BIBLID 0350–1426 (206) 41:4 p. 43–48
OdReĐIVANje
kORelACIje IzmeĐu tOPlOtNOg
kAPACItetA I OsNOVNIh
teRmOdINAmIčkIh VelIčINA stANjA
PRImeNOm dIfeReNCIjA dRugOg RedA
Prof. dr BRANKO B. PEjOvIĆ, prof. dr MILORAD v. TOMIĆ,
dr vLADAN M. MIĆIĆ, Tehnološki fakultet Zvornik, Univerzitet u
Istočnom Sarajevu, Republika Srpska
U radu je, polazeći od osnovnih zakona
termodinamike i karakterističnih funkcija napisanih
u diferencijalnom obliku, koristeći osobine funkcija
više promenljivih, izvedena diferencijalna jednačina
zavisnosti specifičnog toplotnog kapaciteta od
osnovnih termodinamičkih veličina stanja u opštem
obliku. Izvedena diferencijalna jednačina drugog
reda, rešena je metodom numeričkog diferenciranja,
odnosno primenom integralnog računa, pri čemu
je dobijeni izvod zamenjen konačnim diferencijama
drugog reda. Diferencije drugog reda dobijene su na
bazi diferencija prvog reda.
Jednačina je primenjena na jednom karakterističnom
primeru iz prakse u oblasti realnih gasova. Rešenje
jednačine, koje predstavlja zavisnost specifičnog
toplotnog kapaciteta od pritiska, na efikasan način,
dobijeno je preko tablica diferencija, sastavljenih
na osnovu termodinamičkih tabela za određeni uži
temperaturni interval. Tačnost dobijenog rešenja
proverena je analitičkim obrascem koji je izveden na
bazi aproksimacije izvoda funkcije.
Na kraju rada su date mogućnosti primene izvedene
zavisnosti u oblasti termodinamike realnih gasova i
para
KLjUČNE REČI: diferencijalne jednačine termodinamike;
karakteristične funkcije; funkcije više
promenljivih; specifični toplotni kapacitet;
osnovne veličine stanja; realni gasovi i pare;
konačne diferencije prvog i drugog reda;
numeričko diferenciranje; tablica diferencija
DETERMINATION OF
CORRELATION BETwEEN
THERMAL CAPACITy AND
FUNDAMENTAL THERMODyNAMIC
vALUES OF THE STATE By
USING THE SECOND ORDER
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Based on the fundamental laws of thermodynamics
and characteristic functions expressed in the form of
differential equations, and using the characteristics
of the functions of several variables, a differential
equation was derived for the correlation of the
specific thermal capacity and the fundamental
thermodynamics values in the general form.
The derived differential equation of the second
order was solved by the method of numerical
differentiation, or by applying the integral calculus,
whereby the obtained derivative of function was
replaced with the finite second order differential
equations. The second order differential equations
were obtained on the basis of the first order
differential equations. The equation was applied to
a characteristic example from practice in the field
of real gases. The solution of the equation, which
represents the correlation of the specific thermal
capacity and pressure, was efficiently obtained
using the tables of differentials, composed on the
basis of thermodynamic tables for the specific
narrow temperature interval. The obtained solution
accuracy was verified by the analytical form derived
on the basis of approximation of derivative function.
Finally, the paper also presents the possibilities of
the application of the derived correlation in the field
of thermodynamics of real gases and vapours
KEy wORDS: differential equations of
thermodynamics; characteristic
functions; functions of several
variables; specific thermal capacity;
fundamental values of state; real
gases and vapours; finite differential
