ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNDEN
SÖNÜMLÜ EN KÜÇÜK KARELER TERS-ÇÖZÜM YÖNTEMİ İLE
S-DALGA HIZLARININ HESAPLANMASI
KENAN YANIK
JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI
ANKARA
2006
Her Hakkı Saklıdır
Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR danışmanlığında, Kenan YANIK tarafından hazırlanan
“Yüzey Dalgası Dispersiyon Verilerinden Sönümlü En Küçük Kareler Ters-Çözüm
Yöntemi İle S-Dalga Hızlarının Hesaplanması” adlı tez çalışması 27/07/2006
tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS tezi olarak
kabul edilmiştir.
Başkan: Prof.Dr.Fatma ERDOĞAN
Üye
: Prof.Dr. Ahmet T. BAŞOKUR
Üye
: Yrd.Doç.Dr. M. Emin CANDANSAYAR
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr.Ülkü MEHMETOĞLU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNDEN
SÖNÜMLÜ EN KÜÇÜK KARELER TERS-ÇÖZÜM YÖNTEMİ İLE
S-DALGA HIZLARININ HESAPLANMASI
Kenan YANIK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman : Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR
Yüzey dalgasının dispersiyon özellikleri kullanılarak yeraltındaki tabakaların fiziksel
özelliklerini saptamak mümkündür. Özellikle tabakaların S dalga hızının bilinmesi
katmanların sağlamlığı hakkında doğrudan bilgi sağladığından mühendislik yapıları için
önemlidir. Bu amaçla, Rayleigh yüzey dalgasının faz hızları, Kırılma Mikrotremor
Yöntemi ile ölçülen sismik kayıtlardan elde edilebilir ve dispersiyon eğrileri olarak
adlandırılır. Bu eğrilerin ters çözümü ile sığ katmanların sağlamlığı hakkında gerekli
bilgiye ulaşılır. Bu amaca yönelik olarak, Kırılma Mikrotremor Yöntemi özetlenmiş ve
dispersiyon eğrilerinin 1B ters çözümü için bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Ters
çözüm yöntemi olarak ağırlıklı sönümlü en küçük kareler yöntemi kullanılmış ve
yöntem yapay modeller ve arazi verileri üzerinde uygulanmıştır.
2006, 100 Sayfa
Anahtar Kelimeler : Yüzey dalgası, Dispersiyon, Rayleigh dalgası, S-dalga hızı, Faz
hızı, Mikrotremor, Ters çözüm, Modelleme
i
ABSTRACT
M.Sc. Thesis
ESTIMATING S-WAVE VELOCITIES FROM SURFACE-WAVE DISPERSION
DATA USING DAMPED LEAST-SQUARES INVERSION
Kenan YANIK
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Geophysical Engineering
Supervisor: Prof. Dr. Ahmet T. BAŞOKUR
The physical characteristics of subsurface layers can be estimated from the propagation
properties of the surface waves. The determination of the S-wave velocities has specific
importance for civil engineering purposes in the design of earthquake resistant
structures. Because, the S-wave velocity provides a direct information about strenght
of subsurface layers. For this purpose, the Rayleigh wave phase velocities can be
derived from the Refraction Microtremor Method that consists of noise measurements
by using seismic refraction equipment in order to obtain corresponding dispersion
curve. First, Refraction Microtremor Method is summarized and then the suggested
algorithm and computer program for the one-dimensional inversion of dispersion curves
are presented. The weighted damped least-squares inversion method is applied to
synthetic models and field data in order to test the validation of the suggested algorithm.
2006, 100 pages
Key Words: Surface wave, Dispersion, Rayleigh wave, S-wave velocity, Phase
velocity, Microtremor, Inversion, Modelling
ii
TEŞEKKÜRLER
Tezin oluşmasında fikir, katkı ve yönlendirmelerinden dolayı danışmanım Sayın Prof.
Dr. Ahmet T. BAŞOKUR’a, teşekkürlerimi sunarım.
Gerekli kaynaklara ulaşmam konusunda kütüphanesinden yararlandığım Afet İşleri
Genel Müdürlüğü’ne ve MTA Genel Müdürlüğü’ne, tez çalışmalarıma yeterli zaman
ayırmam konusunda katkı sağlayan Sayın Yıldız İRAVUL’a (Afet İşl. Gen. Md.),
fikirleriyle katkı sağlayan iş arkadaşım Timur TEZEL’e (Afet İşl. Gen. Md.) ayrıca tez
süresince her türlü destek, fikir ve motivasyonu esirgemeyen değerli iş arkadaşım Bengi
ERAVCI’ya (Afet İşl. Gen. Md.), bu tezin başlamasından tamamlanmasına kadar her
aşamasında yanımda olan destek, görüş ve fikirleriyle başarıya ulaşmamı sağlayan
değerli eşim Derya N. YANIK’a teşekkürlerimi sunarım.
Kenan YANIK
Ankara, Temmuz 2006
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................i
ABSTRACT.....................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR....................................................................................................................iii
SİMGELER DİZİNİ........................................................................................................v
ŞEKİLLER DİZİNİ......................................................................................................vii
ÇİZELGELER DİZİNİ..................................................................................................ix
1.GİRİŞ.............................................................................................................................1
2. KIRILMA MİKROTREMOR YÖNTEMİ...............................................................2
2.1 SASW ve MSAW Teknikleri ...................................................................................8
2.2 ReMi Yöntemi............................................................................................................9
2.3 ReMi Yönteminde Sismik Kırılma Ekipmanının Kullanılması..........................10
2.4 Hız Spektral Analizi (p-f)........................................................................................13
2.5 Rayleigh Faz Hızı Dispersiyonunun İşaretlenmesi...............................................18
3. YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNİN MODELLENMESİ.........20
3.1 Jeofizikte Modelleme...............................................................................................20
3.1.1 Jeofizikte model türleri........................................................................................21
3.2 Dispersiyon Eğrilerinin Modellenmesi..................................................................22
4. YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNİN TERS ÇÖZÜMÜ.............24
4.1 Çakışma Ölçütü ve Parametre Ayırımlılığı...........................................................24
4.2 Doğrusal Olmayan Problemlerin Ters Çözümü...................................................25
4.2.1 Gauss-Newton yöntemi ile ters çözüm................................................................26
4.2.2 Sönümlü en küçük kareler yöntemi ile ters çözüm...........................................29
4.3 Ağırlık Katsayılarının Hesaplanması....................................................................32
5. MATERYAL VE YÖNTEM....................................................................................36
6. TERS ÇÖZÜM UYGULAMALARI.......................................................................38
6.1 Yapay Veri İçin Modelleme....................................................................................39
6.1.1 Derinlikle artan hız modeli ve yapay verisi........................................................40
6.2 Arazi Verisi Uygulaması.........................................................................................43
7. TARTIŞMA VE SONUC..........................................................................................48
KAYNAKLAR...............................................................................................................50
EKLER...........................................................................................................................54
EK 1 Gerilme Analizi....................................................................................................55
EK 2 Deformasyon Analizi...........................................................................................62
EK 3 Gerilme ve Deformasyon Arasındaki Bağıntı...................................................67
EK 4 Elastik Parametrelerin Eldesi.............................................................................70
EK 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması....................................................................75
EK 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü...............................................85
ÖZGEÇMİŞ.................................................................................................................100
iv
SİMGELER DİZİNİ
1B
Bir Boyutlu
2B
İki Boyutlu
3B
Üç Boyutlu
A
Jacobian Dizeyi
AT
Jacobian Dizeyinin Dönüşüğü
A(p, τ )
τ -p Dönüşümü
c
Faz Hızı
∇
Diverjans
δ
Gerilme Dönüşümü
εij
Deformasyon Yöneyi
E(p)
p Parametresine Bağlı Hata Enerjisi
di
Ölçülen Veri
εi
Sönüm Faktörü
fi
Kuramsal Veri
f
Frekans
FA(p,f)
τ -p Dönüşümünün Yavaşlık ve Frekansa Bağlı 2 Boyutlu Fourier
Dönüşümü
G
Veri Çekirdek Dizeyi
H
Tabaka Kalınlığı
λ
Lame Katsayıları
μ
Lame Katsayıları
U(ω)
Grup Hızı
Vp
P Dalga Hızı
Vs
S Dalga Hızı
K
Bulk Modülü
k
Dalga sayısı
p
Yavaşlık
R(|p|,f)
Spektral Güç Oranı
ρ
Yoğunluk
σ
Gerilme Yöneyi
v
SA(p,f)
τ -p Dönüşümünün Yavaşlık ve Frekansa Bağlı 2 Boyutlu Güç
Spektrumu
STotal(|p|,f)
Toplam Güç Spektrumu
θ
Dilatasyon
τ (tau)
Kesme Zamanı
V
Hız
Va
Görünür Hız
ω
Açısal Frekans
wi
Ağırlık Katsayıları
Kısaltmalar
FFT
Fast Fourier Transform
MASW
Multichannel Analaysis of Surface Wave
ReMi
Refraction Mikrotremor
SASW
Spectral Analaysis of Surface Wave
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1
Love dalgalarının oluşumu........................................................................3
Şekil 2.2
Love dalgasının yayılımı esnasındaki parçacık hareketleri.......................3
Şekil 2.3
P ve SV dalgalarının serbest yüzeyde etkileşerek Rayleigh
dalgasının oluşması....................................................................................4
Şekil 2.4
Rayleigh dalgasının yayınımı esanasındaki parçacık hareketi...................4
Şekil 2.5
Farklı frekans ve fazlı iki harmonic eğrinin (mavi ve pembe
renkli) toplamından oluşan dalga treni (yeşil renkli)................................5
Şekil 2.6
Geometrik dispersiyon (Strobbia 2005)....................................................8
Şekil 2.7
Slan stack’daki τ ve p nin anlamları (Storobbia 2005)...........................15
Şekil 2.8
τ -p dönüşümü (Storobbia 2005).............................................................15
Şekil 2.9
p-f görüntülerinden faz hızlarının işaretlenmesi siyah renkli
kareler ile gösterilmiştir (SeisOpt ReMi 2.0)...........................................19
Şekil 3.1
Bir boyutlu yeraltı modeli........................................................................21
Şekil 3.2
İki boyutlu yeraltı modeli.........................................................................21
Şekil 3.3
Üç boyutlu yeraltı modeli........................................................................21
Şekil 3.4
Ölçülen dispersiyon eğrilerinin karşılık geldiği model parametreleri
bilinmeyenleri oluşturur...........................................................................22
Şekil 3.5
Yeraltının 1B modellenerek parametreleştirilmesi..................................22
Şekil 3.6
Verilen tabakalı modelden yüzey dalgasının yayılım özelliklerinin
tahmin edilmesi........................................................................................23
Şekil 5.1
ISWI Yüzey dalgalarının modellenmesi, düz ve ters çözümünü
birleştiren program.................................................................................36
Şekil 5.2
Ağırlık katsayılarının hesaplanması........................................................37
Şekil 6.1
Vs hızlarının derinlikle değişimi.............................................................39
Şekil 6.2
Düz çözüm verisi mavi sürekli çizgi, yapay veri içi dolu kareler ..........40
Şekil 6.3
Soldaki şekilde mavi ile görünen ön-kestirim model yanıtı, pembe ile
görünen sonuç model yanıtıdır. Sağdaki şekilde Vs hız profili
görülmektedir...........................................................................................42
Şekil 6.4
Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı
ve ölçülen veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleride sağdaki
şekilde grafiklenmiştir.............................................................................44
vii
Şekil 6.5
Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı
ve ölçülen veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleri de sağdaki
şekilde grafiklenmiştir.............................................................................46
Şekil 6.6
Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı
ve ölçülen veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleride sağdaki
şekilde grafiklenmiştir.............................................................................47
viii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 6.1
Derinlikle artan hız model verisi .............................................................40
Çizelge 6.2
Periyot, faz hızı, gürültü ve yapay dispersiyon verileri ..........................41
Çizelge 6.3
Yapay verinin çözümü için seçilen ön-kestrim modeli............................41
Çizelge 6.4
Yapay verilerin ters çözümü sonunda elde edilen model
parametreleri............................................................................................42
Çizelge 6.5
Periyod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri................................................43
Çizelge 6.6
Yer altı modeli için ön-kestrim ve ters çözüm parametreleri...................44
Çizelge 6.7
Peryod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri.................................................45
Çizelge 6.8
Yer altı modeli için ön-kestirim ve ters çözüm parametreleri.................45
Çizelge 6.9
Peryod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri.................................................46
Çizelge 6.10 Yer altı modeli için ön-kestrim ve ters çözüm parametreleri...................47
ix
1. GİRİŞ
Bu tezde yüzey dalgası faz hızlarının ters çözümü sonucunda katman parametrelerinin
eldesi anlatılmıştır. Mühendislik jeofiziği yöntemlerinin amacı, mühendislik yapılarını
taşıyacak olan zeminin dayanımı, tabakaların kalınlığı, su içeriği, dinamik yük altındaki
davranışlarını vb. özelliklerini saptamaktır. Bu amaca yönelik olarak kullanılan jeofizik
yöntemlerden biri de Kırılma Mikrotremor (Refraction Microtremor – ReMi)
yöntemidir. Yöntem, özellikle kalabalık şehirleşmenin olduğu alanlarda, binaların,
yolların düzgün profiller boyunca ölçü almayı zorlaştırdığı bölgelerde, ayrıca kaynak
kullanmanın bu tür yerleşim bölgelerinde tehlike oluşturduğu durumlarda üstünlükler
sergilemektedir. ReMi yönteminin esasını yüzey dalgalarının kayıt edilmesi oluşturur.
Yüzey dalgaları bilindiği üzere dispersif bir davranış sergiler bu da farklı derinliklerdeki
tabakalara ait bilgilerin farklı frekanslı dalga boylarıyla taşınmasıdır. Bu nedenle
özellikle Rayleigh yüzey dalgasının eldesi bu yöntem içerisinde önem taşımaktadır.
Yöntemde, Rayleigh dalgası kayıtlarından frekansa bağlı faz hızları grafiklenir.
Grafiklenen bu verilerin ters çözümü sonucunda zeminin fiziksel özellikleri elde edilir.
Konunun anlaşılabilirliğini arttırmak için öncelikle ReMi yönteminin esasları ve bu
yöntemle dispersiyon verilerinin eldesi anlatılmıştır. Yöntemin önem taşıyan kısımları
ayrıntılı olarak açıklanıp, gerekli bağıntılar EK bölümlerde elde edilmiştir. EK
bölümlerde, dispersiyon verilerinin eldesinde kullanılan Rayleigh yüzey dalgasının
eldesi, temel konulardan başlanılarak temel bağıntıların çıkarımı ayrıntılı anlatılmıştır.
Tez içinde modelleme ve kullanılan ters çözüm tekniği hakkında ayrıntılı bilgi verilmiş
gerekli kuramsal alt yapı oluşturulduktan sonra, dispersiyon verilerinin ters çözümü ve
sonuçları örneklerle açıklanmıştır. Bu tezde, verilen yeraltı modelleri için kuramsal
dispersiyon eğrilerinin hesabında PROGRAMS.330 (Herrman 2002) ve en küçük
kareler yöntemiyle ters çözümü için Arnason (1998)
tarafından yazılan kodlar
düzenlenmiş giriş ve sonuç parametrelerinin görüntülenmesi için bir arayüz programı
hazırlanmıştır. Ayrıca Başokur (1999) tarafından önerilen ve hem rasgele hem de
sistematik gürültüleri dikkate alan ağırlıklandırma yöntemi de algoritmaya eklenmiştir.
1
2. KIRILMA MİKROTREMOR YÖNTEMİ
Kırılma Mikrotremor Yöntemi’nin genel ilkeleri Louie’den (2001) özetlenmiştir.
Yapıların sığ makaslama hızlarının tahmini, olması muhtemel bir sarsıntıda (depremde)
o bölgenin tepkisinin önemli bir bileşenini oluşturabilir (Borcherdt 1992, Anderson et
al. 1996). Sığ yeraltının makaslama hızlarını bulmak için, yüzey dalgalarının
dispersiyon özelliğinden faydalanılabilir. Aktif bir kaynak yerine çevresel gürültüler,
taşıt, insan gürültüleri, rüzgâr, atmosferik vb. olayların tamamı kullanılabilir. Kaynağın
kökeni belli olmadığı için kaynak her an varolabilir ve her an Rayleigh dalga yayınımı
oluşturabilir. Dolayısıyla dalga yayınımının yönü bilinemez (Asten and Stephenson
2005). Aktif kaynak kullanılmaması, veri toplama donanımlarının kolay taşınabilir
olması, ayrıca kentsel alanlarda uygulama kolaylığı getirmesi vb. nedenler yöntemin
yaygınlaşmasına neden olmuştur.
