Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Hatırlanacağı gibi, analog kontrol sistemlerinde tüm sistemler diferansiyel denklemlerle
modelleniyordu. Bu diferansiyel denklem “Laplace Dönüşümü” yoluyla s karmaşık değişkeninin
cebirsel bir denklemine dönüştürülüp, verilen bir giriş sinyali için sistemin geçici durum cevabı,
kararlılığı ve kalıcı durum cevabı inceleniyordu.
Benzer bir modelleme ve kontrol yaklaşımı sayısal kontrol sistemlerinde de mevcuttur. Sayısal
kontrol sistemleri “Fark Denklemleri” ile modellenir. Daha sonra bu fark denklemleri “zDönüşümü” yoluyla z karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine dönüştürülerek, verilen bir
giriş sinyali için sistemin analizi yapılır.
Bu nedenle sayısal kontrol sistemlerinin analizi ve tasarımında “z-Dönüşümü” önemli bir araçtır ve
analog kontrol sistemlerinde Laplace Dönüşümünün sahip olduğu rolü, sayısal kontrol
sistemlerinde üstlenir.
Bu derste ilk önce z-dönüşümü tanıtılacak ve daha sonra sırasıyla Ters z-Dönüşümü ve fark
denklemlerinin z-dönüşümü yoluyla çözümü anlatılacaktır.
Ayrık-zamanlı sinyaller, bir sürekli-zaman sinyalinde örnekleme işlemi olduğunda ortaya çıkar. T
örnekleme periyodunu göstermek üzere, örneklenmiş sinyal x(0), x(T), x(2T), x(3T), …… şeklinde
bir dizi ile ifade edilir ve bu dizinin genel ifadesi x(kT) şeklindedir. Bu ifade bazen örnekleme
periyodu T yazılmaksızın x(k) şeklinde de gösterilir.
z-DÖNÜŞÜMÜ
Ayrık-zamanlı sinyallerle çalışmak için z-dönüşümü oldukça güçlü bir yöntemdir. Zamanın bir
fonksiyonu olan x(t) fonksiyonunun z-dönüşümü hesaplanırken, bu fonksiyonun sadece her bir T
örnekleme anındaki örneklerini temsil eden x(0), x(T), x(2T), x(3T), …… dizisi göz önünde
bulundurulur.
Bir x(t) fonksiyonunun (ya da onun örneklenmiş halini temsil eden x(kT) dizisinin) z-dönüşümü,
X ( z) 

 x(t )   x(kT )   x(kT ) z  k
k 0
ile tanımlanır. Burada
, z-dönüşüm operatörüdür.
Dikkat edilirse yukarıdaki serinin açılımı,
X ( z)  x(0)  x(T ) z 1  x(2T ) z 2  ....  x(kT ) z  k  ....
şeklindedir.
1
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Temel Bazı Fonksiyonların z-Dönüşümü
Birim Adım Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi
1(t ), t  0
x(t )  
 0, t  0
şeklinde olan birim adım fonksiyonunun z-dönüşümünü hesaplayalım.

X ( z )  [1(t )]  1z
k
k 0

  z k
k 0
 1  z 1  z 2  z 3  ........
Dizilerden hatırlayacağımız üzere, 1+r+r2+r3+… serisi, 1/(1-r) değerine yakınsar (|r|>1 için).
Dolayısıyla yukarıdaki seri 1/(1-z-1)’e yakınsar. Yani,
X ( z )  [1(t )] 
1
z

1
1 z
z 1
Birim Rampa Fonksiyonu: Zaman domenindeki ifadesi
 t, t  0
x(t )  
0, t  0
şeklinde olan birim rampa fonksiyonunun z-dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kT)=kT
dir.
t
2
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi

X ( z )  [t ]   x(kT ) z
k
k 0

  kTz
k
k 0

 T  kz  k
k 0
 T  z 1  2 z 2  3z 3  ........
Dizilerden hatırlayacağımız üzere, r+2r2+3r3+… serisi, r/(1-r)2 değerine yakınsar (|r|>1 için).
Dolayısıyla yukarıdaki seri 1/(1-z-1)’e yakınsar. Yani,
X ( z )  [t ]  T
z 1
1  z

1 2
T
z
 z  1
2
Polinomial Fonksiyon ak: Genel ifadesi
k

a , k  0, 1, 2, 3,...
x(k )  
k 0

 0,
(a sabit) şeklinde olan polinomial fonksiyonun z-dönüşümünü hesaplayalım.
X ( z) 


k 0
k 0
 a k    x(k ) z  k   a k z  k
 1  az 1  a 2 z 2  a 3 z 3  ........
Dizilerden hatırlayacağımız üzere, 1+r+r2+r3+… serisi, 1/(1-r) değerine yakınsar (|r|>1 için).
Dolayısıyla yukarıdaki seri 1/(1-az-1)’e yakınsar. Yani,
X ( z )  [1(t )] 
3
1
z