equations of the first and second
order; numerical differentiation;
differential tables
43
4 • 2012
kgh
1. Uvod
Pored klasičnog načina određivanja međusobnih termodinamičkih odnosa, metod takozvanih karakterističnih funkcija ima znatno širi značaj. Suština utemeljenja ovog metoda
je dokazivanje da među razmatranim veličinama stanja i njihovim kombinacijama, postoje takve koje imaju jedno posebno svojstvo. Ono se ogleda u činjenici da, kada se data
veličina stanja (ako ona predstavlja karakterističnu funkciju)
izrazi preko tačno određenih drugih veličina stanja, parcijalni izvod po jednoj od ovih veličina stanja, kada druga ostaje
nepromenjena, daje neku od veličina stanja [1–3].
Postoje četiri karakteristične funkcije i to: unutrašnja energija (u), entalpija (h), slobodna energija (f) i termodinamički potencijal (φ).
Značaj metoda karakterističnih funkcija je prvenstveno u
mogućnosti analize svojstava različitih supstanci.
Na bazi karakterističnih funkcija postavljaju se osnovne diferencijalne relacije termodinamike. Mogućnosti koje se pojavljuju njihovom daljom analitičkom razradom predstavljaju
moćno sredstvo za istraživanje i nalaženje konkretnih svojstava najraznovrsnijih sistema. To može da se tvrdi zbog
toga što se odnosi koji se iskazuju kroz diferencijalne relacije zasnivaju na neoborivom univerzalnom principu – Zakonu o održanju i transformaciji energije [2–4]. Na taj način
se i dodatno ukazuje na to da, ako je poznata neka, bilo
koja, karakteristična funkcija izražena preko dve odgovarajuće, a da su pri tome poznate te dve veličine stanja, sve
ostale veličine stanja sistema mogu biti određene preko diferencijalnih relacija.
Korišćenjem matematičkih transformacija moguće je sastavljanje velikog broja diferencijalnih odnosa i povezivanje
različitih fizičkih svojstava termodinamičkog sistema [4–6].
Diferencijalne relacije, kao i jednačine koje se pomoću njih
dobijaju, omogućavaju da se neko od svojstava sistema
izučava posredstvom diferencijalne relacije nekih drugih
njegovih svojstava. Zbog toga se diferencijalne relacije široko koriste da se izbegnu veličine koje neposredno nisu merljive (ili ako je njihovo merenje otežano) [2, 4, 6].
Veliki praktični značaj termodinamičkih odnosa sastoji se
u tome što oni omogućavaju da se skrati količina potrebnih podataka o fizičkim svojstvima supstanci, u slučajevima
kada se ta svojstva dobijaju neposredno iz eksperimenta.
Drugim rečima, otkriva se mogućnost određivanja pojedinih
veličina čisto računskim putem.
U slučajevima kada se već raspolaže podacima o raznim fizičkim veličinama, koje su na nezavisan način dobijene, diferencijalne jednačine omogućavaju da se proveri njihova
usaglašenost i otkriju moguće greške pri merenju ili obradi
rezultata merenja [2, 6, 7, 8, 9].
2. Izvođenje glavne jednačine problema
U nastavku će biti izvedena korelacija između specifičnog
toplotnog kapaciteta cp i osnovnih veličina stanja. Do rešenja je moguće doći polazeći od različitih karakterističnih
funkcija, dok će u radu biti prikazana jedna metoda koja nije
uobičajena u literaturi.
Elementarna količina toplote dq može se izraziti kao [5, 10,
11, 12, 13, 14]:
dq = T·ds
dq = c·dT
(1)
Za p = const., prema relacijama (1) sledi da je:
(T·ds)p = cp·(dT)p
(2)
Odavde specifični toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku biće:
kgh 4 • 2012
44
 ∂s 
cp = T ⋅  
 ∂T p
(3)
Diferenciranjem relacije (3) po pritisku, pri T = const, dobijamo da je [16, 17]:
 ∂ 2s 
 ∂ 2s 
 ∂c p 
 = T ⋅ 