Ancak ReMi tekniği yalnızca 100 m. derinliğe kadar olan jeolojik yapıların hızını
çözümleyebilmektedir. Daha derin araştırmalar için daha etkili sismik yöntemler ve
mikrotremor kayıtlarıyla gelişmiş cihazlar gerekmektedir (Horike 1985). Yöntemin
uygulanabilmesi için 12 ile 48 arası jeofon, sayısal kayıtçı (ör. sismik kırılma cihazları)
ve biraz çaba yeterlidir.
Yüzey dalgası faz bilgileri, Yüzey Dalgalarının Spektral Analizi (Spektral Analaysis
Surface Wave-SASW), ve mikrotremor dizilim teknikleri kullanılarak makaslama hızı
hesaplanabilir ve buradan da zeminin sağlamlığı yorumlanabilir.
Yüzey dalgalarının özelliklerini, yayınım esnasında ki partikül hareketlerini ve yüzey
dalgalarının dispersiyon özellikleri kısaca izleyen şekilde açıklanabilir.
Yüzey dalgaları, P ve S dalgalarının serbest yüzeye ulaşmaları ve bu yüzeye paralel
yayılmaları sonucunda oluşur. Yüzey dalgalarının genlikleri artan derinlik ve yanal
değişimlerin etkisiyle sönümlenir.
2
İki tür yüzey dalgası vardır;
1. Love Dalgası : Serbest yüzeydeki SH dalgalarının yapıcı çoklu yansımaları
sonucunda Love dalgaları oluşur (Şekil 2.1). Love dalgaları Rayleigh dalgalarından
daha hızlıdır ve bu yüzden sismogramlarda daha önce görünür.
X
SH Wave
SHR
SHT
Z
Şekil 2.1 Love dalgalarının oluşumu
Love dalgaları yalnızca özel bir stratigrafik durumda yüzeyde oluşur. Üstteki katmanın
makaslama hızı, altındaki katmandan daha düşük olmalıdır. Bu nedenle homojen
ortamda oluşmazlar ve dispersif özellik gösterirler. Dalga yayınımı sırasındaki parçacık
hareketi dalga yayınım yönüne dik ama yüzeye paraleldir (Şekil 2.2).
Şekil 2.2 Love dalgasının yayılımı esnasındaki parçacık hareketleri
3
2. Rayleigh Dalgası : “Ground-roll” olarak da bilinen Rayleigh dalgası, P ve SV
düzlem dalgalarının serbest yüzeyde etkileşmesi ve yüzeye parelel yayılması sonucunda
oluşur (Şekil 2.3).
P
Serbest yüzey
derinlik
SV
SV
Şekil 2.3
P
P ve SV dalgalarının serbest yüzeyde etkileşerek Rayleigh dalgasının
oluşması
Rayleigh dalgalarının hızı homojen ortamda S dalga hızından küçüktür. Derinlikle
birlikte elastik özelliklerdeki değişimler dispersiyona neden olur. Parçacık hareketi
dalga yayınım doğrultusunun tersi yönde ve eliptik bir yörünge üzerindedir (Şekil 2.4).
Şekil 2.4 Rayleigh dalgasının yayınımı esanasındaki parçacık hareketi
4
Yüzey dalgalarının özellikleri Strobbia’dan (2005) yararlanılarak izleyen şekilde
özetlenebilir. Serbest yüzeyde sıkışma kökenli bir kaynak açığa çıkarsa, yüzey
dalgalarının geometrik yayılımı ve enerjilerinin çoğu cisim dalgalarınınkinden azdır ve
bu yüzden aktif sismik yöntemlerde uzak mesafelerde Rayleigh dalgaları baskın
karekterdedir. Yalnızca geometrik sönümü hesaba katarsak, enerji mesafenin karesiyle
azalıyorsa küresel dalga cephesi, enerji mesafeyle lineer olarak azalıyorsa silindirik
dalga cephesi olur. Enerji yerdeğiştirmenin karesiyle orantılıdır. Böylece cisim
dalgalarının genlikleri kaynaktan uzaklaştıkça azalır ve Rayleigh dalgalarının genlikleri
mesafenin kareköküyle orantılıdır.
Yüzey dalgalarında dispersiyona bağlı Faz Hızı ve Grup Hızı olmak üzere iki tür hız
bilgisi ortaya çıkar. Farklı fazlarda ilerleyen farklı frekanstaki dalgalar birbiri üzerine
binerek dalga trenlerini oluştururlar. Bu dalga treni üzerinde yer alan herhangi bir
fazdaki noktanın ilerleme hızına Faz Hızı denir. Tüm dalga treninin ilerleme hızı ise
Grup Hızı olarak adlandırılır (Şekil 2.5).
Faz ve Grup Hızı
grup hızı
250
faz hızı
200
dalga boyu
150
100
sin(w t+faz1)
Genlik
50
sin(w t+faz2)
0
sin(w t+faz1) + sin(w t+faz2)
-50
-100
-150
-200
-250
0
100
200
300
Zam an (sn)
Şekil 2.5 Farklı frekans ve fazlı iki harmonic eğrinin (mavi ve pembe renkli)
toplamından oluşan dalga treni (yeşil renkli)
5
Faz Hızı : Sismik kaynaklar çoğunlukla yüzey dalgası periyotlarının geniş spektrumlu
olmasına neden olur. Herbir harmonik bileşen c(ω) hızındadır ve faz hızı olarak anılır.
Buradaki ω = 2πf (açısal frekans) ortamın parametrelerine bağlıdır (tabaka kalınlığı, P
ve/veya S hızları vb.). Faz hızı taşıyıcı hız olarak da bilinir. Faz hızı çoğunlukla bir veya
iki istasyon kullanılarak ölçülebilir. Her bir yöntem öncelikle kaynak, güvenilir bir
başlangıç zamanı ve seyehat mesafesi hakkında bilgi gerektirir. Gözlemlenen sismik
yüzey dalgası fazı, kaynağa doğrusal süzgeç uygulanmasıyla oluşan başlangıç fazı
olarak ifade edilebilir:
φO (ω ) = φ S (ω ) + φ P (ω ) + φi (ω ) .
Burada φ o (ω ) gözlemlenen faz, φ S (ω ) kaynak fazı, φi (ω ) aletin (alıcının) fazı, φ P (ω )
yayılma fazıdır. Başlangıç noktasında ki faz hesabı için fay mekanizması ve kaynağın
derinliği bilinmek zorundadır (http://www.uwm.edu/~bketter/Research /Surface_Theory
/Surface.html, 2006). Faz hızı,
c(ω ) =
ω
k (ω )
ile verilir. Burada ω açısal frekans ve k frekansa bağlı dalga sayısıdır.
Grup Hızı : Grup hızı yüzey boyunca seyehat eden dalga paketlerinin yapıcı girişimleri
sonucu dispersif özelliktedir. Grup hızları üst kabuk yapısını belirlemede kullanılabilir.
Çünkü onlar doğrudan üst kabuk tarafından denetlenir. Sıradağlar ve kıtasal kalkanlar
gibi jeolojik özellikler yüksek grup hızlıdır. Ölçülen grup ve faz hızları
sismogramlardan elde edilen bir kaç adımı içerir. İlk adım, deprem verisinin kalitesini
ve sismogramların makul sinyal-gürültü oranlarını garantilemeyi içerir. Temel gürültü
yüzey dalgalarıya aynı zamanda ulaşan diğer enerjiler (P dalgası vb) olabilir. İkinci
olarak da aletin tepkisi sismogramlardan çıkartılabilir. Verilen periyot için grup hızı,
istasyon ve kaynak arasındaki grup hızlarının varış zamanlarına bölünerek tahmin
edilebilir (http:// www.uwm.edu / ~bketter /Research /Surface_Theory /Surface.html,
2006).
6
Grup hızı,
U (ω ) =
∂ω
dk
olarak verilir. Burada ω açısal frekans ve k dalga sayısıdır. Grup hızı ile faz hızı
arasındaki ilişki,
U (ϖ ) = c(ω ) − λ
∂c(ω )
∂λ
şeklinde verilir. Burada U grup hızı, c faz hızı, λ dalga boyudur. Faz hızının λ’ya göre
türevi her zaman pozitif olur, dolayısıyla grup hızı faz hızından küçüktür.
Yüzey dalgası yöntemleri heterojen ortam içerisinde Rayleigh dalgalarının geometrik
dispersiyonunu analiz eder. Kırılma mikrotremor yönteminde de kullanılan bu yöntemin
ilkesi, farklı frekanslar sınırlı derinlikteki dalga boyuna bağlı olarak önemsiz
sayılmayacak parçacık hareketi ve deformasyon üretir. Böylece yüzeyin altındaki farklı
derinliklerde farklı frekanslar yayılır. Düşeyde heterojen olan ortamın mekanik
özellikleri derinlikle değişir. Farklı özelliklerdeki tabakalarda farklı dalga boyları
yayılır. Bu yüzden yayılma hızları da farklıdır. Bu olay geometrik dispersiyon olarak
anılır. Faz hızıyla frekans arasındaki ilişkide dispersiyon eğrileri olarak tanımlanır
(Şekil 2.6).
7
Şekil 2.6 Geometrik dispersiyon (Strobbia 2005)
2.1 SASW ve MASW Teknikleri
SASW ve MASW teknikleri Louie’den (2001) özetlenirse, deprem mühendisliğinde
SASW tekniğini ilk olarak Nazarian and Stokoe (1984) tanımlamıştır. SASW
yönteminde aktif sismik enerji kaynağı ile 1 Hz’lik sismometrelerin arası 1 m ile 500 m
olacak şekilde düzenlenerek tekrarlı kayıtlar alınır (Nazarian and Desai 1993). Bu
sismometreler düşey bileşenli alıcılar olup kayıtlardan Rayleigh dalgası faz hızı
yorumlanarak makaslama profilleri analiz edilir. FFT (Fast Fourier Transform)
osiloskobuyla, her kaynak kullanımından sonra herbir sismometre çiftlerinden farklı faz
spektrumları sadece genlikleri karşılaştırılarak faz hızları ayrılır (Gucunski and Woods
1991). Bununla birlikte orjinal sismogramlar, frekans uzayındaki bütün yorumları kayıt
edemez. SASW yöntemi daha çok, enerjik Rayleigh dalga varışlarının kayıt edildiğini
farzeder. Özellikle kentsel alanlarda SASW’da kullanılan kaynağın gücü gürültüleri
bastırır. Bu durumda cisim dalgalarının enerjileri Rayleigh dalgasından daha fazladır ve
SASW güvenilir sonuç üretmez (Brown 1998, Sutherland and Logan 1998). Rayleigh
dalga hızları frekans bölgesinde diğer dalga türlerinden ayırt edilemez.
8
Yüzey Dalgalarının Çok Kanallı Analizi (MASW) tekniği (Park et al. 1999), var olan
gürültüde SASW’nin eksiklerini gidermek amacıyla geliştirilmiştir. Benzer şekilde 12
veya daha fazla sayıda alıcı kısa (1-2 m) ve uzun (50-100 m) mesafeler arasında
yerleştirilir ve impuls veya vibratör kaynağıyla kayıtlar alınarak istatiksel açıdan yeterli
miktarda faz hızı ölçülür. Hem fazlaca kaynak kullanılması hem de yığma yapılması
durumunda, esas Rayleigh dalga modu baskın olarak elde edilir. Makaslama hızının ikiboyutlu yatay belirtilerini elde etmek için, profiller boyunca birçok kayıt alınıp ters
çözümü yapılır. Büyük kaynakları taşımak ve birçok noktada tekrarlamak oldukça
pahalı bir çaba gerektirir.
2.2 ReMi Yöntemi
Kırılma Mikrotremor yöntemi Louie’den (2001) özetlenmiştir. ReMi, basit mikrotremor
dizilim teknikleriyle SASW’nin sadece ölçüm tekniğini ve MASW’nin sığ doğruluğunu
birleştirir. Çok sayıdaki hafif sismometrelerle ve lineer dizilimle kentsel mikrotremor
kayıtları alınabilir. Yöntemin üstünlüğü hızlı ve kolay alan verisi toplamasıyla birlikte
SASW ve MASW tekniklerinde olduğu gibi ağır kaynaklar gerektirmemesi ve ölçü
süresinin kısa olmasıdır.
Bütün orjinal sismogramlar, MASW’da olmayan zaman ortamı hız analiz teknikleri
uygulmasını içerir. Bu analizde cisim dalgalarından, atmosferik dalgalardan ve diğer
uyumlu gürültülerden Rayleigh dalgasının ayırt edilmesi tanımlanmıştır.
ReMi tekniğinin temelinde iki ana fikir vardır. Birincisi bilinen sismik kırılma kayıt
donanımları ile hemen hemen sığ P dalgası kırılma çalışmalarına benzeyen şekilde
ayarlanarak 2 Hz gibi düşük frekanslarda yüzey dalgası etkili bir şekilde kayıt edilebilir.
İkinici ana fikir, mikrotremor kayıtlarına iki-boyutlu yavaşlık-frekans (p-f) dönüşümü
uygulanarak Rayleigh dalgası diğer sismik varışlardan ayrılır ve görünür hızlara karşı
gerçek faz hızı tanımlanabilir.
9
Aktif ve pasif kaynak kullanımının üstünlükleri;
- Aktif yöntemde görece yüksek frekans aralıklarında yüksek kalitede Rayleigh dalga
dispersiyon verisi elde edilebilir (Malovichko et al. 2005).
- Pasif yöntem uzun dalga boylarının çözünürlüğü için olumludur. Daha derinlerdeki
tabakalar hakkında bilgi içerir (Malovichko et al. 2005).
Aktif yöntemde Rayleigh dalgası dispersiyon eğrileri, değişik kaynak ve jeofon
mesafelerinde kayıt edilen dalga formlarından faz spekturumu analizini temel alarak
üretilir. Pasif yöntemde frekans-dalgasayısı analizi, jeofon dizisinden geçen uyumlu
dalga paketleri hakkındaki bilgileri ayrıştırabilir. İşlemler sonucunda dispersiyon eğrisi
elde edilir ki bu da verilen Rayleigh dalga modunda faz hızı frekans ilişkisidir
(Malovichko et al. 2005).
Ters çözüm ise Rayleigh dispersiyon eğrileriyle en iyi çakışmayı veren düşey
makaslama hız profillerinin tahminidir. Rayleigh dalgası dispersiyon eğrileri sıkışma
dalgalarına oldukça duyarlı olduğundan genellikle yalnızca makaslama dalga hızı (S
dalga hızı) ters çözümü yapılır (sıkışma dalgaları ve yoğunluğu içermeyen). Global ve
yerel arama olmak üzere iki farklı ters-çözüm stratejisi uygulanır. Global arama
yordamına çok geniş model uzayı ve herhangi bir sayıdaki parametre (örneğin tabaka
kalınlıkları) kolayca eklenebilir. Global arama yerel arama yönteminden daha çok
yineleme gerektirir (Malovichko et al. 2005).
2.3 ReMi Yönteminde Sismik Kırılma Ekipmanının Kullanılması
ReMi yönteminde sismik kırılma donanımı kullanımı Louie’den (2001) özetlenmiştir.
Yüzey dalgası hızı dispersiyon kayıtları için iki temel etken sağlanmalıdır. Birincisi
herbir kanal için grup dizilimden çok tek jeofon kullanmak, ikincisi 12 veya daha çok
10
jeofonlu doğrusal serilim kullanmak. Daha çok sismik kırılma çalışmalarında olduğu
gibi genellikle tek jeofon kullanımı yaygındır.
Petrol endüstrisinde yapılan sismik yansıma çalışmalarında grup jeofon dizilimleri
kullanılır. Bu grup dizilimi yüzey dalgalarını ve yatay yöndeki enerji yayılımını bastırır.
Alternatif bir yöntemde kırılma hattına dik yönde serilimin yerleştirilmesidir. Bu, hat
boyunca yayılan dalgaların seyehat zamanını arttırırken enerjilerini azaltarak yüzey
dalgalarının belirginleşmesini sağlar.
Bir başka önemli bileşende, deneysel kurulumlarda herbir alıcı arasındaki mesafenin 820 m arasında bırakılarak çok kanallı serilimlerin yapılmasıdır. Bu durumda çok fazla
kablo gerekecek ve tıkanmış trafiği olan kentsel alanlarda çok zorluklar yaşanacaktır.
Buna karşılık bağımsız taşınabilir kayıtçılarla caddelerde gridler oluşturulabilir.
Gerçek dizilimin uzunluğu mod ayırımına ve spektrumun çözünürlüğüne olanak verir.
Genelde spektral analiz limitlerinden, eğer zamanı sabit alıp mesafeye göre kayıt alırsak
maksimum dalga boyu dizilim uzunluğuna eşit olabilir. Gerçekten bu limit büyük dalga
boyları analizinin üstesinden gelebilir. Yalnızca iki kayıtçı hesaba katılırsa, faz hızı iki
iz arasındaki kayma zamanından hesaplanabilir (Strobbia 2005).