1  az 1 z  a
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Üstel Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi
 at
e , t  0
x(t )  
 0, t  0
(a sabit) şeklinde olan üstel fonksiyonun z-dönüşümünü hesaplayalım. Dikkat edilirse, x(kT)=e-akT
dir
X ( z) 
e
 at

   x(kT ) z
k 0
k

  e  akT z  k
k 0
 1  e aT z 1  e 2 aT z 2  e3aT z 3  ........
Dizilerden hatırlayacağımız üzere, 1+r+r2+r3+… serisi, 1/(1-r) değerine yakınsar (|r|>1 için).
Dolayısıyla yukarıdaki seri 1/(1-e-aTz-1)’e yakınsar. Yani,
X ( z) 
1
z
e at  

1  e aT z 1 z  e aT
Sinüsoidal Fonksiyon: Zaman domenindeki ifadesi
sin t ,
x(t )  
 0,
t0
t0
şeklinde olan sinüsoidal fonksiyonun z-dönüşümünü hesaplayalım. Bunun için önce Euler’in
kulaklarını çınlatalım:
e jt  cos t  j sin t
e jt  cos t  j sin t
Bu durumda
sin t 
1
e jt  e jt 
2j
olur. Üstel fonksiyonun z-dönüşümünün
4
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
1
e at  
 aT 1
1 e z
olduğunu zaten biliyoruz. Bu durumda sinüsoidal fonksiyonun z-dönüşümü şu şekilde bulunur:
 1 jt
 j t 
e

e



2
j


1 
1
1





2 j  1  e jT z 1 1  e  jT z 1 
X ( z )  [sin t ] 
e jT  e  jT  z 1

1

2 j 1   e jT  e  jT  z 1  z 2
z 1 sin T
z sin T
[sin t ] 

1  2 z 1 cos T  z 2 z 2  2 z cos T  1
Ör: Zaman domenindeki ifadesi
cos t , t  0
x(t )  
t0
 0,
olarak verilen kosinüs fonksiyonunun z-dönüşümünü hesaplayınız.
C: Sinüsoidal fonksiyonun z-dönüşümünün hesaplanmasına benzer bir yaklaşım kullanırsak:
X ( z )  [cos t ] 
1
2
e jt  e  jt 
1
1
1

 

jT 1
 jT 1 
2 1 e z
1 e
z 
 jT
 e jT  z 1
1 2  e

2 1   e jT  e  jT  z 1  z 2
1  z 1 cos T
z 2  z sin T
[cos t ] 

1  2 z 1 cos T  z 2 z 2  2 z cos T  1
olarak bulunur.
5
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ör: Frekans domenindeki ifadesi
X ( s) 
1
s( s  1)
olarak verilen fonksiyonun z-dönüşümünü hesaplayınız.
C: Frekans domenindeki ifadesi verilmiş bir fonksiyonun z-dönüşümünü bulmak için gennellikle bu
frekans domeni ifadesi önce zaman domenine çevrilir ve daha sonra bu zaman domenindeki
fonksiyonun z-dönüşümünü hesaplanır. Soruda verilen fonksiyonun zaman domeni ifadesi
x(t )  1  et
şeklindedir. Zaman domenindeki bu fonksiyonun z-dönüşümünü ise
X ( z) 

1
1
1  e  t  

1  z 1 1  e T z 1
1  eT z 1  z 1
1  z 1  e z 
1 e  z


 z  1  z  e 
1
T
1
T
T
olarak bulunur. 
Tıpkı Laplace Dönüşümü için, yaygın olarak kullanılan bazı fonksiyonların Laplace dönüşümlerini
içeren bir “Laplace Dönüşüm Tablosu” oluşturulduğu gibi, benzer şekilde z-dönüşümü için de,
yaygın olarak kullanılan bazı fonksiyonların z-dönüşümünü gösteren bir “z-Dönüşümü Tablosu”
oluşturulabilir. Aşağıda bu tablo görülmektedir. Tabloda ayrıca bazı fonksiyonların hem Laplace
Dönüşümü hem de z-Dönüşümü gösterilmiştir.
6
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
7
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
8
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
z-Dönüşümünün Bazı Önemli Özellikleri ve Teoremleri
Bir Sabitle Çarpma: X(z), x(t)’nin z-dönüşümü ve a bir sabit olmak üzere,
ax(t )  a  x(t )  aX ( z)
Doğrusallık: X(z), x(k)’nın (ya da x(t)’nin) z-dönüşümü ve a ve b bir sabit olmak üzere, x(k)
fonksiyonu
x(k )  af (k )  bg (k )
şeklinde 2 (ya da daha fazla) fonksiyonun toplamı şeklinde bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
X ( z)  aF ( z)  bG( z)
olur. Burada F(z) ve G(z), sırasıyla f(k) ve g(k) fonksiyonlarının (dizilerinin) z-dönüşümleridir.
ak ile Çarpma: X(z), x(k)’nın z-dönüşümü ve a bir sabit olmak üzere,
a k x(k )  X  a 1z 
İspat:


k 0
k 0
a k x(k )    a k x(k ) z  k   x(k )  a 1z 
k
 X  a 1z 
Reel Öteleme Teoremi: X(z), x(t)’nin z-dönüşümü ve n bir pozitif tamsayı ya da sıfır olmak üzere,
 x(t  nT )  z n X ( z)
ve
n 1