 = T ⋅ 
 ∂p T
 ∂T ⋅ ∂p p,T
 ∂p ⋅ ∂T T,p
(4)
U relaciji (4) primenjena je osobina funkcije dve promenljive z = z(x, y), gde važi da je:
∂ 2z
∂ 2z
=
,
∂x ⋅ ∂y ∂y ⋅ ∂x
s obzirom da entropija ima totalni diferencijal.
Relacija (4) može se pisati kao:
 ∂c p 
∂  ∂s 

 = T⋅
 
∂
∂
p
T  ∂p T,p

T
(5)
U dobijenoj relaciji, parcijalni izvod:
 ∂s 
 
 ∂p T
biće eliminisan, postupkom koji sledi, s obzirom da je entropija nemerljiva veličina [6, 8, 10, 11, 12].
Termodinamički potencijal, po definiciji je:
φ = h – T·s
(6)
Eliminisanjem specifične entalpije h = u + p · v, iz relacije
(6) dobija se da je:
φ=u+p·v–T·s
(7)
Diferenciranjem relacije (7) biće:
dφ = du + p · dv + v · dp – T · ds – s · dT
(8)
Diferencijalni oblik I i II zakona termodinamike je:
dq = du + p · dv = T · ds
(9)
Promena unutrašnje energije du, u relaciji (8), biće eliminisana prema relaciji (9):
du = T · ds – p · dv
odnosno zamenom u (8):
dφ = T · ds – p · dv + p · dv + v · dp –
– T · ds – s · dT
(10)
Odavde sledi da je:
dφ = v · dp – s · dT
(11)
Diferenciranjem izraza (11) pri T = const. i p = const.,
biće:
 ∂φ 
  =v
 ∂p T
 ∂φ 
 ∂T  = −s
 p
(12)
Diferenciranjem jednačina (12) pri p = const. i T = const,
dobija se [17–19]:
 ∂φ 
 ∂s 
 ∂v 
 ∂T  =  ∂p ⋅ ∂T  −  ∂p  =
 p 
T,p  T
 ∂φ 
 ∂φ 
=

 =
 ∂T ⋅ ∂p p,T  ∂p ⋅ ∂T T,p
(13)
Ovde je iskorišćena jedna od osobina funkcija dveju promenljivih [16, 18, 19].
Sada poređenjem relacija (13) očigledno sledi da je:
 ∂s 
 ∂v 
 ∂T  = −  ∂p 
 p
 T
 ∂s 
 ∂v 
→   = − 
 ∂T p
 ∂p T
a) diferentni količnik unapred:
(14)
Zamenom drugog izraza (14) u (5), specifični toplotni kapacitet cp dobiće se u zavisnosti od osnovnih veličina stanja
(p, v, T), u diferencijalnom obliku:
 ∂c p 
∂  ∂v 

 = −T ⋅
p
T  ∂T p
∂
∂

T
(15)
Odavde se dobija da je konačno:
 ∂c p 

 = −T ⋅
 ∂p T
U oblasti numeričkog diferenciranja, aproksimacije prvog
izvoda funkcije u opštem slučaju mogu se uzeti kao (sl. 2)
[16, 17, 20, 21]:
D+ f(x) =
f ( x + ∆x ) − f(x)
∆x
(21)
Ovaj količnik se odnosi na tačku koja se nalazi između tačaka 2 i 3;
b) diferentni količnik unazad:
f(x) − f ( x − ∆x )
∆x
D- f(x) =
(22)
Ovaj količnik se odnosi na tačku koja se nalazi između tačaka 1 i 2;
 ∂ 2v 
 2 
 ∂T p
(16)
što predstavlja glavnu diferencijalnu jednačinu problema.
Jednačinu (16) moguće je rešiti različitim matematičkim
metodama, zavisno od konkretnih uslova problema.
U radu će biti prikazano da ju je moguće rešiti za posebne
uslove, metodom diferencija drugog reda. Metoda će u nastavku biti kratko opisana a zatim primenjena na posebnom
primeru iz prakse.
c) centralni diferentni količnik:
Do f(x) =
f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x )
2 ⋅ ∆x
(23)
koji se odnose na tačku 2. Prema tome, preko relacije (23)
može se aproksimirati prvi izvod funkcije u tački 2 na sredini intervala 1–3, konačnim razlikama odnosno diferencijama prvog reda.
f(x)
3. Metoda konačnih diferencija drugog reda
Diferencije (razlike) prvog reda, po definiciji su (sl. 1) [18,
20, 21, 22]:
Δy1 = y2 – y1; Δy2 = y3 – y2; …; Δyn–1 = yn – yn–1
(17)
3
f(x + Δx)
Razlike prethodnih razlika su diferencije drugog reda:
2
f(x – Δx)
2
Δ y1 = Δy2 – Δy1; Δ y2 =
= Δy3 – Δy2; …; Δ2yn–1 = Δyn – Δyn–1
2
f(x)
1
(18)
Diferencijama (17) i (18), odgovaraju količnici diferencija:
∆y1
∆x
∆y 2
∆x
∆ 2 y1
∆x 2
∆yn-1
∆x
...
∆2y2
...
∆x 2
(19)
∆ 2 yn-2
∆x 2
(20)
Očigledno, pri ovome korak Δx je konstantan.
y2
y = f(x)
3
2
Δy2
x2
x3
xn
(24)
∆x 2
Ovde je (Δx)2 = Δx2 = Δx· Δx.
Prema prethodnom, prvi i drugi izvod neke funkcije y = f(x),
za datu tačku A (sl. 3), mogu se aproksimirati konačnim razlikama odnosno diferencijama:
Δx
x
x1
f ( x + ∆x ) − 2 ⋅ f(x) + f ( x − ∆x )
Prema tome, drugi izvod u tački 2 na sredini intervala 1–3,
može se aproksimirati konačnim razlikama odnosno diferencijama drugog reda.
1
Δx
0
x1
Slika 2. Aproksimacija prvog i drugog izvoda funkcije konačnim
diferencijama
Df(x) =
N
Δy1
y1
x
Aproksimacija drugog izvoda uzima se kao:
y
yn
y3
0
x2
x3
xn
Slika 1. Definicija diferencija prvog i drugog reda
y 2 − y1  ∆y 
 dy 
 dx  = 2 ⋅ ∆x ≈  ∆x 
 A

