimo se, x ∈ R je
taˇcka nagomilavanja skupa A ako za svako ε > 0 vaˇzi:
(x−ε, x+ε)∩A\{x} = (x−ε, x+ε)\{x}∩A = ((x−ε, x+ε)∩A)\{x} 6= ∅.
Ekvivalentna definicija taˇcke nagomilavanja (u vidu porebnog i dovoljnog
uslova) je data u slede´coj teoremi.
Teorema 1.7. Taˇcka x ∈ R je taˇcka nagomilavanja skupa A ako i samo
ako u svakoj okolini taˇcke x postoji beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A.
Dokaz. Razumljivo, ako u proizvoljnoj okolini taˇcke x postoji beskonaˇcno
mnogo elemenata skupa A, onda postoji barem jedan element u preseku te
okoline i skupa A \ {x}, pa je x taˇcka nagomilavanja skupa A.
Obratno, ako je x je taˇcka nagomilavanja skupa A i ako je (x − ε, x + ε)
proizvoljna okolina taˇcke x, onda postoji x1 ∈ (x − ε, x + ε) ∩ A \ {x}. Ako
je ε1 = |x − x1 |/3 onda, sa jedne strane x1 6∈ (x − ε1 , x + ε1 ), a sa druge
strane, s obzirom da je x je taˇcka nagomilavanja skupa A, sledi da postoji
x2 ∈ (x − ε1 , x + ε1 ) ∩ A \ {x}. Kako je ε1 < ε, sledi (x − ε1 , x + ε1 ) ⊂
(x − ε, x + ε), pa x2 ∈ (x − ε, x + ε) i x2 6= x1 .
Neka je ε2 = |x − x2 |/3. Vaˇzi: x2 6∈ (x − ε2 , x + ε2 ) i postoji x3 ∈
(x − ε2 , x + ε2 ) ∩ A \ {x}. Kako je ε2 < ε, sledi (x − ε2 , x + ε2 ) ⊂ (x − ε, x + ε),
pa x3 ∈ (x − ε, x + ε) i x3 6∈ {x1 , x2 }.
Nastavljaju´ci navedeni postupak, zakljuˇcujemo da, za svako n ∈ N, postoje med¯usobno razliˇcite taˇcke x1 , x2 , . . . , xn tako da vaˇzi:
{x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ (x − ε, x + ε) ∩ A \ {x}.
Prema tome, za proizvoljno ε > 0, u okolini (x−ε, x+ε) se nalazi beskonaˇcno
mnogo elemenata skupa A, ˇsto je i trebalo da se dokaˇze.
¤
Direktna posledica prethodne teoreme je da konaˇcni podksupovi skupa R
nemaju nijednu taˇcku nagomilavanja.
Teorema 1.8. Skup A ⊂ R je zatvoren skup ako i samo ako A sadrˇzi sve
svoje taˇcke nagomilavanja.
Dokaz. Neka je A zatvoren skup i neka je x njegova taˇcka nagomilavanja.
Pretpostavimo da x 6∈ A, to jest x ∈ R \ A. S obzirom da je R \ A otvoren
skup (jer je A zatvoren), sledi da je on okolina taˇcke x. Dakle, postoji ε > 0
tako da je (x − ε, x + ε) ⊂ R \ A, pa se u toj okolini taˇcke x ne nalazi nijedan
element skupa A, odakle sledi da x nije taˇcka nagomilavanja skupa A. Ovo
je kontradikcija, pa sledi da x ∈ A.
Obratno, neka skup A sadrˇzi sve svoje taˇcke nagomilavanja. Ako R \ A
nije otvoren skup, onda sledi da postoji x ∈ R \ A takav da nijedna okolina
taˇcke x nije sadrˇzana u R \ A. Drugim reˇcima, svaka okolina taˇcke x ima
neprazan presek sa skupom A. S obzirom da x 6∈ A sledi da svaka okolina
taˇcke x ima neprazan presek sa skupom A\{x}, pa je x taˇcka nagomilavanja
skupa A koja mu ne pripada. Ovo je kontradikcija, pa je R \ A otvoren skup,
odnosno A je zatvoren skup.