Ofset mesafesinin aşırı fazla olması yüksek frekansların kayıt edilmesini güçleştirir.
Küçük ofsetlerin kullanılması tercih edilir ve kısa ofsetlerde düşük frekanslar
süzgeçlenir. Faz hızı kaynaktan uzaklaştıkça önemli bir değişim gösteriyorsa, bunu da
farklı frekanslarda analizle ayırmak mümkündür (Strobbia 2005).
Aşağıda verilen veri elde etmeye ilişkin bazı bilgiler Strobbia’dan (2005) özetlenmiştir.
a) Kaynak: Kaynak standart sismik kaynak olabilir, hatta yüzey dalgası testleri için
ihtiyaç duyulan kaynak biraz farklıdır. Yüzey dalgası yönteminde, kaynak kullanılarak
geniş frekans bandında yüksek sinyal gürültü oranında yüzey dalgaları üretilir. Bu
11
durumda ilgilenilen bandın düşük frekanslı kısmını elde etmek zordur ve bunun için
büyük araştırma derinliğine ulaşmak gerekir.
Bu durumda hedefe ve araştırma derinliğine bağlı olarak büyük patlatma kaynakları
kullanılır.
a.1 ) İmpuls kaynakları: Çekiç değişik jeolojik koşullarda uygulaması kolay ve 50-100
m dizilim için yeterli olabilir. Atalet etkisi kullanılarak bir düğme ile kolayca kayıtçı
tetiklenebilir. Ağır çekiçle puls üretilir, yüksek frekanslar için hafif çekiç tercih edilir.
Metal plaka kullanılırsa sinyalin frekansı artar. Özellikle kaldırım ve asfaltda 1000
Hz’den yüksek frekanslar üretilebilir.
Eğer daha fazla enerjiye ihtiyaç duyuluyorsa ağırlık düşürme kullanılabilir. Ağırlığın
düştüğü yerde metalik bir plaka kullanılırsa kaynağın frekans içeriği artar.
130 kg’lık tek vuruşla veya 130 kg’ı 3 m’den düşürmek 10 kez çekiçle vurmaktan daha
fazla enerjiyi açığa çıkarır. Sinyalin frekans içeriği çekiçtekinden farklı değildir. Bir
bölgede 10 kez çekiçle vurmaya karşılık bir tane ağırlık düşürmek aynı etkiyi yaratır.
Kuyu içinde patlatma da yeterli enerjiyi üretir. Küçük atışlarla geniş bir spektrum
üretmek yerine, titreşim kullanılabilir. Titreşim kaynağı ilişki analizi ve hızlı sinyal
içeren sismik yansıma için kullanılır. Yüzey dalgası yönteminde ise amaç etkili enerji
içeren farklı frekanslar üretmektir. Her bir frekansdaki kayıdın genliği kaynağa ve
bölgenin tepkisine bağlıdır.
c) Alıcıların tepkisi: Alıcı olarak çoğunlukla jeofon kullanılır. Jeofonların çalışması
çoğunlukla sabit bir mıknatısın içinde asılı duran bir bobinin hareketidir. Bu hareket
bobinin ataletidir. Bu hareket sonucu küçük voltaj değişimleriyle orantılı görece bir hız
üretilir. Alcı maksimum yanıtı, bobin tireşim doğrultusuna paralel olduğunda verir.
12
Alıcının yanıtı önemlidir çünkü kayıt edilen sinyal ile etkilenir. Srec; frekans bölgesinde
kayıt edilen sinyal, R alıcının karmaşık spektrumu ile Strue gerçek sinyalin karmaşık
spektrumundan üretilir:
S rec ( f ) = S true .R( f ) .
Genlik ve faz da hesaba katılarak,
Arec(f)=Atrue.Ar Ftrue ( f )
Frec(f)=Ftrue+ Fr
elde edilebilir. Burada, Arec ( f ) frekans bölgesinde kayıt edilen sinyalin genliği,
Atrue ( f ) gerçek sinyalin genliği, AR ( f ) alıcının genliği, Frec ( f ) kayıt edilen sinyalin
fazı, Ftrue ( f ) gerçek sinyalin fazı, Fr ( f ) alıcının fazıdır.
d) Alıcıların Bağlanması: Jeofonla toprağın bağlanması sinyalin kalitesi için
önemlidir. Yüzey dalgası yöntemlerinde yüksek enerji elde etmede alıcıların toprak ile
bağlantısı etkilidir.
e) Sayısal Kayıtçılar: Jeofonlar elektrik sinyali üretirler ve bu sinyaller çok kanallı
sayısal kayıtçılarda kayıt edilir. Sismografların dinamik aralığı veri niteliğini etkiler,
frekans aralığını ve modları ortaya çıkarır.
2.4 Hız Spektral Analizi (p-f)
Dalga alanı dönüşümleri, sismik veri işlemdeki temel araçları kullanır (Yılmaz 1987).
Böylece farklı sismik olayların kimlikleri birbirinden ayrılır. Çok kanallı yüzey dalgası
yöntemlerinin temelini (dispersif dalga analizinin düzenlenmesinde) toplanan ortak
atışlara dalga alanı dönüşüm uygulamaları oluşturur (Strobbia 2005).
13
Dalga alanı dönüşümünden (p-f, f-k) kasıt, dispersif dalgaları veri içinde bulunan her
bir moddaki dispersiyon eğrisi görüntülerine dönüştürebilmektir (Strobbia 2005).
Dispersif dalgaların analizi için f-p dönüşümünün kullanılmasını McMechan and Yedlin
(1981) önermişlerdir. Dalga alanı dönüşüm uygulamasının üstünlüğü, sonuçta elde
edilen görüntüye bütün verilerin katkı sağlaması ve verilerin subjektif olarak
seçilmesinden (işaretleme, pencereleme vs...) uzak durulabilmesidir. Dönüştürülmüş
bölgede modlar görsel olarak ayrılır, dönüştürülmemiş veride ise görsel olarak
ayrılamazlar (Strobbia 2005).
Hız Spektral Analizinin temeli p-tau (p- τ ) dönüşümleri veya “slanstack” olarak
tanımlanmıştır (Thorson and Claerbout 1985). Bu dönüşümde çoklu sismogramdan
kayıt parçaları alınır ve ışın parametresi p (hızın tersi yavaşlık olarak anılır) ile kesme
zamanı τ ‘ya dönüştürülür. p- τ dönüşümü için A(x,t) sismik kayıtlarının basit çizgisel
integrali alınır. x mesafe, t zaman olmak üzere,
A( p,τ ) = ∫ A( x, t = τ + px)dx
(2.1)
x
Burada p = dt/dx eğimi, x doğrultusundaki Va görünür hızının tersidir. Pratikte x ayrık
verilerden (nx) oluşur. dx sonlu mesafe olmak üzere (çoğunlukla 8-20 m.),
x = jdx
j=1,2,3......,n
(2.2)
elde edilir. Benzer şekilde zamanda ayrık verilerden oluşur:
t = idt
i=1,2,3,...,m
dt çoğunlukla 0,001-0,01 sn arasındadır. Negatif ve pozitif p- τ dönüşümü ayrık
biçimde verilirse,
p = p 0 + lΔp
τ = k.dt
14
A( p = p 0 + lΔp,τ = kdt ) =
nx −1
∑ A( x =
jdx, t = idt = τ + px)
(2.3)
j =0
(2.3) bağıntısı p- τ dönüşümüdür. Kesme zamanı τ , görülebilir kesme zamanının
yeniden düzenlenmesiyle t= τ + px görülebilir. Kesme zamanı τ ve p eğimli düz
çizgiyle elde edilir (Şekil 2.7).
x1
x (sn)
τ1
τ1
p1x1
t1
p1 =
dt
dx
x = x1
t (sn)
Şekil 2.7 Slant stack’daki τ ve p nin anlamları (Storobbia 2005)
Böylece p farklı seyahat zaman eğrilerinden elde edilebilir. Bununla birlikte zaman
ofset bölgesinde kayıtların τ -p dönüşümleri, herbir τ değeri için p eğimli doğru
boyunca dalga alanlarının yığılmasıdır (Şekil 2.8).
x
p
t
Şekil 2.8 τ -p dönüşümü (Storobbia 2005)
15
p0 = -pmax . pmax olarak tanımlanabilir. Minimum hızın tersinin çarpımı olarak
düşünülebilir (Louie 2001). pmin ve pmax çok kolay hesaplanabilir. ∆p sinyalin frekans
içeriğine bağlıdır. Katlanmadan (aliasing) kaçınmak için örnekleme izleyen şekilde
tanımlanır;
Δp ≤
1
2πf max x max
.
Burada fmax ve xmax sırasıyla maksimum frekans ve x doğrultusunda dönüştürülmüş veri
uzunluğudur (Storobbia 2005). Çoğunlukla 200 m/sn’ye ayarlanır. Ancak araştırmalarda
yumuşak bölgelerde 100 m/sn veya daha az çıkabilmiştir. np görece nx’in bir veya iki
katına ayarlanır. Burada ∆p’nin aralığı 0.0001-0.005 sn/m olabilir ve kapalı -pmax ile
pmax aralığında 2np yavaşlık adımına göre ayarlanır. Kırılma alıcı hattının her iki
doğrultusu boyunca enerji yayılımı analiz edilir. t= τ + px zamanındaki genlikler,
doğrusal interpolasyon ile hesaplanan örneklenmiş zaman noktaları arasına düşer.
Kırılma mikrotremor analizinde kullanılan mesafe, dizilimin başındaki jeofon ile sonu
arasındaki aralıktır. Dönüşümden sonraki kesme zamanları, sadece dizilimin başından
sonuna kadar olan varış zamanlarıdır.
p- τ dönüşüm kayıtları, gerçek x-t kayıtlarındaki bir veya birçok ofset iz çiftlerini içerir.
O izlerin herbirinin içeriği (tek yavaşlık veya hız değerinde) bütün kesme
zamanlarındaki kayıtların lineer toplamıdır. İkinci adım, (2.4.3) eşitliğindeki herbir p- τ
izi alınarak karmaşık Fourier dönüşümü FA(p,f) hesaplanır, kesme zaman uzayında ya
da τ ‘da;
FA ( p, f ) = ∫ A( p,τ ) exp(−i 2πfτ )dτ
(2.4)
τ
ve f=mΔf noktalarında ayrık Fourier dönüşümü,
16
nt −1
FA ( p, f = m.Δf ) = ∑ A( p,τ = k .dt ) exp(−2iπmΔfΔt )
(2.5)
k =0
ile verilir. Bir boyutlu dönüşüm yavaşlık veya p ekseni için etkili olmaz. Sismik
yansıma çalışmalarında olduğu gibi iyi frekans çözünürlüğünü elde etmek için kayıt
zamanı uzatılır. Örneğin; zaman örneklemesi dt = 0.001 sn ise kayıt uzunluğu nt, Δf =
0.25 Hz için yaklaşık 4000 örneklik çözünürlüktedir. Kırılma mikrotremor çalışmasında
kayıt aralığı 20 ile 50 sn arasında bir uzunluktadır.
Güç spektrumu SA(p,f) karmaşık Fourier dönüşümünün genliğinin karesi ise,
S A ( p, f ) = FA* ( p, f ) FA ( p, f )
(2.6)
ile verilir. Burada * karmaşık ifadeyi gösterir. Bu yöntem kayıdın alıcı profili boyunca
düz ve ters doğrultudaki p- τ dönüşümlerinin her ikisinin toplamıdır. Bir yavaşlık
ekseninde düz ve ters doğrultulardan gelen toplam enerji mutlak p değerini gösterir,
p=0 civarında yavaşlık ekseni katlanır ve toplanarak elde edilir:
S A ( p , f ) = [S A ( p, f )] p ≥0 + [S A (− p, f )] p <0 .
(2.7)
Böylece x-t ortamından p-f ortamına dönüşüm tamamlanmış olur. Bu kayıtlar için ışın
parametresi p, dizilim boyunca yavaşlığın yatay bileşenidir. Kırılma mikrotremorunda
birden fazla kayıtta analiz yapılırsa, özel p-f görüntü kayıtları SAn(|p|,f), toplam güç
görüntüsüne nokta nokta eklenir:
S total ( p , f ) = ∑ S An ( p , f ) .
(2.8)
n
Yavaşlık-frekans analizi bir bölgede alınan bütün kayıtlarda tüm güç spektrumu
kayıtlarından üretilir ve yavaşlık-frekans (p-f) eksenlerinde çizdirilir. Belirgin güçteki
uyumlu bir fazın olduğu eksenlerde eğimler belirlenirse yavaşlık-frekans dorukları
dispersiyon analizi için tipik periyod-hız diyagramına çizilir.
17
p- τ dönüşümü doğrusaldır ve terslenebilir. Mekansal ve frekans ortamı tamamen
karşılık gelebilir (Thorson and Claerbout 1985). Dönüşüm verideki genliklere 1/frekans
alçak geçişli süzgeç gibi etki eder. Bununla birlikte süzgeç bozulma veya frekans
sapması yapmaz. Dönüşüm her bir kesme zamanına paralel çizgi boyunca yığma yapar.
Hiperbol boyunca hızların yığılması gibi gerilme veya frekans bozulması olmaz
(Thorson and Claerbout 1985).
Dispersif dalgaların özel eğimleri p-f analizinde gerçek bir üstünlük sağlar.
Mikrotremor kayıtlarında görünen diğer varışlar, cisim dalgaları, atmosferik dalgalar
gibi bir eğim içermezler. p-f güç spektrum görüntülerinde yüksek enerjili dalgalar
görülebilir. Eğer bir sismik kayıtda enerjinin büyük çoğunluğu Rayleigh dalgasının
dışındaki bir fazdan kaynaklanıyorsa, p-f analiziyle dispersiyon eğrilerinin dışında
yavaşlık frekans çiziminde bu enerjiler ayrılabilir. Birçok kanalla yapılan kayıtlarda
düşey sismogramın tamamı tutulur ve p-f dönüşümü uygulanır. Bu yöntem Rayleigh
dispersiyon analizinde başarılı olur.
2.5 Rayleigh Faz Hızı Dispersiyonunun İşaretlenmesi
Louie’den (2001) özetle, bu analizde gürültü kayıtlarının spectral normalizasyonu için
sadece McMechan ve Yedlin’nin (1981) güç-oranı spektrumu hesaplanarak eklenir.
Bütün yavaşlıkların üzerindeki ortalama gücün büyüklük sırası bir frekanstan diğerine
farklı olabilir. Bu yöntemde, S total ( p , f ) toplam görüntüsünde veya tek tek SA (|p|,f)
görüntülerindeki frekanslarda olan bütün yavaşlıklar boyunca, ortalama güce karşı her
bir yavaşlık-frekans bileşiminde spektral güç oranı R(|p|,f) alınır:
R( p , f ) =
[∑
S ( p , f )np
S ( p = ldp, f ))
j = 0 , np −1
].
(2.9)
Burada np, orjinal yavaşlık adımları sayısı olan 2np’nin yarısıdır. Birçok durumda
spektral oran görüntü sonuçlarında çok net bir şekilde dispersiyon eğrisi boyunca
18
sıralanmış şekilde görülebilir. Spektral oranların p-f görüntülerinden doğrudan
dispersiyon eğrisi yorumlanıp başarılı şekilde işaretlenebilir (Şekil 2.9).
Şekil 2.9 p-f görüntülerinden faz hızlarının işaretlenmesi siyah renkli kareler ile
gösterilmiştir (SeisOpt ReMi 2.0)
19
3. YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNİN MODELLENMESİ
Bu bölümde ReMi yöntemiyle elde edilen Rayleigh dalgası faz hızı verilerinin ters
çözümü için gerekli olan model seçimi ve parametreleştirme anlatılacaktır. Öncelikle
jeofizikte modelleme hakkında bilgi verilecektir.
3.1 Jeofizikte Modelleme
İnsanoğlu yapısı gereği yaşadığı ortamı anlamaya çalışırken, karşılaştığı sorunları daima
kavrayabildiği daha basit örneklerle açıklamaya çalışmıştır. Bilgi ve deneyimi arttıkça
verdiği örneklerin açıklamaya çalıştığı problemi çözmede yetersiz kaldığını düşünüp
daha karmaşık örnekler ile problemi tam olarak ifade edip yeni çözümler geliştirmiştir.
Böylece gelişen modelleme kavramını, ölçülmeye çalışılan sürecin bilinen bir modele
benzeştirilmesi olarak adlandırabiliriz. Bu model içerisinde süreci denetleyen ve
çözülmesi istenilen niceliklerin (parametrelerin) sınıflandırılması anlamlandırılması ve
değerlerinin saptanması da parametreleştirme olarak adlandırılır (Başokur 2002).