A
 d2 y 
y − 2y A + y 2  ∆ 2 y
≈ 2
 2  = 1
 ∆x
∆x 2
 dx  A

(25)


A
(26)
45
4 • 2012
kgh
Pri ovome, količnik diferencije (25), je približno mera uspona krive f(x) u posmatranom intervalu, ili tačno, mera uspona tetive krive 12 . Što je interval Δx manji, to je tačnija
približna vrednost uspona krive.
ϑ [m3/kg]
p
B1
1
=
co
ns
t.
C1
y
y1
2
co
n
C2
=
A1
B2
=
p3
2
α
p
A
y3
y2
st
.
t
t.
ns
co
α
A2
1
Δx
x1
x2
A3
x
x3
Δt
Slika 3. Izračunavanje prvog i drugog izvoda funkcije metodom
numeričkog diferenciranja u proizvoljnoj tački A
4. Primena izvedene jednačine na
jednom praktičnom primeru
Δt
t [°C]
0
t2
t1
t3
Slika 4. Principijelna zavisnost specifične zapremine od
temperature za vodu pri različitim pritiscima
Za širi interval pritisaka (p = 1 ÷ 150 bar), prema [13 i 15],
data je tabela 1 za specifičnu zapreminu v [m3/kg] prema
temperaturnom intervalu t = 10 ÷ 30 °c. Pri ovome razlika
temperatura je Δt = 10 °c. Očigledno, zbog veće tačnosti
vrednosti u tabeli date su na sedam decimala.
3
Tabela 1. Specifična zapremina vode [m /kg] u zavisnosti od
temperature i pritiska
st.
Jedan od praktičnih problema u oblasti realnih gasova i
para je određivanje zavisnosti specifičnog toplotnog kapaciteta vode od pritiska na osnovu tabličnih podataka o specifičnoj zapremini.
con
0
ϑ [m3/kg]
p=
Δx
C3
B3
3
ϑ3
Δϑ2
2
ϑ2
Δϑ1
ϑ1
1
Broj
Temperatura,
t [oC]
Pritisak, p [bar]
1
1
10
0,0010003
0,0009992
0,0009980
0,0009959
0,0009936
2
20
0,0010018
0,0010009
0,0009995
0,0009975
0,0009953
3
30
0,0010044
0,0010033
0,0010021
0,0010000
0,0009978
Δt
25
50
100
150
Prema tabeli 1 na slici 4 je data principijelna zavisnost specifične zapremine od temperature za vodu pri različitim pritiscima.
Ako na slici 4 izdvojemo jednu krivu zavisnosti specifične
zapremine od temperature (slika 5), za tačke 1, 2 i 3 prema tebeli 1, mogu se odrediti količnici diferencija prvog i
drugog reda.
Diferencije prvog reda prema slici 5, odnosno prema poglavlju 3, glase:
Δv1 = v2 – v1
Δv2 = v3 – v2
(27)
Količnici ovih diferencija su:
∆v1 v 2 − v1
=
∆t
∆t
∆v 2 v 3 − v 2
=
∆t
∆t
(28)
kgh 4 • 2012
46
t2
t3
Količnik diferencije drugog reda biće, prema poglavlju 3:
∆ 2 v1
∆t
2
=
∆v 2 − ∆v1
∆t
2
=
∆v 2
∆t
2
−
∆v1
∆t
2
=
1  ∆v 2 ∆v1 
⋅
−
∆t  ∆t
∆t 
(30)
Ovde je uzeto u obzir da je Δt2 = Δt · Δt.
Koristeći postavljene relacije (28 ) za pritisak p = 1 bar, količnici diferencija prvog reda, prema tabeli 1 biće:
∆v1 v 2 − v1 0, 0010018 − 0, 0010003
=
=
= 0, 00000015
10
∆t
∆t
∆v 2 v 3 − v 2 0, 0010044 − 0, 0010018
=
=
= 0, 00000026
10
∆t
∆t
Na isti način prema relaciji (30) količnik diferencija drugog
reda biće:
∆t
(29)
t1
Slika 5. Principijelna zavisnost specifične zapremine od
temperature pri p = const. za vodu
∆ 2 v1
Diferencija drugog reda biće:
∆ 2v1 = ∆v 2 − ∆v1
0
t [°C]
Δt
2
1  ∆v 2 ∆v1 
=
⋅
−
∆t  ∆t
∆t 
1
=
(0, 00000026 − 0, 00000015) = 0, 000000011
10
=
odnosno nakon integraljenja:
Pri ovome interval temperature je Δt = 10 °c.
Prema tome, diferencije drugog reda izračunavaju se na
bazi diferencija prvog reda.
Ovako izračunate vrednosti unosimo u tabelu 2, pri čemu
vodimo računa, zbog preglednosti, da vrednosti ΔV/Δt
budu na sredini temperaturnog intervala. Isto tako vrednost
Δ2V/Δt2, unosimo na sredini intervala ΔV/Δt. Kao što se vidi,
sastavljanje tablice diferencija je relativno jednostavno.
Ovaj postupak je ponovljen za preostale pritiske p = 25, 50,
100 i 150 bar. Pri tome, treba zapaziti da su za određivanje
diferencija prvog reda neophodne dve tačke, a za određivanje diferencija drugog reda tri tačke u dijagramu (slika 5).
Kontrolu dobijenih rezultata možemo izvršiti koristeći analitičke zavisnosti (25) i (26), za p = 1 bar:
∆v1 v 2 − v1 v 2 − v1
=
=
= 0, 00000015
∆t
∆t
∆t
2⋅
2
Pri tome, intervali 12 odnosno 13 podeljeni su na dva intervala Δt/2 prema sl. 5, odnosno slici 3:
v1 − 2 ⋅ v 2 + v 3
=
∆t ⋅ ∆t
∆t
0, 0010003 − 2 ⋅ 0, 0010018 + 0, 0010044
=
10 ⋅ 10
2
∆ 2v
∆t
2
=
 ∂ 2v 
c p = c po − To ⋅  2  ⋅ (p − po )
 ∂T 