 x(t  nT )  z  X ( z)   x(kT ) z  k 
k 0


n
Bu teoremin ispatını yapabilir misiniz? 
9
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
X(z), x(kT)’nin z-dönüşümünü göstermek üzere, X(z)’i z ile çarpmak, x(kT)’yi bir örnekleme
periyodu ileriye taşımak demektir. Benzer şekilde X(z)’i z-1 ile çarpmak, x(kT)’yi bir örnekleme
periyodu geciktirmek demektir. Buna ilişkin basit bir örneğe bakalım:
Ör: Birim adım fonksiyonunun aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sırasıyla 1 örnekleme periyodu ve 4
örnekleme periyodu geciktirilmiş formunun z-dönüşümünü bulunuz.
C: Birim adım fonksiyonunun z-dönüşümünün
[1(t )] 
1
z

1  z 1 z  1
olduğunu biliyoruz. Bu fonksiyonu 1 örnekleme periyodu geciktirmek demek, örnekleme periyodu
T’nin değerinden bağımsız olarak fonksiyonun z-dönüşümünü z-1 ile çarpmak demektir. Yani,
[1(t  T )]  z
1
1
z 1
[1(t )]  z

1  z 1 1  z 1
1
olur. 4 örnekleme periyodu kaydırıldığında ise
[1(t  4T )]  z
4
10
z 4
[1(t )] 
1  z 1
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun z-dönüşümünü bulunuz.
k 1

a , k  1, 2, 3,...
f (k )  
k 0

 0,
C: Polinomial fonksiyonun z-dönüşümünün
1
 a k  
1  az 1
olduğunu biliyoruz. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun 1 örnekleme periyodu geciktirilmiş
halidir. Bu nedenle
 a
k 1
  z
1
z 1
a  
1  az 1
k
Kompleks Öteleme Teoremi: X(z), x(t)’nin z-dönüşümü olmak üzere,
e at x(t )  X  zeaT 
İspat:

e x(t )    x(kT )e
 at
k 0
 akT
z
k

  x(kT )  ze aT 
k 0
k
 X  ze aT 
Ör: e at sin t ve e at cos t fonksiyonlarının z-dönüşümünü bulunuz.
C: sin t fonksiyonunun z-dönüşümünün
z 1 sin T
[sin t ] 
1  2 z 1 cos T  z 2
olduğunu biliyoruz. Soruda verilen fonksiyon, bu fonksiyonun e-at ile çarpılmış halidir. Bu nedenle
e
 at
e aT z 1 sin T
sin t  
1  2e aT z 1 cos T  e2 aT z 2
ve benzer şekilde
e
 at
1  e aT z 1 cos T
cos t  
1  2e aT z 1 cos T  e2 aT z 2
Alıştırma: te at fonksiyonunun z-dönüşümünü bulunuz.
11
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Başlangıç Değer Teoremi: X(z), x(t)’nin z-dönüşümü ve x(0) ise x(t)’nin veya x(k)’nın başlangıç
koşulu olmak üzere,
x(0)  lim X ( z )
z 
İspat: z-dönüşümünün tanımına göre;

X ( z )   x(k ) z  k  x(0)  x(1) z 1  x(2) z 2  .....
k 0
Yukarıdaki denklemde z yerine sonsuz konursa sadece x(0) terimi kalır ve diğer bütün terimler sıfıra
eşit olur. x(0) ise X(z)’in başlangıç değeridir.
Ör: Aşağıda verilen X(z) fonksiyonunun başlangıç değerini bulunuz.
1  e  z
X ( z) 
1  z 1  e
T
1
1
T
z 1 
C: Başlangıç Değer Teoremi kullanılırsa;
1  e  z
x(0)  lim
1  z 1  e
T
z 
1
1
T
z 1 
0
Dikkat edilirse soruda verilen X(z) fonksiyonu, daha önce bir örnekte zaman domenindeki
x(t )  1  et fonksiyonunun z-dönüşümü olarak elde ettiğimiz fonksiyondur. Zaman domenindeki
bu x(t )  1  et fonksiyonunun başlangıç değeri (t=0 için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu
şekilde de test edilebilir. Diğer bir önemli ayrıntı, Başlangıç Değer Teoreminin ancak ve ancak
lim X ( z ) limitinin mevcut olması durumunda kullanılabilmesidir.
z 
12
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Son Değer Teoremi: X(z), x(t)’nin z-dönüşümü ve x(∞) ise x(t)’nin veya x(k)’nın son değeri olmak
üzere,
lim x(k )  x()  lim 1  z 1  X ( z ) 
k 
z 1
Teoremin ispatı öğrenciye bırakılmıştır. Bu teorem ancak ve ancak X(z)’in bütün kutuplarının birim
çember (yarıçapı 1 birim olan çember) içersinde olması ve yukarıdaki limitin mevcut olması
durumunda uygulanabilir.
Ör: Aşağıda verilen X(z) fonksiyonunun son değerini bulunuz.
X ( z) 
1
1