Jeofizikte modelleme, inceleme alanında kullanılacak yönteme de bağlı olarak,
yeraltının
gerçek
jeolojik
durumunun
yalınlaştırılarak
kullanılmasıdır.
Bu
yalınlaştırılmış model gerçek dünyaya uygun olarak seçilmelidir.
Modeller yeraltını en iyi temsil edecek şekilde oluşturulur. Jeofizik yöntemde kullanılan
3 tür modelleme vardır. Bunlar sırasıyla, bir-boyutlu (1B), iki-boyutlu (2B) ve üçboyutlu (3B) modellerdir.
20
3.1.1
Jeofizikte model türleri
x
y
z
Şekil 3.1 Bir boyutlu yeraltı modeli
Bir-boyutlu modellemede yeraltının birbirine paralel kendi içinde homojen ve izotrop
katmanlardan oluştuğu varsayılır. En basit modellemedir. Tortul alanlarda bu tür
stratigrafik yapıya rastlamak mümkündür (Şekil 3.1) .
x
y
z
Şekil 3.2 İki boyutlu yeraltı modeli
İki-boyutlu modellemede yeraltı katmanları iki eksen doğrultusunda değişim gösterecek
şekilde dörtgen prizmalara bölünür. Böylece çalışma alanında yatay ve düşeydeki
değişimler bulunurken, yatay eksene dik olan diğer eksen doğrultusunda birimler
homojen ve izotropdur (Şekil 3.2).
x
y
z
Şekil 3.3 Üç boyutlu yeraltı modeli
Üç-boyutlu modellemede yeraltının üç eksen doğrultusunda da değişim gösterdiği
düşünülerek kendi içinde homojen izotrop olan küplerden oluştuğu varsayılır.
Çalışmanın türüne göre her küp aynı ya da farklı parametre değerleri içerir (Şekil 3.3).
Bu tez çalışmasında 1B modelleme kullanılmıştır.
21
3.2 Dispersiyon Eğrilerinin Modellenmesi
Bölüm 2’de anlatılan kırılma mikrotremor yöntemiyle veri toplanıp işlendikten sonra
Rayleigh dalgası faz hızları frekansa (veya periyot) bağlı olarak elde edilir. Faz
hızlarının frekansın fonksiyonu olarak çizilmesi dispersiyon eğrilerini oluşturur. Ancak
bu eğrilerin hangi yeraltı modeline ait olduğu ve gerçek yeraltı katman parametreleri
bilinmeyenleri oluşturur (Şekil 3.4).
Faz hızı
????
????
????
Frekans
Şekil 3.4 Ölçülen dispersiyon eğrilerinin karşılık geldiği model parametreleri
bilinmeyenleri oluşturur
Elde edilen bu eğrilerin ters çözümünden tabakaların fiziksel özelliklerini temsil eden
parametrelere ulaşılmaya çalışılır. Bu amaca yönelik olarak önce ölçüm yapılan
yeraltının modellenmesi gerekir. Modelleme 1B olup, her katman homojen izotrop ve
yeryüzüne paralel ve homojen yarı uzay içerisinde yer alır. Her tabaka; H tabaka
kalınlığı, P dalga hızı Vp, S dalga hızı Vs, Lame katsayıları λ, μ veya Bulk modülü K
yada yoğunluk ρ ile temsil edilir (Şekil 3.5). Dispersiyon eğrileri Vp ve Vs dalga
hızlarına özellikle Vs dalga hızına fazlaca duyarlıdır. H tabaka kalınlığına ise daha az
duyarlıdır.
Vs1,Vp1,ρ1,H1
Vs2,Vp2,ρ2,H2
Vs3,Vp3,ρ3,H3
Şekil 3.5 Yeraltının 1B modellenerek parametreleştirilmesi
22
Parametreleştirme işlemi gerçekleştikten sonra kurulan 1B yeraltı modelinin ölçülen
verileri temsil edip etmediğine bakılır. Bu yüzden kurulan modelin düz çözümü
yapılarak böyle bir modelin üreteceği dispersiyon eğrileri elde edilir. Kurulan kuramsal
modelden elde edilen veriler kuramsal dispersiyon eğrilerini oluşturur (Şekil 3.6).
Faz hızı
Vs1,Vp1,ρ1,H1
Vs2,Vp2,ρ2,H2
Vs3,Vp3,ρ3,H3
Frekans
Şekil 3.6 Verilen tabakalı modelden yüzey dalgasının yayılım özelliklerinin tahmin
edilmesi
Kuramsal dispersiyon eğrisi ile ölçülen dispersiyon eğrisi karşılaştırılır. Eğriler
arasındaki benzerlik yeterli ise kurulan yeraltı modelindeki parametrelerin gerçek
yeraltını ve katmanların özelliklerini temsil ettiği kabul edilir ve aranan çözüm
bulunmuş olur. Bu amaç için ReMi yöntemiyle toplanan verilerden elde edilen Rayleigh
yüzey dalgası faz hızlarını ifade eden kuramsal fonksiyonun saptanması gereklidir. Bu
ise bizi tabakalı ortamda Rayleigh dalga yayınım denkleminin eldesine ve denklemin
çözümüne götürür (EK 6). Rayleigh dalga denkleminin eldesi bu tezin ekinde ayrıntılı
olarak incelenmiş, anlaşılabilirlik açısından en temel konulardan başlanarak Rayleigh
dalga denklemi elde edilmiştir. Bu maksatla EK 1, EK 2 ve EK 3’de sırasıyla gerilme
analizi, deformasyon analizileri ve ikisi arasındaki bağıntılar açıklanmıştır. Kurulan
modelin parametreleştirilmesi işleminde kullanılan Lame katsayıları ve elastik
parametrelerin ifadesi EK 4’de verilerek ekler arasındaki konu bütünlüğü kaybolmadan
açıklanmıştır. EK 5’de hareket denkleminin çıkartılması ve EK 6’da Rayleigh dalga
denkleminin eldesi ve çözümü verilmiştir.
23
4. YÜZEY DALGASI DİSPERSİYON VERİLERİNİN TERS ÇÖZÜMÜ
Ters-çözüm
yöntemleri
izleyen
bölümlerde
Başokur’dan
(2002)
yararlanarak
özetlenmiştir. Ölçülen bir veri kümesinden parametre değerlerinin hesaplanması ters
çözüm olarak adlandırılır. Veri ile parametreler arasındaki ilişkilere bağlı olarak
problemler doğrusal olmayan ve doğrusal olmak üzere ikiye ayrılır. Yüzey dalgası
kayıtlarından elde edilen dispersiyon eğrisinden katman parametrelerinin bulunması
doğrusal olmayan bir ters çözüm işlemidir. Bu ters çözüm işleminde model
parametrelerinden kuramsal veri elde edilir ve kuramsal ile ölçülen veri arasındaki
farkın en az olması sağlanmaya çalışılır. Bu ölçüt gerçekleşmez ise model parametreleri
belirli yöntemlere göre değiştirilerek tekrar kuramsal veri hesaplanır. Bu işlemler
kuramsal ile ölçülen veri arasındaki uyumun istenen ölçütlere uygunluğu sağlanana
kadar devam eder. İşlem sonunda elde edilen model parametrelerinin yer altını temsil
varsayılır.
Model parametrelerinin çözümü, ölçülen veri sayısına, ölçüm yöntemlerine, gürültü
içeriğine, kullanılan modele ve ters çözüm algoritmalarına bağlı olarak değişiklik
gösterebilir.
4.1 Çakışma Ölçütü ve Parametre Ayırımlılığı
Ters çözüm işleminde kuramsal ile ölçülen verilerin çakışma ölçütü hata enerjisiyle
denetlenir:
Ek ( p) =
n
∑
i =1
k
(d i − fi ) .
(4.1)
Burada, k tamsayı olup, problemin çözümü boyunca sabit tutulur. n veri sayisi, di
ölçülen veri, fi kuramsal veridir. k=2 olursa en küçük kareler yöntemi adını alır. k=1
olursa, yöntem en küçük mutlak değerler adını alır. Bu yöntemde çakıştırma işlemi
eğrinin genel davranışına uygun olacak şekilde yapılır. Aşırı sapmalardan fazla
etkilenmez. Çakıştırma işlemi tüm veri üzerinde gerçekleştirilmeye çalışılır. Ancak
24
veride aşırı sapması bulunan ölçüm değerleri var ise, çakıştırma işlemi bu değerleri de
dikkate alacaktır. En küçük kareler yönteminin verideki saçılmalardan etkilenmesini en
aza indirgemek için veri değerleri ağırlıklandırılır. O halde (4.1) eşitliği,
Ek ( p) =
n
∑
w i .( d i − f i )
i =1
k
(4.2)
şeklinde yazılabilir.
4.2 Doğrusal Olmayan Problemlerin Ters Çözümü
Veri ve parametreler arasındaki ilişki, bir dizey çarpımı olarak ifade edilemiyorsa bu tür
problemler Doğrusal Olmayan (non linear) Problemler olarak adlandırılır (Başokur
2002). Bu durumda parametreler doğrudan hesaplanamaz. Model parametreleri için bir
varsayım yorumcu tarafından yapılır ve ön-kestirim parametreleri olarak anılır. Eğer
gerçek parametre ile ön-kestirim parametreleri arasındaki farklar hesaplanabilirse, önkestirim değerlerine bir düzeltme uygulanarak gerçek parametre değerlerine bir
yaklaşım sağlanabilir. Örnek olarak iki parametreli bir problemde, yapılan önp10 ve p 20 olsun. Bu değerlerin gerçek parametrelerden farkları
kestirimler sırasıyla
Δp1 ve Δp 2 hesaplanabilir ise, gerçek parametre değerlerine bir yaklaşım,
p1 = p10 + Δp1
p2 = p 20 + Δp 2
bağıntısı ile bulunabilir. Genel bir gösterimle dizey şeklinde yazacak olursak,
p1
p10
Δp1
p2
0
2
Δp 2
p m0
+.
.
Δp m
.
.
pm
P
=.
.
mx1
mx1
mx1
25
ve simgesel olarak,
p = p0 + Δp
(4.3)
yazılabilir. Burada; p parametre dizeyi, p0 ön-kestirim dizeyi, Δp ön-kestirimlere
uygulanması
gereken
düzeltme
miktarlarını
içeren
dizeydir.
Δp değerlerinin
hesablanma türlerine göre ters çözüm problemleri sınıflandırılmıştır. Bunlardan Gaus
Newton Yöntemi ve Sönümlü En Küçük Kareler yöntemi bu tez içinde anlatılacaktır.
4.2.1
Gauss-Newton yöntemi ile ters çözüm
Yöntem Başokur’dan (2002) yararlanılarak özetlenecektir. Bu yöntem, hata enerjisini
hesaplamak için gereken f(xi;p) kuramsal veriler hakkında bir yaklaşım yapılması ile
doğrudan çözüm noktasına ilerleme temelinde geliştirilmiştir. Başlangıçta, parametreler
bilinmediğinden f(xi;p) kuramsal verilerinin hesaplanması mümkün değildir. Bu nedenle
gerçek parametre değerleri ile ön-kestirim parametre değerlerinin birbirine çok yakın
olduğu düşünülür ve f(xi;p) fonksiyonu Taylor serisine açılarak doğrusal hale
dönüştürülür;
m
f ( xi ; p)= f ( xi , p 0 ) + ∑
j
∂f ( xi , p 0 )
( p j − p 0j ) + Y
∂p 0j
i=1,2,....,n
(4.4)
yazılabilir. Burada Y tüksek mertebeli türevler olup ihmal edilir. f(xi,p) gerçek
parametrelere karşılık gelen kuramsal veridir. Ancak parametreler bilinmediğinden
hesaplanamaz. f(xi,p0) ön-kestirim parametrelerin yerine konmasıyla elde edilecek
kuramsal veridir ve hesaplanabilir. m parametre sayısı, xi yatay eksen değerleri, n ise
veri sayısıdır. m adet parametre ve n adet yatay eksen değeri için (4.4) eşitliği açıkca
yazılırsa,
26
f ( x1 ; p )= f ( x1 , p 0 ) +
∂f ( x1 , p 0 )
∂f ( x1 , p 0 )
∂f ( x1 , p 0 )
0
0
−
+
−
+
+
p
p
p
p
(
)
(
)
...
( p m − p m0 )
1
1
2
2
∂p10
∂p 20
∂p m0
f ( x 2 ; p )= f ( x 2 , p 0 ) +
∂f ( x 2 , p 0 )
∂f ( x 2 , p 0 )
∂f ( x 2 , p 0 )
0
0
−
+
−
+
+
p
p
p
p
(
)
(
)
...
( p m − p m0 )
1
1
2
2
0
0
0
∂p1
∂p 2
∂p m
...
....
f ( x n ; p )= f ( x n , p 0 ) +
...
...
∂f ( x n , p 0 )
∂f ( x n , p 0 )
∂f ( x n , p 0 )
0
0
−
+
−
+
+
(
p
p
)
(
p
p
)
...
( p m − p m0 )
1
1
2
2
∂p10
∂p 20
∂p m0
denklem sistemi elde edilir. Bu sistem dizey formunda yazılır ise,
f ( x1 ; p )
f ( x1 ; p 0 )
f ( x2 ; p)
f ( x2 ; p 0 )
...
f ( x3 ; p )
=
...
...
f ( x n ; p ) nx1
+
...
...
...
0
f ( xn ; p )
∂f ( x1 ; p 0 )
∂p 20
∂f ( x 2 ; p )
∂p10
∂f ( x 2 ; p )
∂p 20
0
0
f ( x3 ; p )
∂f ( x1 ; p 0 )
∂p10
......
∂f ( x 2 ; p )
∂p m0
0
...
...
...
...
...
...
...
∂f ( x n ; p )
∂p10
∂f ( x n ; p )
∂p 20
p1 − p10
0
...
...
0
nx1
......
∂f ( x1 ; p 0 )
∂p m0
p 2 − p 20
.
......
∂f ( x n ; p )
∂p m0
...
...
p m − p m0
0
0
...
nxm
elde edilir. Kısa gösterim amacıyla,
f = f0 + AΔp
(4.5)
yazılabilir. Buradaki A kuramsal fonksiyonun parametrelere göre türevini içerir ve
Jacobian dizeyi adı verilir. d ölçülen veri dizeyi olmak üzere, hata enerjisi ölçülen ile
kuramsal veri arasındaki fark olduğundan kısa gösterim amacıyla,
e=d–f
(4.6)
yazılabilir. Bu eşitlikte (4.5) eşitliği yerine yazılırsa,
e= d – f0 - AΔp
(4.7)
27
mx1
Δd = d- f0 olmak üzere
e = Δd – A.Δp
(4.8)
yazılabilir. Bu sonucu (4.1) hata enerjisi eşitliğinde yerine yazılırsa,
n
E ( p ) = ∑ ( d i − f ( xi ; p )) 2 = ( d − f ) T ( d − f ) = e T .e = ( Δd − AΔp ) T ( Δd − AΔp )
(4.9)
i =1
elde edilir. Hata enerjisini en küçükleyen parametreleri bulmak için, hata enerjisinin
aranan parametreye göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenirse, veri sayısının parametre
sayısından büyük olduğu (n >m) aşırı tanımlı problem için çözüm,
∂E ( p)
= − Δd T A − AT Δd + AT AΔP + AT Δp T A = 0
∂Δp
bu eşitlikte aşağıdaki özellikleri uygularsak,
ΔdTA=ATΔd
ATAΔp=AATΔpT
ise,
− ΔdAT − AT Δd + AT AΔP + AΔpAT = 0
eşitliği düzenlenirse,
Δp = (ATA)-1ATΔd
(4.10)
denklemi ile elde edilir (Menke 1984). Bu eşitlikte A jacobian dizeyi ve Δd bilindiği
için Δp kolayca bulunabilir. Δp bulunduktan sonra (4.3) eşitliğinden gerçek
28
parametreler hesaplanır ve bu parametrelerden kuramsal veriler bulunur. Ancak çakışma
ölçütü yeterli değilse yeni bulunan parametreler ön-kestirim parametresi olarak alınır ve
işlemler tekrarlanır. (4.10) eşitliğinde (ATA) tersini alma sırasında sayısal doğruluğu
sağlamak biraz güçleşebilir. Bu durumda Tekil Değer Ayrışım Yöntemi (SVD)
kullanılır.