¤
5
Dakle, svi skupovi koji nemaju taˇcke nagomilavanja su zatvoreni. Tako
su, na primer, svi konaˇcni skupovi zatvoreni. Prema tome, beskonaˇcna kardinalnost je potreban uslov za egzistenciju taˇcke nagomilavanja. Da taj uslov
nije dovoljan pokazuje primer skupa prirodnih brojeva koji je beskonaˇcan
skup ali nijedan realan broj nije njegova taˇcka nagomilavanja.
U slede´coj teoremi navodi se jedan dovoljan uslov za egzistenciju taˇcke
nagomilavanja datog skupa.
Teorema 1.9. (Bolcano-Vajerˇstrasova teorema) Svaki beskonaˇcan i ograniˇcen
podskup skupa R ima barem jednu taˇcku nagomilavanja u R.
Dokaz. Neka je A proizvoljan beskonaˇcan i ograniˇcen podskup skupa R.
Iz ograniˇcenosti sledi da postoji zatvoren interval I1 = [a1 , b1 ] takav da je
A ⊂ [a1 , b1 ].
Posmatrajmo intervale [a1 , (a1 + b1 )/2] i [(a1 + b1 )/2, b1 ]. Jedan od njih
sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A, jer bi u suprotnom skup
A bio konaˇcan. Neka je I2 = [a1 , (a1 + b1 )/2] u skluˇcaju da taj interval
sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A, odnosno I2 = [(a1 + b1 )/2, b1 ]
ako [(a1 + b1 )/2, b1 ] sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A. Dakle,
I2 = [a2 , b2 ] je zatvoren interval izabran tako da sadrˇzi beskonaˇcno mnogo
elemenata skupa A, I2 ⊂ I1 i |I2 | = |I1 |/2, duˇzina intervala I2 jednaka je
polovini duˇzine polaznog intervala.
Posmatrajmo sada intervale [a2 , (a2 + b2 )/2] i [(a2 + b2 )/2, b2 ]. Jedan
od njih sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A, jer bi se u suprotnom u intervalu I2 nalazilo konaˇcno mnogo elemenata skupa A. Neka je
I3 = [a2 , (a2 + b2 )/2] u skluˇcaju da taj interval sadrˇzi beskonaˇcno mnogo
elemenata skupa A, odnosno I3 = [(a2 + b2 )/2, b2 ] ako [(a2 + b2 )/2, b2 ] sadrˇzi
beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A. Dakle, I3 = [a3 , b3 ] je zatvoren interval izabran tako da sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A, I3 ⊂
I2 ⊂ I1 i |I3 | = |I1 |/22 .
Ovaj postupak se nastavlja tako da se za svako n ∈ N izabere zatvoren
interval In takav da sadrˇzi beskonaˇcno mnogo elemenata skupa A, In ⊂
In−1 ⊂ · · · ⊂ I1 i |In | = |I1 |/2n−1 . Niz {In }n∈N je niz umetnutih intervala,
pa iz Kantorovog principa sledi da postoji c ∈ R koji se nalazi u preseku
svih elemenata tog niza.
Preostaje da se dokaˇze da je c taˇcka nagomilavanja skupa A.
Neka je (c − ε, c + ε) proizvoljna okolina taˇcke c. Kako je 2n−1 ≥ n za
sve n ∈ N, to jest 1/2n−1 ≤ 1/n, iz posledice Arhimedovog principa sledi
da postoji n0 tako da je 1/2n0 −1 ≤ 1/n0 < ε/|I1 |. Prema tome, u nizu
umetnutih intervala postoji interval In0 = [an0 , bn0 ] ˇcija je duˇzina manja od
ε. Jasno, c ∈ In0 .
Ako x ∈ [an0 , bn0 ] onda je x−c ≤ bn0 −c ≤ bn0 −an0 < ε, i x−c ≥ an0 −c ≥
an0 − bn0 > −ε, to jest x ∈ (c − ε, c + ε) pa je [an0 , bn0 ] ⊂ (c − ε, c + ε).