p
(36)
Za specifični toplotni kapacitet pri to = 20 oc i po = 1 bar za
vodu, može se uzeti da je:
cpo = 4182 J/kgK [5, 15]
Pri ovome, očigledno je da je temperatura t0 na sredini intervala temperatura 10–30°c, prema tabelama 1 i 2.
 ∂ 2v 
∆ 2v ∆ 2v
, ⋅ 10−8 [m3 /kgK 2 ]
= 2 ≈ 11
 2  ≈
2
∆t
 ∂T p ∆T
Za ovaj interval, prema (36), pri čemu je To = 273 + 20 =
293 K, zavisnost specifičnog toplotnog kapaciteta od pritiska s obzirom da je po = 1 bar = 105 N/m2 biće:
odnosno:
cp = 4182 – 3,223 · 10–6 · (p – 105) [J/kgK]
= 0, 000000011
(37)
gde je p [N/m2].
Očigledno su dobijeni isti rezultati primenom dva nezavisna metoda.
Za posmatrani slučaj kada je T = To = const., jednačina (16)
može se napisati u obliku:
 ∂ 2v 
= −To ⋅  2 
 ∂T 
dp
p

dc p
(31)
odnosno:
Na primer, za pritisak p = 50 bar = 50 · 105 N/m2 specifični
toplotni kapacitet biće prema (37):
cp = 4182 – 3,223 · 10–6 · (50 · 105 – 105) =
= 4166 [J/kgK]
Na isti način za interval pritisaka p = 80 ÷ 150 bar, takođe
prema tabeli 2, biće:
 ∂ 2v 
∆ 2v
3
2
−8
 2  ≈ 2 = 0, 8 ⋅ 10 [m /kgK ]
 ∂T p ∆t
odnosno:
 ∂ 2v 
dc p = −To ⋅  2  ⋅ dp
 ∂T 
p