4.2.2
Sönümlü en küçük kareler yöntemi ile ters çözüm
Veri bazı parametrelerin çözümü için tam bilgi içermiyorsa Jacobian dizeyinin bu
parametrelere karşılık gelen sütunları sıfıra yakın olur. Bu parametrelere ait özdeğerler
de sıfıra yakın olur. Yineleme sırasında küçük özdeğerlerin neden olduğu salınımların
sönümlenmesi gerekir. (4.10) eşitliğinde ATA dizeyinin köşegenlerine dizeyin
özelliğine göre seçilen bir sayısal değer eklenerek,
Δp= (ATA + ε2I)-1ATΔd
(4.11)
elde edilir (Lines and Treitel 1984). Bu çözüm Levenberg-Marquardt ters çözümü ya da
sönümlü en küçük kareler adını alır. Bu bağıntıda I birim dizey, ε2 gerçel bir sayı ve
sönüm faktörü olarak adlandırılır (Levenberg 1944, Marquardt 1963). Sönüm
faktörünün alabileceği değerler, sıfır veya göreceli olarak özdeğerlerden büyük bir sayı
olabilir. Eğer sönüm faktörü büyük ise En Dik İniş Yöntemi’ne benzer şekilde sonuca
gidilir. ε2 = 0 olursa Gauss-Newton yöntemi olarak sonuca ulaşılır.
Doğrusal ve doğrusal olmayan problemleri veri sayısı ve parametre sayısına göre
sınıflandırılır. Eğer veri sayısı parametre sayısından büyük ise verinin parametreyi
çözmek için gerekli bilgiyi kapsadığı varsayılır ve problem aşırı tanımlı problem adını
alır. Veri sayısı parametre sayısına eşit ise tam tanımlı, veri sayısı parametre sayısından
küçükse problem parametreleri çözmek için gerekli bilgiyi kapsamadığından eksik
tanımlı olarak adlandırılır (Menke 1964).
29
Doğrusal olmayan problemin, karışık tanımlı bir problem olduğu düşünülebilir.
Uygulamada birçok problem karışık tanımlıdır. Veri sayısının model parametrelerinin
sayısından büyük olması problemin aşırı tanımlı olmasını gerektirmez. Parametrelerin
bazıları tam çözülürken bazılarının çözümü tam değildir. Bu durumda hata enerjisi ve
çözüm uzunluğunun bir bileşimi en küçüklenmeye çalışılır. O zaman en küçüklenecek
amaç fonksiyonu,
ϕ ( p) = E ( p) + ε 2 L
(4.12)
olarak tanımlanabilir. Burada ε2 sabiti E(p) veya L ye verilen görecel önemi saptar. ε
büyük ise problemin eksik tanımlı kısmı en küçüklenecektir. Eğer ε sıfırsa, hata enerjisi
en küçüklenecek fakat model parametreleri hakkında ön bilgi eklemek mümkün
olmayacaktır. Fakat hem E(p) hem de L yi en küçükleyen bir ε değeri deneme yanılma
yöntemi ile bulunabilir. Burada probleme eklenen ön bilginin,
L=ΔpTΔp
(4.13)
bağıntısının enküçüklenmesi olduğu düşünülür. Hata enerjisi bağıntısı ise,
E(p)=(d-f)T(d-f) = (Δd-AΔp)T(Δd-AΔp)
(4.14)
eşitliğini (4.12) eşitliğinde yerine yazılırsa,
ϕ ( p) = (Δd − AΔp) T (Δd − AΔp) + ε 2 Δp T Δp
(4.15)
elde edilir. Bu eşitlikte aranan Δp olduğundan, ϕ(p) ‘nin Δp ye göre türevi alınır. Δp
bulunduktan sonra gerçek parametre p hesaplanabilir. Çakışma ölçütü yetersiz kalırsa
hesaplanan parametreler ön-kestrim yapılarak işlem tekrarlanır. (4.15) eşitliğinin Δp’ye
göre türevi alınır ise,
ϕ ( p) = Δd T Δd − Δd T AΔp − AT Δp T Δd + AT Δp T AΔp + ε 2 Δp T Δp = 0
30
∂ϕ ( p)
= − Δd T A − AT Δd + AT Δp T A + AT ΔpA + ε 2 Δp T + ε 2 Δp = 0
dΔp
(4.16)
elde edilir. Dizey çarpım özellikleri kullanılarak,
ΔdTA=ATΔd
ATAΔp=ΔpTATA
ε2Δp=ε2ΔpT
eşitlikleri göz önüne alınır ve (4.16) düzenlenir ise,
ATAΔp+ε2Δp=ATΔd
(4.17)
elde edilir. Buradan, I birim dizey olmak üzere,
[
Δp = AT A + ε 2 I
]
−1
AT Δd
(4.18)
eşitliği elde edilir (Menke 1984). Model parametrelerinin bu yöntemle bulunmasına
sönümlü en küçük kareler yöntemi adı verilir.
Parametre çözümünü etkileyen önemli bir etken de verilerin gürültü içeriğidir. Ölçme
koşullarından kaynaklanan iki tür gürültü vardır. Rastgele gürültüler ve sistematik
gürültüler (Bevington 1969). Ölçüm aygıtlarının duyarlılığının sınırlı olması, rastgele
gürültülerin başlıca kaynağıdır. Ölçüler, değişkenin bir değeri için yinelenir ise, ölçü
değerlerindeki görecel belirsizlik istatistik analiz yardımı ile ölçü değerlerinin standart
sapmaları kullanılarak temsil edilebilir. Standart sapmalar ile ters orantılı ağırlık
katsayıları ile veri değerlerinin çarpılması ile gürültülü içeriği fazla olan veri
değerlerinin ters-çözüm sonuçlarına daha az etki etmesi sağlanabilir. Sistematik
yanılgılar, ölçüm sisteminin kalibrasyonunun yanlış yapılmasından, ölçüm aygıtlarının
yanlış
konumlara
yerleştirilmesinden, ölçü sistemi ile ona bağlı aygıtların
bağlantılarının kötü veya yanlış yapılmasından ve gözlemcinin yaptığı gözlem
31
yanılgılarından oluşur. Bu koşullarda, istatistik analize başvurmak, genellikle kullanışlı
değildir. Ölçülerin tekrar edilmesi, ölçülerin duyarlılığını (precision) arttırmakla birlikte
doğruluğunu (accuracy) arttırma konusunda yardımcı olmaz (Başokur 1999).
Dispersiyon eğrileri genellikle p-f düzleminde işaretleme ile elde edildiğinden
yorumcudan veya veri-işleme tekniğinden kaynaklanan yanılgılar sistematik yanılgılar
şeklinde ortaya çıkabilir. Bu açıdan Başokur (1999) tarafından geliştirilen ve hem
rastgele hem de sistematik yanılgıları dikkate alan ağırlık atama yöntemi geliştirilen
algoritmaya eklenmiş ve izleyen bölümde açıklanmıştır.
Ağırlık katsayılarının belirlenmesi ile ters-çözüm işlemi izleyen bağıntı ile
gerçekleştirilir:
[
Δp = ( Aw) T ( Aw) + ε 2 I
]
−1
( Aw) T ( wΔd )
(4.19)
Burada, w köşegenlerinde ağırlık katsayılarını kapsayan bir dizeydir. Bu tezde verilen
örneklerin çözümünde ve geliştirilen program kodlarında (4.19) eşitliği kullanılmıştır.
4.3 Ağırlık Katsayılarının Hesaplanması
Ağırlık katsayılarının hesaplanması Başokur’dan (2002) özetlenmiştir. Önerilen
yöntemde veriye ağırlık katsayısının atanması, bir yuvarlatma işlemi sonucundan
yararlanılarak gerçekleştirilir. Yuvarlatma işlemi ölçülen veriden daha az gürültü
kapsayan verinin elde edilmesi olarak tanımlanabilir. Bu tezde kullanılan yöntem m adet
kuramsal fonksiyonun doğrusal bileşiminin, ölçülen verinin sayısal değerlerine
yaklaştırılması temeline dayanır. O halde yaklaştırma fonksiyonu,
m
y ( xi ) = ∑ b j g ( x i ; ε j )
i = 1,2,...., n
(4.20)
j =1
32
olarak tanımlanır. Bu eşitlikte n veri sayısı, m çakıştırma fonksiyonlarının sayısıdır. εj
çakıştırma fonksiyonlarının yatay eksen boyunca yerleşmesini sağlar ve çakıştırma
fonksiyonunun sayısı ile kullanılan frekansın aralığına bağlı olarak önceden saptanır.
Böylece (4.20) eşitliği di ölçü değerlerine bir yaklaşım sağlayan yi kuramsal verilerine
karşılık gelir. bj katsayıları ise bilinmeyen katsayılar olup kuramsal veriyi ölçülen veriye
yaklaştıran katsayılar olarak anılır ve hesaplanması gerekir. bj ayrıştırma katsayıları
adını alır (Santani and Zambrano 1981).
(4.20) eşitliğindeki g(x;ε) çakıştırma fonksiyonu verinin davranışına benzerlik gösteren
bir fonksiyon olarak seçilmelidir. Sayısal hesaplamaları yürütmek için ε1=0.5x1 ve
εm=xm olarak alınır. x1 ve xm sırasıyla en büyük ve en küçük yatay eksen değerleridir.
Diğer εj katsayıları çakıştırma fonksiyonları yatay eksen üzerinde homojen dağılacak
şekilde hesaplanır. (4.20) eşitliğini dizey formunda yazılıp bj katsayıları hesaplanırsa;
g ( x1 ; ε 1 ) g ( x1 ; ε 2 ) L g ( x1 ; ε m )
y ( x1 )
y( x2 )
M
y ( x n ) n*1
=
b1
g ( x2 ; ε 1 ) g ( x2 ; ε 2 )L g ( x2 ; ε m )
M
M
.
M
g ( x n ; ε 1 ) g ( x n ; ε 2 ) L g ( x n ; ε m ) n*m
b2
M
bm
(4.21)
m*1
elde edilir. kısa gösterimle yazılacak olursa;
y = G.b
(4.22)
elde edilir. bj katsayıları ölçülen veri ile kuramsal verinin çakışmasını sağlayan
katsayılar olduğundan, hesaplamak için hata enerjisinden faydalanılır ve
d1 − y ( x1 )
en
en
=
M
en
n*1
d 2 − y( x2 )
(4.23)
M
d n − y ( x n ) n*m
33
eşitliği ölçülen veri ile kuramsal veri arasındaki farklar olmak üzere ve w ağırlık
katsayıları da hata enerjisi içerisine katılırsa;
E(b)=eTe = w(d-y)T(d-y)
(4.24)
E(b)=w(d-Gb)T(d-Gb)
(4.25)
E(b)=wTdTd-wTdTGb-wGTbTd + wGTbTGb
(4.26)
elde edilir. b katsayılarına göre türev alınıp sıfıra eşitlenirse,
∂E (b)
= − w T d T G − wG T d + wG T Gb + wGG T b T = 0
db
b = [(wG)TGw]-1(Gw)Td
(4.27)
elde edilir. (4.22) eşitliğinde b yerine yazılırsa,
y = G[(wG)T(Gw)]-1(Gw)Td
yaklaştırma
fonksiyonunun
(4.28)
değerleri
elde
edilir.
y
yaklaştırma
fonksiyonu
hesaplanırken ağırlık katsayıları bire eşit alınıp, b katsayıları hesaplanır. Algoritma
ikinci kez yinelenir ve ikinci b katsayılarının hesaplanmasında izleyen ağırlık katsayıları
kullanılır:
⎛ (d − y ) 2 ⎞
wi = exp⎜⎜ − i 2 i ⎟⎟
α
⎝
⎠
(4.29)
Burada α biçim katsayısı olup,
α=
2 n
∑ d i − yi
n i =1
(4.30)
34
olarak elde edilir. Bu katsayı, verinin tamamına ait gürültü bilgisini, bir yatay eksen
değerine ait verinin ağırlık katsayısının hesaplanmasına aktarır. Bu eşitlikte di ölçülen
veri, yi yaklaştırma fonksiyonundan elde edilen veri, n veri sayısıdır. (4.29)
bağıntısından görülebileceği gibi ölçülen ve kuramsal veri birbirine yakın ise wi
katsayıları bire yakın, çok farklı ise sıfıra yakın değerler çıkar. Bu işlemin amacı gürültü
ve ölçü yanılgılarının veya modelden sapmaların fazla olduğu ölçü değerlerinin
hesaplamalara etkisinin azaltılmasıdır (Başokur vd. 1997a, Başokur 1999).
Ters-çözüm işleminde kullanılan katsayılar ise yukarıda açıklanan yuvarlatma işleminin
sonucunda
hesaplanan
yuvarlatılmış
değerler
bağıntılarından yeniden elde edilir.
35
kullanılarak,
(4.29)
ve
(4.30)
5. MATERYAL VE YÖNTEM
Bu tezde,
kurulan yeraltı modeli ve model parametrelerinden düz çözüm yaparak
kuramsal dispersiyon eğrisinin hesaplanması için PROGRAMM 330 (Herrmann 2002)
yazılımının düz çözüm yapan kısımları yeniden derlenmiştir. Program giriş olarak
yeraltı model parametrelerini (H,Vp,Vs,ρ), periyodun fonksiyonu olarak ölçülen
dispersiyon verilerini kullanır. Kalınlıklar km, hız km/sn ve yoğunluk g/cm olarak
girilir. Rayleigh dalga hızını tabakalı ortam için hesaplayıp, sınır koşullarını
uyguladıktan sonra verilen dalga sayısı ve frekans için Rayleigh dalga denkleminin
köklerini sıfır yapma koşuluna bakılır. Bu koşulu sağlayan frekans/periyoda karşılık faz
hızı bulumuş olur. Bu veriler daha sonra Arnason ve Hersir’in (1988) özdirenç verileri
için düzenlediği Sönümlü En Küçük Kareler ters çözüm programı SLINV ‘e giriş verisi
olarak aktarılır. Bu program dispersiyon eğrilerinin ters çözümünü yapacak şekilde
yeniden düzenlenmiştir. İki ayrı program PROGRAMM 330 ve SLINV kodları yeniden
derlenip veri giriş çıkışları ve sonuçların grafiksel ortamda görüntülenebilmesi ayrıca
veri değerlendirme sırasında ayrıntılı yorum yapma fırsatı tanıyan Visual Basic
ortamında yazılmış bir etkileşimli arayüzey programı (Interactive Surface Wave and
Inversion - ISWI) geliştirilmiştir (Şekil 5.1).
Şekil 5.1 ISWI Yüzey dalgalarının modellenmesi, düz ve ters çözümünü birleştiren
program
36
ISWI programı ile dispersiyon eğrisinin düz/ters çözümü için gerekli yeraltı model
parametreleri interaktif olarak girilebilir. Vs, hız değerlerine göre tabakalar
renklendirilerek görsel olarak birimler arasındaki hız süreksizliklerinin ayırt
edilebilmesi sağlanır. Ölçülen veriler, düz çözüm ile hesaplanan kuramsal veri ve ters
çözüm sonunda elde edilen veriler, ters çözümün her yineleme adımında tekrarlanmak
üzere aynı grafik üzerinde çizdirilmiştir. Böylece her yineleme sırasındaki ters çözümün
yakınsama hızı hakkında bilgi toplanabilmektedir. Ters çözümün her aşamasında model
parametrelerindeki değişimde yansıtılır ve derinliğe bağlı Vs hız değişimi de (ReMi
yöntemi sonucunda ulaşılmaya çalışılan parametrelerdir) her yinelemede grafiklenir.
Bu tezde Sönümlü En Küçük Kareler yönteminde ağırlık katsayıları için Başokur’un
(1999) yazılımı kullanılmıştır. Ağırlık katsayılarının bulunması da ISWI programı
içerisinde etkileşimli olarak gerçekleştirilir. Çakışma fonksiyonların sayısı yorumcu
tarafından değiştirilebilir ve uygun görülen fonksiyon sayısından elde edilen ağırlık
katsayıları ters çözüme katılır (Şekil 5.2).
Şekil 5.2 Ağırlık katsayılarının hesaplanması
37
6. TERS ÇÖZÜM UYGULAMALARI
Bu tezde periyoda karşılık gelen faz hızlarının (dispersiyon) ters çözümü tabakalı ortam
için gerçekleştirilmiştir. Bir boyutlu yeraltı modeli oluşturulup model parametresi
olarak H tabaka kalınlığı, Vp tabakanın P dalga hızı, Vs tabakanın S dalga hızı, ρ tabaka
yoğunluğu alınmıştır. Dispersiyon eğrileri Vs hızından aşırı derece etkilendiğinden Vp
hızı Vs hızının 1.73 katı olarak hesaplanmıştır. ρ, bütün katmanlar için sabit tutulup
model sadece Vs ve H parametrelerine bağlı olacak şekilde parametreleştirilmiştir. Bu
p0 ön-kestirim parametrelerinden,
F (k , ω ) ≡ det R11 = 0
(EK 6.18)
eşitliğini sıfır yapan k dalga sayısı ve w açısal hız değerleri bulunur ve periyoda karşılık
gelen kuramsal faz hızı kolayca hesaplanır. (4.29) eşitliğinden ağırlık katsayıları, (4.19)
eşitliğinden parametre artış miktarı Δp ve yeni model parametreleride p = p0 + Δp
eşitliğiyle hesaplanır. Ancak burada A Jacobian dizeyinin hesabı çözümün başarısında
önemli rol oynar. Model parametrelerine göre türev eşitlikleri Lai and Rix’de (1998)
ayrıntılı olarak verilmiştir. Bu yöntem daha güvenilir bir sonuç üretir. Bir başka yöntem
de sayısal türev yöntemidir. Bu tezde sayısal türev yöntemi kullanılmıştır ve faz
hızlarının tabaka kalınlık ve S dalga hızlarına göre türevi izleyen eşitlikte verilmiştir:
∂Vr Vr ( p s + Δp s ) − Vr ( p s )
=
,
dp s
Δp s
(6.1)
⎛ V ( p + Δp H ) − Vr ( p H ) ⎞
∂Vr
⎟⎟ .