, a0
1  z 1 1  e aT z 1
C: Son Değer Teoremi kullanılırsa;
x()  lim 1  z 1  X ( z ) 
z 1

1
 1

 lim 1  z 1  


1
z 1
1  e  aT z 1  
1 z


1  z 1 
 lim 1 
1
 aT 1 
z 1
1

e
z


Dikkat edilirse soruda verilen X(z) fonksiyonu, zaman domenindeki x(t )  1  e at fonksiyonunun zdönüşümü olan fonksiyondur. Zaman domenindeki bu x(t )  1  e at fonksiyonunun son değeri
(t=∞ için) sıfıra eşittir. Sonucun doğruluğu bu şekilde de test edilebilir. 
Tıpkı Laplace Dönüşümünün önemli özelliklerinin ve teoremlerinin bir tabloda toplu halde
gösterilmesi gibi, z-dönüşümünün de önemli özellikleri ve teoremleri aşağıdaki gibi bir tabloda
toplu halde gösterilebilir.
13
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
14
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
TERS z-DÖNÜŞÜMÜ
Ters z-Dönüşümü, verilen bir X(z) için x(k) ya da x(kT)’yi bulmaya yarar. Dikkat edilirse Ters zDönüşümü zaman domeni sinyali olan x(t)’yi bulmaz, sadece onun örnekleme anlarındaki değerleri
olan x(kT)’yi bulur. Aşağıdaki grafikten de görüleceği üzere birbirinden oldukça farklı iki sinyal,
örnekleme anlarında aynı değerlere sahip olabilir.
Hatırlanacağı üzere Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırken, ilgili fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılıp
her bir terim, Laplace Dönüşüm Tablosundaki terimlere benzetilmek suretiyle, verilen fonksiyonun
Ters Laplace Dönüşümü bulunuyordu. Benzer bir yaklaşım Ters z-Dönüşümünü hesaplarken de
kullanılabilir. Ancak z-domenindeki fonksiyon karmaşıklaştıkça bu yöntemi kullanmak da zorlaşır,
bazen kullanılamaz. Bu nedenle Ters z-Dönüşümünü hesaplamak için ek bazı yöntemlere ihtiyaç
vardır Bu alt bölümde bu yöntemler tanıtılacaktır. Ancak bu yöntemlerin tanıtılmasından önce,
kısaca z-domeninde kutuplar ve sıfırlardan bahsedelim.
15
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Mühendislik uygulamalarında X(z) genellikle z’in pozitif üstleri cinsinden
X ( z) 
b0  z  z1  z  z2    z  zm 
 z  p1  z  p1    z  pn 
şeklinde ifade edilir. Burada zi’ler (i=1, 2, 3, …… , m) X(z)’in sıfırları ve pj’ler (j=1, 2, 3, …… , n) X(z)’in
kutuplarıdır. Sinyal işleme ve kontrol mühendisliği uygulamalarında ise X(z) genellikle z’in negatif
üstleri cinsinden
b0 z  ( nm )  b1 z  ( nm1)   bm z  n
X ( z) 
1  a1 z 1  a2 z 2    an z  n
şeklinde yazılır, zira z-1 bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü olarak yorumlanır. Bu ders
boyunca biz her iki gösterim türünü de kullanacağız. Çünkü her bir gösterim türünün belli işlemler
için avantajları ve dezavantajları mevcuttur. Örneğin X(z)’in kutuplarını ve sıfırlarını bulmak için z’in
pozitif üstlerini kullanmak daha uygundur. Bunun nedenini basit bir örnekle açıklayalım:
Aşağıdaki fonksiyonu göz önünde bulunduralım;
X ( z) 
z 2  0.5 z
z ( z  0.5)

2
z  3z  2 ( z  1)( z  2)
Açıkça görüleceği üzere X(z) z=-1 ve z=-2 noktalarında kutuplara ve z=0 ile z=-0.5 noktalarında
sıfırlara sahiptir. Şimdi aynı fonksiyonu z’in negatif üstleri cinsinden yazalım. Payı ve paydayı z-2 ile
çarparsak,
X ( z) 
1  0.5 z 1
1  0.5 z 1

1  3z 1  2 z 2 1  z 1 1  2 z 1 
elde ederiz. Bu denklemden de X(z)’in z=-1 ve z=-2 noktalarında kutuplara sahip olduğunu buluruz.
Ancak bu denklemde görülebilen tek sıfır, z=-0.5 noktasındaki sıfırdır. Yani z=0 noktasındaki sıfır bu
denklemden bulunamaz. Bu durum tasarım hatasına sebep olabilir. Bu nedenle kutuplar ve sıfırlar
bulunurken, X(z)’i z’in pozitif üstleri cinsinden yazmak gerekir.
Bu kısa açıklamadan sonra, şimdi Ters z-Dönüşümünün bulunması için kullanılan yöntemlere
geçebiliriz.
16
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Genel olarak, Ters z-Dönüşümünün hesaplanması için 4 farklı yöntemden bahsedilebilir:




Doğrudan Bölme Yöntemi
Hesaplamalı Yöntem
Kısmi Kesirlere Ayrıma Yöntemi
Ters İntegral Yöntemi
Doğrudan Bölme Yöntemi: Bu yöntem, verilen bir X(z) fonksiyonunun Ters z-Dönüşümü olan
x(k)’nın sadece ilk birkaç terimini bulmak gerektiği zaman kullanışlıdır, x(k)’nın genel ifadesini
bulmak için genelde pek kullanılmaz. Yöntemi uygulayabilmek için, verilen X(z) fonksiyonunun payı
ve paydası z’in negatif üstlerine göre yazılır. Daha sonra fonksiyonun payı paydasına bölünür!
Bölme işlemi sonucu elde edilen ifadenin terimleri x(0), x(1), x(2), …… değerlerini verir.
Örnek olarak aşağıdaki fonksiyonu göz önünde bulunduralım:
X ( z) 
10 z  5
( z  1)( z  0.2)
Doğrudan Bölme Yöntemi ile bu fonksiyonun Ters z-Dönüşümünü bulmak için, önce fonksiyonun
payını ve paydasını z’in negatif kuvvetleri cinsinden yazalım:
X ( z) 
10 z 1  5 z 2
1  1.2 z 1  0.2 z 2
Sonra da aşağıdaki gibi klasik bölme işlemi yapalım:
17
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Bölme işleminin sonucunda elde edilen ifadeye göre;
X ( z)  10 z 1  17 z 2  18.4 z 3  18.68z 4  ......
şeklindedir. Şimdi z-dönüşümünü tanımlayan seriyi hatırlayalım:

X ( z )   x(k ) z  k  x(0)  x(1) z 1  x(2) z 2  ......  x(k ) z  k  ......
k 0
Dolayısıyla son iki denklem karşılaştırıldığında,
x(0)  0
x(1)  10
x(2)  17
x(3)  18.4
x(4)  18.68
olduğu görülür. Yani zaman domenindeki sinyalin örneklenmiş halini temsil eden dizide ilk beş
terimin değeri bulunuş olur. Daha önce de vurgulandığı gibi yöntem, sadece belli sayıda örneğin
değerini hesaplamak yoluyla Ters z-Dönüşümü yapar. Serinin bütün terimlerinin değerlerini bulmak
için, bazı özel durumlar dışında, pek kullanılmaz.
Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters z-Dönüşümünü doğrudan bölme yöntemi ile bulunuz.
X ( z) 
1
z 1
C: Verilen fonksiyonu z’in negatif üstlerine göre yazıp, doğrudan bölme işlemi yaparsak;
z 1
X ( z) 
 z 1  z 2  z 3  z 4  ..........
1
1 z

elde ederiz. Yine bu seriyi, X(z)’in seri açılımı olan X ( z )   x(k ) z  k serisi ile karşılaştırırsak;
k 0
x (0)  0
x(1)  1
x(2)  1
x(3)  1
x(4)  1
.
.
.
18
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
olduğunu görürüz. Dolayısıyla bu fonksiyonun Ters z-Dönüşümünü, grafiği aşağıda görülen bir
alternatif sinyaldir.
Alıştırma: Aşağıda verilen fonksiyonun Ters z-Dönüşümünü bulunuz.
X ( z )  1  2 z 1  3z 2  4 z 3
Hesaplamalı Yöntem: Bir sistemin transfer fonksiyonunun
G( z ) 
Y ( z)
0.4673z 1  0.3393z 2