(32)
Integriranjem jednačine (32) od početnog stanja (cpo, po),
do proizvoljnog krajnjeg stanja, biće:
cp
p
 ∂ 2v 
dc
=
−
T
⋅
∫ p
∫  2  dp
po  ∂T p
c po
(33)
Za posmatrani slučaj, kao što je pokazano prema tabeli 2,
za širi interval pritisaka je:
 ∂ 2v 
 2  = const.,
 ∂T  p
 ∂ 2v 


po
(38)
2
gde je p [N/m ].
Principijelna zavisnost cp od p, prema analitičkim relacijama (37) i (38), prikazana je na slici 6, u linearnom obliku.
Očigledno da specifični toplotni kapacitet cp blago opada sa
porastom pritiska p.
Prikazani postupak dat je za neku temperaturu To = const.,
koja se nalazi na sredini posmatranog intervala, ali ga je
moguće primeniti i za neku drugu proizvoljnu temperaturu.
Može se pokazati, da se bez značajne greške za ceo interval pritisaka p = 1–150 bara, može u obrascu za cp operisati sa srednjom vrednošću za oba intervala,
Zaključak
p
∫ dcp = −To ⋅  ∂T2  ⋅ ∫ dp
cp = 4182 – 2,344 · 10–6· (p – 105) [J/kgK]
 ∂ 2v 
−8
3
2
 2  = 0, 95 ⋅ 10 [m /kgK ]
 ∂T p
pa jednačina (33) dobija jednostavniji oblik:
c po
ili konačno:
cp = 4182 – 293 · 1,1 · 10–8 · (p – 105) [J/kgK]
Kontrola rezultata za ostale pritiske može se izvršiti na isti
način.
cp
(35)
Koristeći metodu interpolacije, (tabele 1 i 2), može se pokazati da je količnik diferencije Δ2v/Δt2 ≈ const., do pritiska p ≈
80 bar. Prema tome, za interval pritisaka p = 1 ÷ 80 bar, (tabela 2), odnosno prema teoriji približnog računanja je:
∆v 2 v 3 − v 2 v 3 − v 2
=
= 0, 00000026
=
∆t
∆t
∆t
2⋅
2
∆ 2v
 ∂ 2v 
c p − c po = −To ⋅  2  ⋅ (p − po )
 ∂T 