= p H ⎜⎜ r H
∂ log( p H )
Δp H
⎝
⎠
(6.2)
Burada, Vr Rayleigh dalgası faz hızı, ps S hızına bağlı parametreyi, pH tabaka kalınlığına
bağlı parametreyi gösterir. Δp ise ilgili parametreye eklenen belirli yüzde değişim
miktarını gösterir. Jacobian dizeyinde sadece Vs hızı ve H kalınlık parametrelerinin
türevleri bulunur. Jacobian dizeyi hesaplandıktan sonra (4.19) eşitliğiyle Δp’ler
38
hesaplanarak kuramsal veri tekrar (EK 6.18)’deki bağıntının çözümüyle elde edilir. Bu
işlem ölçülen ve kuramsal veri arasındaki yakınsama sağlanana kadar devam eder. En
son yineleme sonucunda elde edilen model parametreleri ölçülen verileri temsil eden,
çözümü aranan parametrelerdir. Böylece ReMi yönteminden elde edilen dispersiyon
verilerinin ters çözümü yapılarak yer altına ait derinlik ve makaslama hızı Vs bilgileri
elde edilmiş olur (Şekil 6.1).
Şekil 6.1 Vs hızlarının derinlikle değişimi
6.1 Yapay Veri İçin Modelleme
Yapay veri üretmek için, öncelikle bir boyutlu model oluşturulur. İstenen sayıda katman
bu modele eklenir. Katman parametreleri tanımlandıktan sonra, bu model ortamında
Rayleigh dalgası yayınım denklemi çözülür. Çıkan sonuçlar bize modelin yanıtını verir
ve düz çözüm olarak adlandırılır. Arazide yapılan ölçümler, düz çözümden elde edilen
veriler kadar düzgün değildir. Bunun nedeni, gerçek yeraltının homojen bir yapıda
olmaması, veri toplama esanasında kişiden, cihazdan vb. kaynaklanan hatalar
bulunmasıdır. Bu nedenle yapay verilerin gerçeğe yakın olmasını sağlamak amacıyla
verilere gürültü eklenir. Yapay veri modellemesinde kullanılan örnekteki verilere, 0-1
arasında rastgele üretilmiş sayılar gürültü olarak eklenmiştir.
39
6.1.1 Derinlikle artan hız modeli ve yapay verisi
Yapay veri elde etmek amacıyla oluşturduğumuz yeraltı modeli için dört adet tabaka,
homojen izotrop yarı sonsuz uzay içine eklenmiş, yoğunluk sabit tutularak kalınlık ve S
dalga hızı giriş olarak verilmiştir. P dalga hızı S hızından hesaplanmıştır (Çizelge 6.1).
Çizelge 6.1 Derinlikle artan hız model verisi
Kalınlık (km) Vp(km/sn) Vs(km/sn)
Yogunluk(g/cm)
0.01
0.25981
0.15
2.000
0.015
0.51962
0.3
2.000
0.02
0.77942
0.45
2.000
0.03
129.904
0.75
2.000
0
173.205
1
2.000
Bu modelin düz çözümü için gerekli olan periyot bilgisi rastgele üretilmiştir. Periyot,
düz çözüm sonuçları, eklenecek gürültü miktarı ve elde edilen yapay veri Çizelge 6.2’de
verilmiştir. Elde edilen yapay dispersiyon verisinin grafiği de Şekil 6.2’de
görülmektedir.
Şekil 6.2 Düz çözüm verisi mavi sürekli çizgi, yapay veri içi dolu kareler
40
Çizelge 6.2 Periyot, faz hızı, gürültü ve yapay dispersiyon verileri
No
Periyot
(sn)
Faz Hızı
(km/sn)
Yapay Veri
(km/sn)
Gürültü
No
Periyot
(sn)
Faz Hızı
(km/sn)
Gürültü
Yapay Veri
(km/sn)
1 0.007564913 0.1400000
0.0124505
0.1781553
27
0.5428056
0.6600000
0.0416574
0.6939533
2 0.014525055 0.1400000
0.0407445
0.1635849
28
0.5474946
0.6600000
0.0385074
0.6893426
3 0.090077898 0.1400000
0.0061175
0.1859997
29
0.5539962
0.6700000
0.0066315
0.707045
4 0.105580168 0.1500000
0.0032324
0.1805809
30
0.646162
0.7300000
0.0465071
0.7327672
5 0.114153283 0.1500000
0.0193405
0.1655707
31
0.670607
0.7400000
0.0065559
0.7848419
6 0.144340768 0.1600000
0.0034781
0.1643229
32
0.6933674
0.7500000
0.0228791
0.7887215
7 0.156147911 0.1700000
0.0306886
0.2021702
33
0.7168609
0.7600000
0.0420591
0.7699509
8 0.168387293 0.1900000
0.0238285
0.2300134
34
0.7396744
0.7700000
0.0360891
0.7758904
9
0.19574985 0.2200000
0.0078010
0.2696772
35
0.7399619
0.7700000
0.0057963
0.8050011
10
0.20540439 0.2300000
0.0238109
0.2614264
36
0.772659
0.7800000
0.0467056
0.8280729
11
0.24303826 0.2700000
0.0146893
0.2894655
37
0.7754585
0.7800000
0.0311919
0.7806351
12 0.286596373 0.3200000
0.0100350
0.3522990
38
0.7820142
0.7800000
0.001448
0.8216037
13 0.308701299 0.3500000
0.0425465
0.3774485
39
0.8245315
0.7900000
0.0390379
0.802339
14 0.310723267 0.3500000
0.0166105
0.3862862
40
0.8295483
0.7900000
0.006881
0.801501
15 0.325876676 0.3700000
0.0194080
0.3949543
41
0.8343496
0.7900000
0.0430859
0.8072947
16 0.338671966 0.3900000
0.0271672
0.3934634
42
0.8357939
0.8000000
0.0398923
0.8351397
17 0.358746425 0.4200000
0.0014832
0.4382510
43
0.8618903
0.8000000
0.0419437
0.8304933
18
0.37293789 0.4400000
0.0190246
0.4540778
44
0.8663584
0.8000000
0.0275309
0.8147205
19 0.376792795 0.4500000
0.0419925
0.4622598
45
0.8743029
0.8000000
0.0467587
0.8310105
0.8272508
20 0.396597538 0.4800000
0.0272611
0.5205510
46
0.8964075
0.8100000
0.0059501
21 0.448298697 0.5500000
0.0472169
0.5799033
47
0.9355579
0.8100000
0.003436
0.8401911
22 0.459967027 0.5700000
0.0027479
0.6185001
48
0.9429349
0.8100000
0.0491491
0.8590652
23 0.487845163 0.6000000
0.0354640
0.6493573
49
0.9528323
0.8200000
0.0019029
0.8646124
24
0.49518229 0.6100000
0.0042842
0.6360094
50
0.9667858
0.8200000
0.0271145
0.8204566
25 0.502620606 0.6200000
0.0284791
0.6561130
51
0.9772615
0.8200000
0.0023742
0.8396813
26 0.506335835 0.6200000
0.0277129
0.6358106
52
0.984327
0.8200000
0.0123553
0.8573546
Üretilen yapay dispersiyon verisini gerçek ölçüm verisi gibi kabul edip, ters çözüm
uygulayarak başlangıç modelini elde edebiliriz. Eğri üzerindeki değişim noktalarını göz
önüne alarak kabaca ön-kestirim modeli belirleyebiliriz (Çizelge 6.3).
Çizelge 6.3 Yapay verinin çözümü için seçilen ön-kestirim modeli
Kalınlık (km)
Vp(km/sn)
Vs(km/sn)
Yogunluk(g/cm)
0.008
0.17321
0.1
2.000
0.01
0.60622
0.35
2.000
0.015
103.923
0.6
2.000
0.04
147.224
0.85
2.000
0
173.205
1
2.000
41
Bu modelin ters çözümü sonucunda elde edilen dispersiyon eğrisi ve Vs hız profili Şekil
6.3’de görülmektedir.
Şekil 6.3 Soldaki şekilde mavi ile görünen ön-kestirim model yanıtı, pembe ile görünen
sonuç model yanıtıdır. Sağdaki şekilde Vs hız profili görülmektedir
Ters çözüm sonuçlarına 7 yineleme sonunda ulaşılmış ve en son elde edilen model
parametreleri de Çizelge 6.4’de verilmiştir.
Çizelge 6.4 Yapay verilerin ters çözümü sonunda elde edilen model parametreleri
Kalınlık (km)
Vp(km/sn)
Vs(km/sn)
Yogunluk(g/cm)
0.0082
0.2818
0.1627
0.0136
0.468
0.2702
2.000
2.000
0.0191
0.6438
0.3717
2.000
0.0333
152.628
0.8812
2.000
0
173.205
1
2.000
Çıkan sonuçlar, Çizelge 6.1’deki verilerle karşılaştırıldığında sonuçlardaki başarılı
yakınsama görülebilir. Çözümün başarısı araştırma derinliğine ve çalışmanın amacına
göre değerlendirilmelidir. Her ne kadar Vs hızları arasında rakamsal olarak fark
görünüyor gibi olsa da tabaka derinlikleri ve hız değerleri incelendiğinde bu farkların
göz ardı edilebilir olduğu kolayca görülebilir.
42
6.2 Arazi Verisi Uygulaması
Bu kısımda, arazide yapılan üç uygulama ölçümlerinden elde edilen dispersiyon
verisinin çözümü incelenmiştir.
I. Uygulama : Çizelge 6.5’de Bolu yöresinde yapılan bir arazi çalışmasından ReMi
yöntemiyle elde edilen, periyoda bağlı Rayleigh dalgası faz hızı verileri görülmektedir.
Çizelge 6.5 Periyod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri
VERİ
VERİ
Veri sayısı Periyot (sn) Faz Hızı (km/sn) Veri sayısı Periyot (sn) Faz Hızı (km/sn)
1
0.05769
0.23095
24
0.11378
0.3003
2
0.06302
0.24039
25
0.11703
0.3003
3
0.064
0.23095
26
0.12047
0.3003
4
0.06827
0.24039
27
0.12412
0.31646
5
0.06827
0.24039
28
0.128
0.33333
6
0.06943
0.25
29
0.13653
0.33333
7
0.07186
0.24039
30
0.14124
0.33333
8
0.07315
0.24039
31
0.15171
0.33333
9
0.07448
0.25
32
0.16384
0.35336
10
0.07448
0.25
33
0.17809
0.37594
11
0.07586
0.24039
34
0.18619
0.37594
12
0.07729
0.25
35
0.2048
0.37594
13
0.08192
0.2611
36
0.21558
0.4
14
0.0836
0.27322
37
0.22756
0.4
15
0.0836
0.27322
38
0.24094
0.4
16
0.08534
0.27322
39
0.256
0.42919
17
0.08715
0.27322
40
0.27307
0.46296
18
0.09102
0.27322
41
0.29258
0.5
19
0.09309
0.28571
42
0.29258
0.46296
20
0.09526
0.28571
43
0.31508
0.5
21
0.09753
0.28571
44
0.34134
0.54645
22
0.1024
0.28571
45
0.37237
0.60241
23
0.1107
0.3003
46
0.37237
0.60241
47
0.4096
0.66667
43
Bu ölçü eğrilerini temsil eden kuramsal yeraltı modeli ile ters-çözüm sonuç modeli
Çizelge 6.6’da verilmiştir. Bu modelden yola çıkarak verilere ters çözüm uygulanırsa
elde edilen sonuçları; başlangıç, model, sonuç dispersiyon eğrileri ve derinliğe bağlı S
dalga hızı değişimleri olmak üzere grafikleyebiliriz (Şekil 6.4).
Çizelge 6.6 Yeraltı modeli için ön-kestrim ve ters çözüm parametreleri
Ters Çözüm
Modeli
Başlangıç
Modeli
Katman Sayısı Kalınlık (m) Vp (m/sn) Vs(m/sn) Rho (g/cm)
1
11
259.8076
150
2
2
16
606.2178
350
2
3
38
952.6279
550
2
4
0
1732.051
1
2
1
10.1
435
251.1
2
2
19.7
738.8
426.5
2
3
31.8
863
498.3
2
4
0
1732.1
1000
2
Şekil 6.4 Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı ve ölçülen
veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleride sağdaki şekilde
grafiklenmiştir
44
II. Uygulama : Çizelge 6.7’de ikinci uygulama çalışmasının dispersiyon verileri
verilmiştir.
Çizelge 6.7 Peryod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri
VERİ
Veri sayısı
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Periyot (sn)
VERİ
Faz Hızı (km/sn)
0.0836
0.089
0.0931
0.0999
0.1078
0.1205
0.1365
0.1463
0.1517
0.1575
Veri sayısı
0.1333
0.1333
0.1333
0.1412
0.1412
0.1412
0.1502
0.1502
0.1603
0.1848
Periyot (sn)
Faz Hızı (km/sn)
0.1707
0.1781
0.2048
0.2409
0.256
0.2926
0.3151
0.3724
0.4096
0.512
0.5852
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.1848
0.2
0.2404
0.2667
0.2667
0.3003
0.3003
0.3436
0.3436
0.4
0.4808
Bu ölçü eğrilerini temsil eden kuramsal yeraltı modeli ile ters çözüm sonuç modeli
Çizelge 6.8’de verilmiştir. Bu modelden yola çıkarak verilere ters çözüm uygularsak
elde edilen sonuçları başlangıç, model, sonuç dispersiyon eğrileri ve derinliğe bağlı S
dalga hızı değişimleri olmak üzere grafikleyebiliriz (Şekil 6.5).
Çizelge 6.8 Yer altı modeli için ön-kestirim ve ters çözüm parametreleri
Ters Çözüm
Modeli
Başlangıç
Modeli
Katman Sayısı Kalınlık (m) Vp (m/sn) Vs(m/sn) Rho (g/cm)
1
9
173.21
100
2
2
10
519.62
300
2
3
40
692.82
400
2
4
30
866.03
500
2
5
0
1385.6
800
2
1
10.3
251.84
145.4
2
2
9.9
595.31
343.7
2
3
36.3
717.07
414
2
4
28.5
699.75
404
2
5
0
1385.64
800
2
45
Şekil 6.5 Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı ve ölçülen
veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleri de sağdaki şekilde
grafiklenmiştir
III. Uygulama : Çizelge 6.9’da 3. uygulama çalışmasının dispersiyon verileri
verilmiştir.
Çizelge 6.9 Periyod’a bağlı ölçülen faz hızı değerleri
VERİ
Veri sayısı
Periyot (sn)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0546
0.0554
0.0577
0.0602
0.105
0.117
0.1205
0.1241
0.1321
VERİ
Faz Hızı (km/sn)
Veri sayısı
0.1029
0.1029
0.1029
0.1059
0.1441
0.1441
0.1441
0.1441
0.1502
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Periyot (sn)
Faz Hızı (km/sn)
0.1412
0.1517
0.1638
0.256
0.2731
0.2926
0.3413
0.3724
0.4551
0.512
0.1567
0.1715
0.1802
0.3279
0.3279
0.3279
0.361
0.4
0.4505
0.5155
Bu ölçü eğrilerini temsil eden kuramsal yeraltı modeli ile ters çözüm sonuç modeli
Çizelge 6.10’da verilmiştir. Bu modelden yola çıkarak verilere ters çözüm uygularsak
elde edilen sonuçları başlangıç, model, sonuç dispersiyon eğrileri ve derinliğe bağlı S
dalga hızı değişimleri olmak üzere grafikleyebiliriz (Şekil 6.6).