X ( z ) 1  1.5327 z 1  0.6607 z 2
olduğunu düşünelim. z-domenindeki bir transfer fonksiyonunun Ters z-Dönüşümünü hesaplamalı
yöntemle bulmak için giriş, X(z), olarak Kronecker Delta Fonskiyonu  0 (kT ) kullanılır. Bu
fonksiyonun genel ifadesi
1, k  0
0, k  0
 0 (kT )  
şeklindedir. Bu fonksiyonun z-dönüşümü ise
X ( z)  1
şeklindedir. Dolayısıyla bu durumda çıkış,
0.4673z 1  0.3393z 2
0.4673 z  0.3393
Y ( z) 
 2
1
2
1  1.5327 z  0.6607 z
z  1.5327 z  0.6607
olur. Bu noktadan itibaren, Ters z-Dönüşümünün hesaplanması için 2 alternatif söz konusudur:
19
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
a. MATLAB
b. Fark Denklemi Yaklaşımı
a. MATLAB ya da başka herhangi bir paket program kullanılarak Ters z-Dönüşümü şu şekilde
hesaplanır (sarı zeminli satırlar MATLAB kodlarını ve onların çıktılarını göstermektedir): Öncelikle
Kronecker Delta Fonksiyonu, MATLAB ortamında aşağıdaki gibi tanıtılır:
x=[1
zeros(1,N)]
Burada N, örnek sayısıdır. Yani çıkışın ters z-dönüşümünün kaç örnek için hesaplanacağını belirler.
Daha sonra ters z-dönüşümü alınacak fonksiyonun pay ve payda polinomları tanıtılır.
pay = [0
payda = [1
0.4673
-0.3393]
-1.5327
0.6607]
“filter” fonksiyonu ise, çıkışın ters z-dönüşümünü, x tanımlanırken belirtilen örnek sayısı kadar
hesaplar.
filter(pay,payda,x)
Örneğin aşağıdaki kod parçası, yukarıda verilen Y(z) fonksiyonunun ters z-dönüşümünü 40 örnek
için hesaplar:
x=[1
zeros(1,40)] ;
pay = [0
payda = [1
0.4673
% Kronecker Delta girisinin tanımlanması
-0.3393] ;
-1.5327
0.6607] ;
filter(pay,payda,x)
% pay polinomunun tanımlanması
% payda polinomunun tanımlanması
% ters z-dönüşümünün hesaplanması
Bu kod çalıştırıldığında, aşağıdaki çıktıyı üretir:
20
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Yani Y(z) fonksiyonunun ters z-dönüşümü,
y (0)  0
y (1)  0.4673
y (2)  0.3769
y (3)  0.2690
.
.
.
y (40)  0.0001
şeklindedir.
y(k)’nın, k’ya göre değişimi çizdirilmek istenirse, koda aşağıdaki satır eklenir ve sonuçta şekildeki
gibi bir grafik elde edilir.
plot(y,k)
21
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
b. Fark Denklemi Yaklaşımı
Daha önce örnek olarak verilen
G( z ) 
Y ( z)
0.4673z  0.3393
 2
X ( z ) z  1.5327 z  0.6607
denklemi, içler-dışlar çarpımı yoluyla aşağıdaki şekilde yazılabilir:
z
2
 1.5327 z  0.6607  Y ( z)   0.4673z  0.3393 X ( z)
Dersin başlarında, z-1’in bir örnekleme periyodu geciktirme operatörü, z’in ise bir örnekleme
periyodu ileri öteleme operatörü olarak yorumlandığını söylemiştik. Dolayısıyla bu denklem,
aşağıdaki gibi “Fark Denklemi” formunda yazılabilir:
y(k  2)  1.5327 y(k  1)  0.6607 y(k )  0.4673x(k  1)  03393x(k )
Giriş Kronecker Delta fonksiyonu olduğu için, x(0)  1 ve k  0 için x(k )  0 dır. Çıkış için ise k  0
için y(k )  0 dır. Giriş ve çıkış için bu hatırlatmalar göz önünde bulundurularak, y (0) ve y (1)
değerleri, k’ya değer verilerek kolaylıkla bulunabilir. Eğer bu denklemde k  2 değeri verilirse,
y(0)  1.5327 y(1)  0.6607 y(2)  0.4673x(1)  0.3393x(2)
olur. x(k ) ve y (k ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler göz önünde bulundurulduğunda
y(0)  0
bulunur. Eğer bu denklemde k  1 değeri verilirse,
y(1)  1.5327 y(0)  0.6607 y(1)  0.4673x(0)  0.3393x(1)
olur. x(k ) ve y (k ) için yukarıda hatırlatılan bilgiler göz önünde bulundurulduğunda
y(1)  0.4673
bulunur. Artık bundan sonra y (k ) ’nın diğer değerleri, herhangi bir programlama dili ya da paket
program kullanılarak bir for döngüsü içinde (ya da el ile) hesaplanabilir. Program yazılırken
kullanılacak denklem ve gerekli başlangıç koşulları aşağıda özetlenmiştir.
y(k  2)  1.5327 y(k  1)  0.6607 y(k )  0.4673x(k  1)  03393x(k )
y(0)  0, y(1)  0.4673, x(0)  1, ve k  0 için x(k )  0.
22
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Tıpkı Ters Laplace Dönüşümünde olduğu gibi, Ters zDönüşümünde de Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi oldukça yaygın olarak kullanılır. Ancak metodun
uygulanabilmesi için, z-domenindeki fonksiyonun, z-dönüşüm tablosundaki çiftlere benzetilebilir
olması gerekmektedir. Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi, Ters Laplace Dönüşümü anlatılırken
detaylandırıldığı için burada tekrar detaylarıyla açıklanmayacaktır. Ancak Laplace Dönüşümündeki
detaylara ek olarak, z-dönüşümünde kısmi kesirlere ayırma yönteminin kullanılmasına ilişkin ek bir
detay, z-domenindeki fonksiyonun orijinde bir sıfır içermesi halinde ortaya çıkar. Genellikle zdomeninde orijinde bir ya da birden çok sıfır içeren X(z) gibi bir fonksiyonun Ters z-Dönüşümü
X ( z)
hesaplanırken önce
kısmi kesirlerine ayrılır, daha sonra elde edilen ifade z ile çarpılarak
z
X(z)’in kısmi kesirlere ayrılmış hali elde edilir. Bu yaklaşım çoğu zaman kısmi kesirlere ayırma
işlemini kolaylaştırmakla beraber, uygulanması bir zorunluluk değildir.
Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üzere, aşağıda verilen fonksiyonun ters zdönüşümünü bulunuz.
1  e  z
X ( z) 
 z  1  z  e 
 aT
 aT
C: Fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış hali:
X ( z)
1
1


z
z  1 z  e aT
Bu durumda,
X ( z) 
1
1

1
 aT 1
1 z
1 e z
Her bir terimin ters z-dönüşümü:
1
 1 
1  z 1   1
1
ve
1


 akT

1  e aT z 1   e
Sonuç olarak, verilen fonksiyonun ters z-dönüşümü:
x(kT )  1  e akT ,
k  0, 1, 2,.....