p
(34)
Koristeći diferencijalne odnose termodinamike, kao što
je pokazano, može se doći do kvantitativnih veza među
47
4 • 2012
kgh
Tabela 2. Tablica diferencija za računski primer
p = 1 bar
t[oC]
v[m3/kg]
10
20
30
0,0010003
0,0010018
0,0010044
t[oC]
v[m3/kg]
10
20
30
0,0009992
0,0010007
0,0010033
t[oC]
v[m3/kg]
10
20
30
0,0009980
0,0009995
0,0010021
t[oC]
v[m3/kg]
10
20
30
0,0009958
0,0009975
0,0010000
t[oC]
v[m3/kg]
10
20
30
0,0009936
0,0009953
0,009978
Δv/Δt
0,00000015
0,00000026
Δ2v/Δt2
0,00000015
0,00000026
Δ2v/Δt2
0,00000015
0,00000026
0,00000017
0,00000025
0,00000017
0,00000025
Prikazana metoda, iako spada u aproksimativne metode,
ukoliko se ispravno sprovodi, u mnogim slučajevima daje
zadovoljavajuće rezultate. Pri tome posebnu pažnju treba
obratiti kod koraka Δt.
0,000000011
Δ2v/Δt2
0,000000008
Δ2v/Δt2
Primenjena metoda diferencija drugog reda spada u savremene metode i pogodna je za rešavanje složenih termodinamičkih zavisnosti, u obliku diferencijalnih jednačina
drugog reda. Metoda se zasniva na sastavljanju tablica diferencija, što omogućuje brzo, efikasno i jednostavno rešavanje problema, kao i mogućnost primene računara.
Pri primeni metode, zbog dobijanja tačnijih rezultata, treba
koristiti tablice sa većim brojem decimalnih mesta od uobičajenih, s obzirom da diferencije nižeg reda znatno utiču
na diferencije višeg reda. Isto tako, korak odnosno razmak
funkcije u tablici, treba uzimati što je moguće manji, kako bi
se dobili što tačniji rezultati.
Tablice diferencija pored toga što omogućuju pregledno odnosno direktno rešavanje diferencijalnih jednačina, mogu
poslužiti za utvrđivanje toka istraživane funkcije bez njenog
detaljnog ispitivanja, preko znaka prve i druge diferencije.
U posmatranom slučaju, sve prve i druge diferencije na celom ispitivanom području su pozitivne, što znači da je kriva
na slici 5 monotono rastuća i konkavna.
Prikazanu metodu moguće je primeniti u mnogim oblastima
realnih gasova i para za koje postoje odgovarajuće termodinamičke tablice. Primena je moguća i u slučajevima kada
je diferencijalna jednačina problema višeg reda od drugog.
Tada se primenjuju diferencije višeg reda koje se određuju
proširenjem prikazane tablice diferencija. Diferencije višeg
reda zahtevaju korišćenje više polaznih karakterističnih tačaka istog koraka.
48
Literatura
[1]
[2]
[3]
[4]
0,000000008
različitim fizičkim osobinama realnih gasova i para, što
omogućuje i kvalitativnu analizu različitih konkretnih termodinamičkih problema. U prikazanom primeru, laboratorijsko
određivanje specifičnog toplotnog kapaciteta, kao reprezenta spoljnih uticaja, zamenjeno je analitičkim izračunavanjem, koristeći izvedenu relaciju dobijenu na bazi tablica
koje povezuju osnovne veličine stanja, što može imati praktični značaj.
kgh 4 • 2012
Slika 6. Zavisnost specifičnog toplotnog kapaciteta od pritiska
za računski primer
Δ2v/Δt2
p = 150 bar
Δv/Δt
p [bar]
Isto tako, diference drugog reda moguće je primeniti i za rešavanje različitih problema u termodinamici i termotehnici,
na primer u oblasti provođenja toplote.
p = 100 bar
Δv/Δt
cp= cp0 – a · p
0,000000011
p = 50 bar
Δv/Δt
cp [J/kg°C]
0,000000011
p = 25 bar
Δv/Δt
cp0
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
Abbott, M. M., H.C. van Ness, Thermodynamics,
Schaum,s Outline Series, Mc grow‑Hill, Book co., New
York, 1976.
Baehr, H.,D., Thermodynamik (3. Aufl), Springer‑Verlag, Berlin, 1973.
Michael, j. M. Howard N. S., Fundamentals of Engi‑
neering Thermodynamics, Wiley, New York, 1999.
Doering, E., H. Schedwill, M. Dehl, Grundlagen der
Technischen Thermodynamik (5. Aufl.), Teubner, Stuttgart, 2005.
Литвин, А. М., Техническая термодинамика, Госенергоиздат, Москва, 1983.
Đorđević, B., v. valent, š. šerbanović, Termodinami‑
ka sa termotehnikom, TMF, Beograd, 2007.
Kozić, Đ., Termodinamika – inženjerski aspekti, MF, Beograd, 2009.
Bejan, A., Advanced Engineering Thermodynamics,
John Wiley and Sons, New York, 1997.
wood, B., Application of Thermodynamics, Addison –
Wesley Publishing company, London, 1982.
Sander, S., Chemical and Engineering Thermodynami‑
cs, John Wiley and Sons, New York, 1999.
Szargut,j., Thermodynamika, PWN, Warszawa, 1988.
Kortüm, G., Einführung in die Chemische Thermodyna‑
mik, Verlag chemie, Weinhcim, 1981.
judajev, B., Tehničeskaja termodinamika, Teploperedača, VŠ, Moskva, 1988.
Marguand, C., Thermofluids, An Integrated Approach to
Thermodynamics and Fluid Mechanics Principles, John
Wiley and Sons, New York, 1994.
Вукалович, М. П., Таблици термодинамических
својств вади и водянова пара, Госенергоиздат,
Москва, 1983.
Allendoerfer, C. B., C. O. Oakley, Principles of mathe‑
matics, VDK, London, 1983.
Hardy, G. H., A course of pure mathematics, cambirdge, 1980.
Mitrinović, D., Funkcije više promenljivih, Naučna knjiga, Beograd, 2002.
Merrit, F. S., Applied Mathematics in Engineering Prac‑
tice, Mcgraw Hill, New York, 1970.
Ljaško, N. N., Matematičeskij analiz v primerah, VŠ, Kijev, 1972.
Kudrjavcev, L., Matematičeskij analiz, VSK, Moskva,
1989.
Fihtengolc, G., Kurs diferencilnogo i integralnogo isči‑
slenija, Fizmatgiz, Moskva, 1992.
kgh
Download

određivanje korelacije između toplotnog kapaciteta i osnovnih