Po konstrukciji niza umetnutih intervala, svaki od njih sadrˇzi beskonaˇcno
mnogo taˇcaka skupa A, pa to vaˇzi i za In0 . Kako je In0 ⊂ (c − ε, c + ε)
zakljuˇcujemo da se u proizvoljnoj okolini taˇcke c nalazi beskonaˇcno mnogo
6
taˇcaka skupa A. Na osnovu teoreme 1.7 sledi da je c taˇcka nagomilavanja
skupa A.
¤
Napomena 1.10. U proˇsirenom skupu realnih brojeva R = R ∪ {−∞, +∞}
mogu´ce je definisati okolinu fiktivnih elemenata. Tako je okolina od +∞
svaki skup koji sadrˇzi interval oblika (M, +∞), za neko M ∈ R, a okolina
od −∞ je svaki skup koji sadrˇzi interval oblika (−∞, M ), za neko M ∈ R.
U tom smislu se mogu proˇsiriti topoloˇski pojmovi iz definicije 1.5 na skup
R. Na primer, ∞ je taˇcka nagomilavanja skupa A ⊂ R ako za svako M ∈ R
vaˇzi (M, ∞) ∩ A 6= ∅.
Tako je, na primer, +∞ taˇcka nagomilavanja skupa N. U tom smislu vaˇzi
uopˇstenje Bolcano-Vajerˇstrasove teoreme: Svaki beskonaˇcan podskup skupa
R ima taˇcku nagomilavanja u R.
1.4. Kompaktni skupovi u R. Svojsto kompaktnosti je veoma znaˇcajno
svojstvo skupova u topoloˇskim prostorima, a u skupu realnih brojeva opisuje
se uz pomo´c nekoliko ekvivalentnih uslova. Ovom prilikom je odabrana
uobiˇcajena definicija kompaktnog skupa u R koja je, sa jedne strane u tesnoj vezi sa strukturom skupa realnih brojeva, ali, sa druge strane, nije ekvivalentna definiciji svojstva kompaktnosti u proizvoljnom topoloˇskom prostoru.1
Definicija 1.11. Neprazan podskup skupa R je kompaktan ako i samo ako
je zatvoren i ograniˇcen.
Jasno, svaki konaˇcan skup je kompaktan u R. Ako je kompaktan skup
beskonaˇcan, onda on ima taˇcku nagomilavanja na osnovu Bolcano-Vajerˇstrasove
ˇ
teoreme. Staviˇ
se, svaka taˇcka nagomilavanja kompaktnog skupa pripada
tom skupu. Ovo tvrd¯enje ne´cemo dokazati, a dokaz se moˇze na´ci u Lj.
Gaji´c, Predavanja iz uvoda u analizu, Novi Sad, 2004.
Teorema 1.12. Svaki kompaktan podskup skupa R ima maksimalan i minimalan element.
Dokaz. Neka je K proizvoljan kompaktan posdkup skupa R. Skup K je
ograniˇcen, pa postoje supremum i infimum tog skupa u R. Neka je s = sup K
i i = inf K. Dovoljno je da dokaˇzemo s i i pripadaju skupu K, jer su onda
s i i maksimalni i minimalni element skupa K tim redom.
Dokaˇzimo da s = sup K ∈ K, a ˇcitaocu ostavljamo za veˇzbu da dokaˇze
da i = inf K ∈ K. Dodoljno je da se dokaˇze da nijedan element skupa R \ K
nije supremum skupa K. Neka je y proizvoljna taˇcka skupa R \ K. Skup
R \ K je otvoren, pa je on okolina taˇcke y, to jest postoji ε > 0 tako da je
(y − ε, y + ε) ⊂ R \ K. Dakle, ako x ∈ K onda je x < y − ε. To znaˇci da
je y − ε gornje ograniˇcenje skupa K, pa je s ≤ y − ε < y, jer je s najmanje
gornje ograniˇcenje skupa K. Dakle, y nije supremum skupa K. To znaˇci da
supremum mora da pripada skupu K.
¤
1Viˇ
se detalja ˇcitalac moˇze da nad¯e u M. Kurili´c, Osnovi opˇste topologije, Univerzitet
u Novom Sadu, Novi Sad, 1998.
Download

1. Osnovni topološki pojmovi u R U ovom predavanju skup realnih