Bu örnekte verilen fonksiyonun kısmi kesirlere ayrılmış halini, z-dönüşümü tablosundaki çiftlere
z2  z  2
benzetmek kolaydı. Bir de şunu deneyin: X ( z ) 
.
( z  1)  z 2  z  1
23
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ters İntegral Yöntemi: Verilen bir X ( z ) fonksiyonunun ters z-dönüşümünü bulmak için kullanılan
integral
1
 X ( z)  x(kT )  x(k ) 
1
2 j 
C
X ( z ) z k 1dz
şeklindedir. Burada C, merkezi z-düzleminin orijininde olan ve X ( z ) z k 1 ’in tüm kutuplarını
çevreleyen çemberdir. Bu integralin doğrudan hesabı yerine, kompleks değişkenli fonksiyonlar
teorisinin argümanları kullanılarak, aşağıdaki gibi hesaplanır:
x(kT )  x(k )  K1  K 2    K m
m
   X ( z ) z k 1 'in z  zi kutbundaki rezidüleri 
i 1
Burada K1 , K2 , ............, Km değerleri, X ( z ) z k 1 çarpımının z1 , z2 , ............, zm kutuplarındaki
rezidüleridir. Yani kaç tane kutup varsa o kadar rezidü vardır.
Rezidülerin nasıl bulunacağını aslında Kısmi Kesirlere Ayırma yönteminden biliyoruz. Örneğin
X ( z ) z k 1 ’in z  zi noktasında katlı olmayan bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin rezidü
K  lim  z  zi  X ( z ) z k 1 
z  zi
formülüyle bulunur. Eğer X ( z ) z k 1 ’in z  z j noktasında q katlı bir kutbu varsa, bu kutba ilişkin
rezidü ise
q
1
d q 1 
K
lim q 1  z  z j  X ( z ) z k 1 

 q  1! zz j dz 
formülüyle hesaplanır. Tüm bu denklemlerde k, negatif olmayan bir tam sayıdır.
Verilen herhangi bir X ( z ) fonksiyonunun ters z-dönüşümü hesaplanırken, eğer X ( z ) z k 1 , orijinde
yani z=0 noktasında bir kutup içermiyorsa, bu X ( z ) fonksiyonunun ters z-dönüşümü Ters İntegral
Metodu ile daha kolay bulunabilir. Ancak eğer X ( z ) z k 1 , orijinde katlı ya da katlı olmayan kutup
içeriyorsa bu durumda Ters İntegral Metodu aşırı hesap yükü gerektirir ve Kısmi Kesirlere Ayırma
yöntemi daha kolay ve görece daha az zahmetli sonuç verir.
Örneklere bakalım:
24
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ör: a bir sabit ve T örnekleme periyodu olmak üzere, aşağıda verilen fonksiyonun ters zdönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunuz.
1  e  z
X ( z) 
 z  1  z  e 
 aT
 aT
C: Öncelikle X ( z ) z k 1 ifadesine bakalım:
1  e  z

 z  1  z  e 
 aT
X ( z) z
k 1
k
 aT
k=0, 1, 2, …. için X(z)zk-1 ifadesi iki adet katlı olmayan kutba sahiptir: z=1 ve z=e-aT. Dolayısıyla iki
tane de rezidü olacaktır. Bunları bulalım:
x(k )  K1  K 2
 1  e aT  z k


 
'in
z

z
kutbundaki
rezidüleri
i
 aT
z

1
z

e



i 1 



2
Birinci rezidü:
K1   z  1 noktasındaki rezidü 

1  e  aT  z k 

 1
 lim ( z  1)
z 1
 z  1  z  e aT  

İkinci rezidü:
K 2   z  e  aT noktasındaki rezidü 

1  e  aT  z k 

 aT
 z  e 
  e  aT
 lim
 aT

aT
z e
 z  1  z  e  

Bu durumda, verilen fonksiyonun ters z-dönüşümü:
x(k )  x(kT )  K1  K2  1  e aT ,
k  0, 1, 2, 3,......
(Aynı örneği kısmi kesirlere ayırma yöntemi ile de çözmüştük).
25
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun ters z-dönüşümünü Ters İntegral Yöntemi ile bulunuz.
X ( z) 
z2
 z  1
2
z e 
 aT
C: Öncelikle X ( z ) z k 1 ifadesine bakalım:
X ( z) z
k 1
z k 1