46
Çizelge 6.10 Yeraltı modeli için ön-kestrim ve ters çözüm parametreleri
Ters Çözüm
Modeli
Başlangıç
Modeli
Katman Sayısı Kalınlık (m) Vp (m/sn) Vs(m/sn) Rho (g/cm)
1
9
207.85
120
2
2
15
692.82
400
2
3
15
484.97
280
2
4
0
1212.44
700
2
1
9.4
233.83
135
2
2
29.7
917.99
530
2
3
11.4
449.29
259.4
2
4
0
1212.44
700
2
Şekil 6.6 Modelden elde edilen ön-kestirim model yanıtı, sonuç model yanıtı ve ölçülen
veriler solda, derinliğe bağlı Vs hız değişimleride sağdaki şekilde
grafiklenmiştir
47
7. TARTIŞMA VE SONUÇ
Zayıf zemin koşullarının yarattığı tehlike mühendislik yapılarını ve bu yapılarla beraber
yaşayan insanları tehdit etmektedir. Özellikle aktif deprem bölgelerinde, zeminin
fiziksel koşullarının bilinmesi ve mühendislik yapılarının bu koşullar göz önüne
alınarak gerçekleştirilmesi büyük önem arz eder. Zeminin dayanımı dinamik yük altında
test edilebilir. Buna örnek olarak deprem anında ölçüm yapmak ya da yapay kaynaklar
kullanarak ölçüm yapmaktır. İster doğal ister yapay kaynakla üretilmiş olsun zeminin
davranışını belirleyen etken makaslama ve yüzey dalgalarının yayınımıdır. Bu
dalgaların yayınımı esnasında, dalganın yapısı gereği parçacık hareketleri yayılma
doğrultusuyla açı yapacak şekilde gelişir. Parçacık hareketlerinin incelenmesi zeminin
bu davranışa gösterdiği tepki, dolayısıyla sağlamlığıyla ilgilidir.
Kentsel alanlarda kaynak kullanılmadan ReMi yöntemi ile S dalga hızlarının elde
edilmesi olanaklıdır. Zemin koşullarını aydınlatmaya yönelik olarak yapılan bu
çalışmalarla yüzey dalgası faz hızları ölçülerek değerlendirilir ve sonuçta tabakaların
sağlamlığının ölçütü olan S dalgası hız bilgisine ulaşılır.
Bu tezde faz hızlarının değerlendirilmesinde ters çözüm yöntemlerinden birisi olan
Ağırlıklı En Küçük Kareler Yöntemi kullanılmış ve veri üzerindeki gürültülerin etkisini
azaltmak için de ağırlık katsayıları hesaplanmıştır.
Ancak ters çözüm yöntemlerinin başarısını etkileyen etkenler, doğru ve yeterli sayıda
veri toplamak, doğru ön-kestirim modeli kullanmak, Jacobian dizeyini doğru
hesaplamak ve yöntem hakkında deneyimli olmak olarak sıralanabilir. Yöntemin
başarısı değerlendirilirken tüm bu etmenler göz önüne alınmalı zaman, maliyet ve
güvenilirlik hesapları belirlenmelidir.
Ters-çözüm işlemi, kuramsal veri ile ölçülen veri arasındaki yakınsamaya dayalı
olduğundan aynı yakınsamayı veren birden fazla sonuç üretilebilir. Çalışmanın amacına
yönelik ve araştırma derinliğine bağlı olarak veriden elde edilecek parametreler her
48
zaman birbirinden bağımsız ve tam olarak çözülemezler. Bu durum birden fazla
sonucun aynı veriyi temsil etmesi olarak karşımıza çıkar.
Bu tezle birlikte geliştirilen program ile ön-kestrim modeli etkileşimli düzenlenebilir ve
tekrarlanan düz çözümlerle, kurulan modelin verileri ne kadar temsil ettiği
denetlenebilir. Böylece doğru model kurularak çözümün başarısının arttırılması
sağlanabilir. Yine veri içindeki rasgele gürültülerden çözümün etkilenmemesi için
ağırlık katsayılarının hesaplanması etkileşimli gerçekleştirilebilir. Ayrıca parametre
çözünürlüğü hakkında bilgi sahibi olmak amacıyla verinin hangi parametreye ne kadar
bağlı olduğu görsel olarak denetlenebilir.
Bu tez çalışmasıyla elde edilen bilgilerle ve geliştirilen programın kullanılmasıyla
dispersiyon eğrileri görece hızlı ve güvenilir olarak değerlendirilip sonuçlar
grafiklenerek incelenebilir.
49
KAYNAKLAR
Anderson, J.K., Lee, Y., Zeng, Y., and Day, S. 1996. Control of Strong Motion By the
Upper 30 Meters. Bulletin of the Seismological Society of America,59,17491759.
Arnason, K. 1988. A Non-Linear Least-Square Inversion Program for Inversion of
Schlumberger Resistivity Soundings. User Manual, Reykjavik, Iceland.
Asten, M.W., Stephenson, W.R. and Davenport, P.N. 2005. Shear-wave velocity profile
for Holocene sediments measured from microtremor array studies, SCPT, and
seismic refraction. Journal of Environmental Engineering Geophysics, 10, 235242.
Başokur, A.T.,
Kaya, C., Ulugergerli, U. 1997a. Direct Interpretation of
Magnetotelluric
Sounding
Data
Based
on
The
Frequency-Normalized
Impedance Data. Geophysical Prospecting, 45, 21-37.
Başokur, A.T. 1999. Automated 1D Interpretation Resistivity Sounding by Simultaneus
Use of The Direct and Iterative Methods. Geophysical Prospecting, 47, 149177.
Başokur, A.T. 2002. Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Problemlerin Ters-Çözümü.
Jeofizik Mühendisleri Odası Eğitim Yayınları: 4, 166 s., Ankara.
Bevington, P.R. 1969. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.
McGraw–Hill Book Co.
Borcherdt, R.D. and Glassmoyer, G. 1992. On the Characteristics of Local Geology
and Their Influence on Ground Motions Generated By The Loma Prieta
Earthquake in The Sanfrancisco Bay Region California. Bulletin of the
Seismological Society of America, 82, 603-641.,
Brown, L.T. 1998. Comparison of Vs Profiles From SASW and Borehole
Measurements at Strong Motion Sites in Southern California. M.Sc.Eng. Thesis,
University of Texas at Austin, 349.
Dunkin, J.W. 1965. Computation of modal solutions in layered, elastic media at high
frequencies. Bulletin of the Seismological Society of Amerika, 55, 335-358.
Dispersion In Surface Waves, 2006. Web sitesi: http://www.uwm.edu/~bketter/
Research/Surface_Theory /Surface.html. Erişim Tarihi:02.07.2006
50
Gilbert, F. and Backus, G. 1966. Propagator matrices in elastic wave and vibration
problems. Geophysics, 2, 326-332.
Gucunski, N. and Woods, R.D. 1991. Instrumentation For SASW Testing. Geotechnical
Special Publication No. 29, Recent Advances In Instrumentation, Data
Acquisition, and Testing in soil Dynamics, New York, American Society of
Civil Enginieers, 1-16
Haskell, N.A. 1953. The dispersion of surface waves on multi layered media. Bulletin
of the Seismological Society of Amerika, 43, 17-34.
Herrman, R.B. 2002. Computer Program in Seismology: An Overview on Synthetic
Seismogram Computation, User’s
Manual. St Louis University, 181 p.,
Missouri.
Horike, M. 1985. Inversion of Phase Velocity of Long Period Microtremors to The Swave velocity Structure Down The Basement in Urbanized Areas. J. Phys.
Earth, 33,59-96
Johansen, H.K. 1975. An interactive computer/graphic-display terminal system for
interpretation of resistivity soundings. Geophysical Prospecting, 23, 449-458.
Johansen, H.K. 1977. A man/computer interpretation system for resistivity soundings
over a horizontally stratified earth. Geophysical Prospecting ,25, 667-691.
Kayıran, T. 1993. Genel Jeofizik Ders Notları (basılmamış). Ankara Üniversitesi,
Ankara.
Knopoff, L. and Schwab, F. 1970. Surface wave dispersion computation. Bulletin of the
Seismological Society of America, 60, 321-344.
Levenberg, K. 1944. A Method for The Solution of Certain Nonlinear Problems in
Least Squares. Quart. Appl. Math., 2, 164-168.
Louie, J.N. 2001. Faster, better:Shear-wave velocity to 100 meters depth from
refractionmicrotremor arrays. Bulletin of the Seismological Society of America,
91, 347-364.
Lai, C.G. and Rix, G.J. 1988. Simultaneous Inversion of Rayleigh Phase Velocity and
Attenuation
for
Near-Surface
Site
Characterization.
National
Science
Foundation and U.S. Geological Survey, 275 p.
Lines, I.R. and Treitel, S. 1984. Tutorial, A Review of Least Squares Inversion and Its
Application to Geophysical Problems. Geophysical Prospecting, 32, 159-186.
51
Malovichko, A.A., Anderson, N.L. and etc. 2005. Active-passive array surface wave
inverison and comparision to borehole logs in Southeast Missouri. Journal of
Environmental Engineering Geophysics, 10, 243-250.
Marquardt, D.W. 1963. An Algorithm for Least Squares Estimation of Non-Linear
Parameters. J.Soc.Indust.Appl.Math., 11, 431-441
McMechan, G.A. and Yedlin, M.J. 1981. Analysis of dispersive waves by wave-field
transformation. Geophysics, 46, 69-874.
Menke, W. 1984. Geophysical Data Analaysis: Discrete inverse theory. Academic
Press, Inc., 289.
Nazarian, S. and Desai, M.R. 1993. Automated surface Wave Method: Field Testing.
Journal of Geotechnical Engineering, 119, 1094-1111.
Nazarian, S. and Stokoe II, K.H. 1984. In Situ Shear Wave Velocities From Spectral
Analaysis of Surface Waves. Proceedings of the World Conference on
Earthquake Engineering, v. 8, San Francisco, Calif., July 21-28.
Park, C.B., Miller, R.D. and Xia, J. 1999. Multi-channel Analaysis of Surface Waves.
Geophysics, 64, 800-808.
Santani, R. and Zambrano, R. 1981. A Numerical Method of Calculating the Kernel
Function
from
Schlumberger
Apparent
Resistivity
data.
Geophysical
Prospecting, 29, 108-127
Strobbia, C. 2005. Surface Wave Methods Acquisition Processing and Inversion,
Politecnico Di Torino, Phd Thesis, 260 p.
Sutherland, A. J. and Logan, T.C. 1998. SASW Measurement for The Calculation of
site Amplification – Earthquake Comission Research Project 97/276. unpub.
Central Laboratories Report 98-522/422, Lower Hutt, New Zeland, 22 p.
Thorson, J.R. and Claerbout, J.F. 1985. Velocity-Stack and Slant-Stack Stochastic
Inversion. Geophysics, 50, 2727-2741.
Yilmaz, O. 1987. Seismic Data Processing. Society of Exploration Geophysics, Tulsa
Watson, T.H. 1970. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the
multilayered elastic half-space.
Bulletin of the Seismological Society of
America, 60, 161-166.
52
Wang, C.Y. and Herrmann, R.B. 1980. A numerical study of P-, SV-, and SH-wave
generation in a plane layered medium. Bulletin of the Seismological Society of
America, 70, 1015-1036.
Xia, J., Miller, R.D., Park C.B. 1999. Estimation of near-surface shear-wave velocity by
inversion of Rayleigh waves. Geophysics, 64, 691-700.
53
EKLER
EK 1 Gerilme Analizi
EK 2 Deformasyon Analizi
EK 3 Gerilme ve Deformasyon Arasındaki Bağıntı
EK 4 Elastik Parametrelerin Eldesi
EK 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması
EK 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü
54
EK 1 GERİLME ANALİZİ
Gerilme analizi ile ilgili bilgiler Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. Bir katı cisme
kuvvetler uyguladığımızda o cisim öteleme ve dönme hareketlerinin bir bileşkesi olarak
hareket edecektir. Eğer cisim tam katı ise parçacıklar birbirine olan uzaklıklarını korur.
Cisim elastik ise parçacıkların birbirine göre bağıl hareketleri söz konusu olur bu olay
da deformasyonu oluşturur. Gerilme analizinde bu deformasyonun çok küçük olduğu
kabul edilerek göz ardı edilir. Elastik ortamda, yüzeysel ve hacimsel olmak üzere iki tür
mekanik kuvvet vardır. Yüzeysel kuvvetler, birim alan başına düşen kuvvet olup yüzey
gerilimi de denmektedir. Hacimsel kuvvetler, birim hacime düşen kuvvet olup cisim
kuvvetleri de denmektedir.
Gerilme analizi için elastik bir cisme kuvvet uygulandığını ve cisimin dengede olduğu
düşünülür. Bu cisim içerisindeki herhangi bir p noktasını içine alan birim hacimli bir
küpün yüzeyine etki eden gerilmeler incelenirse, bu gerilmelerin yüzey normaline göre
3 bileşini vardır. Küpün 6 yüzeyi olduğundan toplam 18 bileşeni olur. Ancak cisim
dengede olduğundan, her yüzeyin simetrisi olan diğer yüzeylerdeki gerilmeler simetrik
olacaktır. O halde toplam 3 yüzeyde 9 gerilme bileşeni bulunur (Şekil 1).
Z
σzz
σzy
σzx
σyz
σxz
σyy
σxy
σyx
Y
σxx
X
Şekil 1 Elastik bir cisimdeki gerilme bileşenleri
55
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
Eğer cisim dengede ise σxy=σyx, σxz=σzx, σyz=σzy ‘dir. O halde gerilmenin toplam 9
bileşeni için simetriden dolayı 6 bağımsız bileşeni yazılabilir:
σ xx σ yx σ zx
σ ij = σ xy σ yy σ zy .
σ xz σ yz σ zz
Elastik bir cisme uygulanan kuvvetten dolayı bir elastik deformasyon oluştuğu hesaba
katılırsa, partiküllerin yerdeğiştirme sonucu geldikleri konumdaki koordinatlarını
X′,Y′,Z′ eksenine göre konumlandığı varsayılarak, koordinat eksenine bağlı olarak
gerilmelerdeki dönüşüm;
X
X′
Y′
Z′
D11
D21
D31
Y
D12
D22
D32
Z
D13
D23
D33
Dönüşüm Kronecker delta ile gösterilirse,
∑α
ik
⎧1
⎩0
α kj = δ ij ⎨
k
i=
i≠
j⎫
⎬
j⎭
eksenlere bağlı olacak şekilde yazılabilir. Bu ifade de i ≠ j iken δij = 0 olması dönme
hareketinin olmadığını yalnızca öteleme hareketinin olduğunu gösterir. Eksen dönüşüm
işlemi, elastik cisme kuvvet uygulandığında dönme ve öteleme hareketlerinin toplamı
şeklinde hareket edeceğinden gereklidir. Öteleme hareketi için Kronecker delta (δ) veya
şematik gösterim kullanılır. Dönme hareketi sonucunda gerilmedeki dönüşümü anlamak
için birim hacimli küp yerine bir tetrahedron’dan faydalanılır (Şekil 2). Dönme hareketi
sonucunda eksenler değişmez gerilmeler değişir.
56
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
σm
ΔO
ΔOy
ΔOx
ΔOz
Şekil 2 Elastik cisimdeki dönme hareketi sonucunda gerilme dağılımının tetrahedron
modeliyle incelenmesi
Tetrahedron’un ΔO yüzeyi üzerinde bir P noktası incelenir. n : yüzey normali, t ve t′
yüzey normalinin bileşenlerini gösterir ise,
σm = ( σmx, σmy, σmz ) ve m → (x,y,z) ise,
σm ‘i öteleme hareketi sonucu oluşan gerilmeler olarak düşünülebilir.
σ′m = ( σ′mn, σ′mt, σ′mt′ ) ve m → (x,y,z) ise,
σ′m ‘de dönme hareketi sonucu yüzey normali ve bileşenlerine bağlı gerilmelerdir.
Uygulanan kuvvet sonucu elastik cisimdeki hareket öteleme ve dönme hareketlerinin
toplamı olduğuna göre, toplam gerilme σm ve σ′m arasında bağlantı kurularak bulunur.
Tetrahedron yüzeyleri arasındaki oran;
ΔO: ΔOx: ΔOy: ΔOz=1:nx:ny:nz.
(1)
Burada, ΔOx,y,z tetrahedron yüzeyleridir. nx,ny,nz n yüzey normalinin x,y,z eksenleri ile
yaptığı açının kosinüsleridir (Şekil 3).