 z  1  z  e aT 
k=0, 1, 2, …. için X(z)zk-1 ifadesi: z=z1= e-aT noktasında bir adet katlı olmayan kutba ve z=z2=1
noktasında iki katlı bir kutba sahiptir. Dolayısıyla iki tane rezidü olacaktır. Bunları bulalım:
x(k )  K1  K 2


z k 1

 
'in
z

z
kutbundaki
rezidüleri
i
 aT

i 1   z  1  z  e


2
Birinci rezidü:
K1   z  e  aT noktasındaki rezidü 


z k 1
e  a ( k 1)T
 aT
 z  e 

 lim
z e aT
 z  1  z  e aT   1  e aT 2

İkinci rezidü:
K 2   z  1 noktasındaki iki katlı rezidü 

1
d 
z k 1
2

lim  z  1
 aT
(2  1)! z 1 dz 
z

1
z

e






d  z k 1 
 lim 

z 1 dz z  e  aT



k
 aT
k 1 

d  (k  1) z  z  e   z 
k
e  aT
 lim


z 1 dz 
 aT 2
 1  e  aT 1  e  aT 2
z

e




Bu durumda, verilen fonksiyonun ters z-dönüşümü:
x(k )  x(kT )  K1  K 2 
e a ( k 1)T
1  eaT 
2
k
e aT


,
1  e aT 1  e aT 2
26
k  0, 1, 2, 3,......
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Fark Denklemlerinin z-Dönüşümü ile Çözümü
Daha önce vurgulandığı gibi sürekli zamanda sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir.
Örneğin u(t) giriş ve y(t) çıkış olmak üzere, bir sistemin diferansiyel denklemi
d 2 y (t )
dy (t )
2
 5 y (t )  1.4u (t )
dt
dt
olsun. Bu diferansiyel denklemi çözmek demek, verilen bir u(t) girişi için, y(t)’nin ifadesini bulmak
demektir. Laplace Dönüşümü Yöntemi, yukarıdaki gibi doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümü
için oldukça yaygın olarak kullanılır.
Benzer şekilde, ayrık zaman sistemleri Fark Denklemleri ile modellenir. Örneğin u(k) giriş ve x(k)
çıkış olmak üzere, ayrık zamanlı bir sistemi modelleyen fark denkleminin genel ifadesi
x(k )  a1x(k  1)  .........  an x(k  n)  b0u (k )  b1u (k  1)  ........  bnu (k  n)
şeklindedir. Bu fark denklemini çözmek demek, verilen bir u(k) girişi için, x(k) çıkışının k’ıncı
iterasyondaki değerini bulmak demektir. Herhangi bir programlama dilinde ya da paket programda
yazılmış bir kod ile, bu x(k) değeri bulunabilir. Ancak bilgisayar programı ile x(k)’nın genel ifadesini
bulmak, bazı özel durumlar haricinde, pek mümkün değildir. z-Dönüşümü Yöntemi, ayrık zamanlı
doğrusal sistemleri modelleyen fark denklemlerini çözmek için yaygın olarak kullanılır. Bu yöntem
çıkışın genel ifadesini de verir.
Daha önce yaptığımız gibi,
 x( k )   X ( z )
x(k  1), x(k  2), x(k  3),.....
terimleri
ve
x(k  1), x(k  2), x(k  3),..... terimleri X(z) cinsinden, başlangıç koşulları da göz önünde
bulundurularak, ifade edilebilir. Bu terimlerin z-dönüşümleri, daha önce z-Dönüşüm Tablosunda
verilmişti, aşağıda tekrar hatırlatılmıştır.
olarak
gösterelim.
Bu
durumda
Tablonun hemen ardından, fark denklemlerinin z-dönüşümü ile çözülmesine ilişkin bir örnek
sunulmuştur.
27
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ör: Aşağıda verilen fark denklemini z-dönüşümü yöntemiyle çözünüz.
x(k  2)  3x(k  1)  2 x(k )  0,
x(0)  0,
x(1)  1
C: Terimlerin her birinin z-dönüşümünü yazalım:
 x(k  2)  z 2 X ( z )  z 2 x(0)  zx(1)
 x(k  1)  zX ( z )  zx(0)
 x(k )   X ( z )
Verilen fark denkleminin her iki tarafının z-dönüşümü alınırsa:
z 2 X ( z )  z 2 x(0)  zx(1)  3zX ( z )  3zx(0)  2 X ( z )  0
Başlangıç koşulları için verilen değerler yerine yazılırsa:
X ( z) 
z
z
z
z
1
1





z 2  3z  2 ( z  1)( z  2) z  1 z  2 1  z 1 1  2 z 1
28
Sayısal Kontrol Sistemleri
Dr. Uğur Hasırcı
Düzce Üniversitesi
Ters z-dönüşümü alınırsa:
 1 
k
1  z 1   (1)
1 
1 
k

(

2)

1
1  2 z 
1
olduğundan, soruda verilen fark denkleminin çözümünün genel ifadesi,
x(k )  (1)k  (2)k ,
şeklinde olur.
29
k  0, 1, 2,.....
Download

( ) () ( ) ( ) k X z x t x kT x kT z = = ( ) (0) ( ) (2 ) .... ( ) .... X z x x T z x T