57
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
nx = cosθx
ny = cosθy
nz = cosθz
Şekil 3 Yüzey normalinin x,y,z eksenleri ile yaptığı açılar
Birim yüzeye dik uygulanan kuvvet elastik ve katı cisimler için gerilme, sıvılar içinse
basınç adını alır. Eğer cisim dengede ise yüzeye uygulanan kuvvetler eşit olur. O halde;
σi =
F
ΔOi
ise
F = σ i ΔOi
olur. Şekil 2’de ΔO yüzeyine etki eden kuvvet
ΔO x , y , z yüzeylerine etki eden
kuvvetlerin toplamına eşittir. O halde ;
σmi. ΔO = σxi. ΔOx + σyi. ΔOy + σzi. ΔOz
(2)
(1) eşitliğinden yüzeyler arasındaki orantı,
ΔOx=nx.ΔO , ΔOy=ny.ΔO , ΔOz=nz.ΔO
olarak yazılabilir. (2) bağıntısı bu eşitliğe göre düzenlenirse,
σmi.ΔO = ΔO. (σxi.nx + σyi.ny + σzi.nz)
σmi = σxi.nx + σyi.ny + σzi.nz
(3)
58
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
elde edilir. (3) genel eşitliğinde m → (x,y,z) ve i → (x,y,z) dir. İfade olarak m değişkeni
x,y,z yüzeylerine etki eden yüzey normali doğrultusundaki gerilmeleri ve i değişkeni de
herbir gerilmenin x,y,z bileşenlerine karşılık gelir. m = z için yani z yüzeyine etki eden
bir kuvvetin oluşturduğu gerilmenin bileşenleri Şekil 4’de gösterilmiştir.
Şekil 4 Z yüzeyine etki eden gerilme ve bileşenleri
(3) denklemini m → x,y,z için düzenirse,
m=x için;
σxx=σxx.nx + σyx.ny + σzx.nz
σxy=σxy.nx + σyy.ny + σzy.nz
σxz=σxz.nx + σyz.ny + σzz.nz
m=y için;
σyx=σxx.nx + σyx.ny + σzx.nz
σyy=σxy.nx + σyy.ny + σzy.nz
σyz=σxz.nx + σyz.ny + σzz.nz
59
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
m=z için;
σzx=σxx.nx + σyx.ny + σzx.nz
σzy=σxy.nx + σyy.ny + σzy.nz
σzz=σxz.nx + σyz.ny + σzz.nz
elde edilir. Böylece öteleme hareketi sonucunda tetrahedronun 3 yüzeyi için toplam 9
gerilme bulunmuş olur. Dönme hareketi için σ′m bulunmalıdır. Şekil 2’de ΔO yüzeyi
üzerinde bulunan p noktasının yüzey normali ve bileşenlerini (n,t,t′) , (x,y,z)
koordinatları cinsinden yazalırsa,
n
t
t′
X
αnx
αtx
αt′x
Y
αny
αty
αt′y
Z
αnz
αtz
αt′z
elde edilir. Bu tabloda α, (n,t,t′) bileşenlerinin (x,y,z) koordinatlarına bağlı değerleri.
α’nın indisleri ise (n,t,t′) bileşenlerinin (x,y,z) eksenleriyle yaptıkları açının
kosinüsüdür. Toplam gerilme σm ve σ′m arasındaki ilişkiyle bulunacağından,
σ′mn = σmx.αnx + σmy.αny + σmz.αnz
σ′mt = σmx.αtx + σmy.αty + σmz.αtz
σ′mt′ = σmx.αt′x + σmy.αt′y + σmz.αt′z
(4)
kısa gösterim için,
3
σ ij′ = ∑ σ miα ji
m → x,y,z
i → x,y,z
j → x,y,z
(5)
m =i
(4) denkleminde (3) denklemini yazarsak, σm ve σ′m arasındaki bağıntı bulunur. Kısa
gösterimle,
60
Ek 1 Gerilme Analizi (Devamı)
3
3
i
m
σ ij′ = ∑∑ σ ki nk α ij
(6)
elde edilir. (6) denkleminde nk yerine αjk yazılırsa her simetrik tensör için geçerli olan
genel tensör dönüşümü bulunur.
σ ij′ = ∑∑ α il α jk α lk
K
(7)
L
61
EK 2 DEFORMASYON ANALİZİ
Deformasyon analizi ile ilgili bilgiler Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. Eğer elastik bir
cisime gerilme uygulanırsa cismi oluşturan partiküller birbirlerine göre yer değiştirirler.
Eğer cisim rijit ise bu yer değiştirme her bir partikül için aynıdır. Cisim elastik ise
partiküllerin yerdeğiştirmesi de farklı olacaktır. Bu durumda deformasyon oluşur.
Elastik cisim içindeki partiküller arası yerdeğiştirme Ŝ vektörü ile gösterilir ve
aralarında d(r) kadar mesafe bulunan iki partikülün gerilme sonucu yerdeğiştirdiği
farzedilerek çözüme ulaşılır (Şekil 2).
Şekil 2 Elastik cisimde meydana gelen partiküllerin deformasyonu
Şekil 2’de S(r) iki yerdeğiştirme arasındaki diferansiyel fark ve, S(r+dr) = S(r) +
ds(r). S yerdeğiştirme vektörünün bileşenleri (u,v,w) olsun. O halde ds=(du,dv,dw)
olur. Eğer dönüşüm lineer ise ds=A.dr yazılabilir. A kısmi türevlerden oluşan bir
dizeydir. P2 ve P′2 noktaları arasındaki mesafe çok küçük olduğundan doğrusal kabul
edilebilir. O zaman ds vektörünü doğrusal hale dönüştürmek için Taylor serisine
açılır. Yüksek mertebeli türevler ihmal edilirse,
62
Ek 2 Deformasyon Analizi (Devamı)
⎧
du
du
du
⎪du = dx dx + dy dy + dz dz + ... ( yüksek mertebeli türevler )
⎪
⎪
dv
dv
dv
ds = ⎨dv = dx + dy + dz + ... ( yüksek mertebeli türevler )
dx
dy
dz
⎪
⎪
dw
dw
dw
dx +
dy +
dz + ... ( yüksek mertebeli türevler )
⎪dw =
dx
dy
dz
⎩
elde edilir. Her dizey simetrik ve asimetrik iki dizeyin toplamı şeklinde yazılabilir. O
halde yukarıdaki eşitlikler dizey olarak yazılırsa,
du
dx
dv
dx
dw
dx
du
dy
dv
dy
dw
dy
Dizey
du
1 ⎧ du dv ⎫ 1 ⎧ du dw ⎫
1 ⎧ du dv ⎫
1 ⎧ dv dw ⎫
du
− ⎨ − ⎬ − ⎨ − ⎬
0
⎨ + ⎬
⎨ + ⎬
dx
dy
dx
dz
dx
dy
dx
2
2
2
2 ⎩ dz dx ⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
⎩
⎭
dz
dv 1 ⎧ du dv ⎫
dv
1 ⎧ dv dw ⎫
1 ⎧ du dv ⎫
1 ⎧ dv dw ⎫
= ⎨ + ⎬
− ⎨ − ⎬
0
⎨ + ⎬ +− ⎨ − ⎬
dz
dy
2 ⎩ dy dx ⎭
2 ⎩ dz dy ⎭
2 ⎩ dy dx ⎭
2 ⎩ dz dy ⎭
dw 1 ⎧ du dw ⎫ 1 ⎧ dv dw ⎫
dw
1 ⎧ du dw ⎫ 1 ⎧ dv dw ⎫
+
+
− ⎨ − ⎬ − ⎨ − ⎬
0
dz 2 ⎨⎩ dz dx ⎬⎭ 2 ⎨⎩ dz dy ⎬⎭
dz
2 ⎩ dz dx ⎭ 2 ⎩ dz dy ⎭
=
Simetrik Kısım
+
Asimetrik kısım
elde edilir. Simgesel olarak gösterimle,
[A] = [εiK] + [ωiK]
(1)
yazılabilir. P2 noktasının toplam yerdeğiştirmesi;
S(r+dr) = S(r) + ds(r)
ile verilir. Bu denklemde ds(r) yerine (1) eşitliği yazılırsa,
S(r+dr) = S(r) + [εiK].dr + [ωiK].dr
(2)
63
Ek 2 Deformasyon Analizi (Devamı)
eşitliğini elde edilir. Bu eşitlikte, S(r+dr) elastik yerdeğiştirmeyi, S(r) rijit
yerdeğiştirmeyi, [εiK].dr deformasyonu, [ωiK].dr rotasyonu (rijit dönme) gösterir.
Üç Boyutda Deformasyon
Z
R′
Y
S′
dw
Q′
P′
dy
y
S
dw
dv
R
u w
v
P
du
v
Q
u
dv
du
x
X
dx
Şekil 2 Üç boyutta deformasyon modeli
Üç boyutda deformasyon Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. Yukarıdaki şekilde
deformasyonun üç boyutta nasıl gerçekleştiği bir dörtgen modelde anlatılmaya
çalışılmıştır. PQRS bir dikdörtgen prizmanın tabanı olsun. İçi beyaz noktalı dörtgen xyz
doğrultusundaki yerdeğiştirmeyi gösterirken, P′Q′R′S′ ise hem yerdeğiştirmeyi hem de
biçim değiştirmeyi gösterir. Cisim elastik olduğu için P noktasındaki yerdeğiştirme S(r)
dir. Diğer Q, R ve S noktaları S(r) +ds(r) kadar yerdeğiştir.
Deformasyondan önceki koordinatları yazılırsa (PQRS),
P(x,y,z)
Q(x+dx,y,z)
S(x,y+dy,z)
64
R(x+dx,y+dy,z)
Ek 2 Deformasyon Analizi (Devamı)
Cisim deforme olmadan kayarsa (Şekil 2’de içi noktalı görülen dörtgen),
P(x+u,y+v,z+w)
Q(x+dx+u,y+v,z+w)
S(x+u,y+v+dy,z+w)
R(x+dx+u,y+dy+v,z+w+dz)
Cisim deforme olup kayarsa (P′Q′R′S′),
P ′( x + u , y + v, z + w)
du
dv
dw ⎞
⎛
Q ′⎜ x + dx + u +
dx, y + v + , z + w +
⎟
dx
dx
dx ⎠
⎝
⎛
du
dv
dw ⎞
S ′⎜⎜ x + u +
dx, y + dy + v + dy, z + w +
dz ⎟
dx
dy
dz ⎟⎠
⎝
⎛
du
du
du
dv
dv
dv
dw
dw
dw ⎞
R′⎜⎜ x + dx + u + dx + dy + dz, y + dy + v + dx + dy + dz, z + w + dz + dx + dy + dz⎟⎟
dz
dx
dy
dz ⎠
dx
dy
dz
dx
dy
⎝
elde edilir. Koordinatlar içerisinde yer alan du/dx,dv/dy,dw/dz değerleri x,y,z yönündeki
izafi artma miktarıdır. Buna normal deformasyon denir ve hacimsel genleşme olur.
P ve P′ noktalarına yakından incelenirse;
du
S′
S
Q′
ρ2
θ
dv
ρ1
P,P′
Q
Şekil 3 Üç boyutta deformasyon modelindeki P, P’ noktasına bakış
65
Ek 2 Deformasyon Analizi (Devamı)
ρ1,ρ2 açılar olsun.
⎛ dv ⎞
⎟
⎝ dx + du ⎠
ρ1 = tan⎜
⎛ du ⎞
⎟⎟
ve ρ 2 = tan⎜⎜
dy
+
dv
⎝
⎠
du ve dv uzama miktarı cismin boyuna oranla çok küçük olduğuna göre paydadaki du,
dv ihmal edilir. Açılar çok küçük olduğundan tanjant’ları açının kendisine eşit olur o
halde,
ρ1 =
dv
dx
ve
ρ2 =
du
dy
bulunur. O halde (2) denklemindeki [εik].dr ifadesi simgesel olarak gösterilirse,
[εik].dr
=
εxx
εyx
εzx
εxy
εyy
εzy
εxz
εyz
εzz
dx
.
dy
dz
elde edilir. Bu dizeyde,
εxx= (du/dx).dx,
εyy=(dv/dy).dy,
εzz=(dw/dz).dz
izafi artma olup toplamları hacimsel değişime karşılık gelir. O halde,
θ = divS=∇S= εxx + εyy + εzz = (du/dx + dv/dy + dw/dz)
(3)
olur ve θ‘ya dilatasyon denir. Yerdeğiştirme vektörünün diverjansına eşittir. Skalerdir
ve eksenlerin dönmesi ile değişmez. Negatif dilatasyona kompresyon denir.
66
EK 3 GERİLME VE DEFORMASYON ARASINDAKİ BAĞINTI
Gerilme ve deformasyon arasındaki bağıntılar Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. Elastik
bir cisimdeki herhangi bir noktadaki deformasyon, yine aynı noktadaki gerilme ile
saptanır. Tam elastiklik durumunda deformasyon bileşenleri gerilme bileşenlerinin
homojen doğrusal fonksiyonudur. O halde gerilme ile deformasyon arasındaki bağıntı
dizey gösterimi ile;
[σ] = A . [ε]
(1)
şeklinde yazılabilir. A elastik ortamı ifade eden 36 elemanlı bir dizeydir.Gerilme ve
deformasyon arasındaki bağıntının dizey olarak gösterimi,
σxx
a11 a12 ……….a16
εxx
σyy
a21 a22 ……….a26
εyy
σzz
.
εzz
σxy
= .
σxz
.
εxz
σyz
a61 a62 ……….a66
εyz
.
εxy
şeklinde verilir veya,
σ ij = ∑∑ aiijkl ε kl σij = ∑ ∑ aijkl . εkl
k
l
eşitliğiyle yazılabilir. EK 1’de anlatıldığı üzere homojen izotrop elastik bir ortamda
denge halindeki bir cisimde simetriden dolayı gerilmenin (σij) 6 bileşeni vardı. Yine
simetriden dolayı 36 katsayı 21’e iner. Homojen izotropik maddeler içinse 2’ye iner. O
halde gerilme, doğrusal homojen ortam için,
σxx = a.εxx + bεyy + cεzz
(2)
67
Ek 3 Gerilme ve Deformasyon Arasındaki Bağıntı (Devamı)
yazılabilir. Eğer ortam aynı zamanda izotrop ise y ve z eksen doğrultusundaki
deformasyonlarda eşit olup simetriden dolayı b=c alınabilir. Böylece,
σxx = a.εxx + b(εyy + εzz)
(3)
yazılabilir. (3) denklemine bεxx ifadesini bir kez eklenip çıkarılırsa eşitliğin değeri
değişmez,
σxx = εxx(a-b) + b(εxx + εyy + cεzz).
(4)
EK 2 (3) denkleminden θ = εxx + εyy + cεzz olduğuna göre, ayrıca kısa gösterim için
aşağıdaki tanımlamalar yapılabilir;
μ = (a – b)/2.
b=c=λ ,
(4) denkleminde yerine yazılır ve eşitlikler düzenlenirse,
σxx = 2μεxx + λθ
σyy = 2μεyy + λθ
σzz = 2μεzz + λθ
(5)
(5) denklemi xyz koordinat sistemine göre çıkarılmış bir denklemdir. Herhangi bir
kartezyen koordinat sistemindeki ifadesi ise tensör dönüşümü ile yapılır. O halde,
σ ij = ∑∑ α il α jk σ lk
k
l
olarak yazılabilir. Temel gerilme dönüşümü uygulanacağı için k=l olur ve,
σ ij = ∑ α ik α jk σ kk
k
68
Ek 3 Gerilme ve Deformasyon Arasındaki Bağıntı (Devamı)
σij = αix .αjx .σxx + αiy .αjy .σyy + αiz .αjz .σzz
elde edilir. Bu denklemde (5) denkleminde ki σx,y,z leri yerine yazalırsa,
σij = λθ [αixαjx + αiyαjy + αizαjz ] + 2μ[αixαjxεxx + αiyαjyεyy + αizαjzεzz]
elde edilir. i=j olması durumunda δij=1 yazılabilir. O halde,
σij = λθδij + 2μεij
(6)
eşitliğiyle gerilme ve deformasyon arasındaki bağıntı elde edilimiş olur. Burada λ ve μ
ye Lame parametreleri adı verilir.
69
EK 4 ELASTİK PARAMETRELERİN ELDESİ
σxx
Şekil 1 Eni boyuna göre kısa elastik bir cisim.
Elastik parametrelerin eldesi Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. Şekil 1’deki gibi eni
boyuna göre kısa bir çubuğa yatay yönde bir gerilme uygulanırsa, cismin eninde
daralma boyunda uzama meydana gelir.Gerilme x yönünde olduğu için σyy=0 ve σzz=0
olur. EK 3 (5) denklemi bu şekil için yazılırsa,
σxx = 2μεxx + λθ
0
= 2μεyy + λθ
0
= 2μεzz + λθ
(1)
elde edilir. σyy=0 ve σzz=0 olduğundan εyy=εzz yazılabilir. (1) denklemi alt alta
toplanırsa,
σxx = 3λθ + 2μ(εxx + εyy + εzz)
ve θ = εxx + εyy + εzz olduğundan,
σxx = 3λθ + 2μθ = θ(3λ+2μ)
(2)
elde edilir. σxx (1) eşitliğinde kendi yerine yazılırsa,
θ(3λ+2μ)=2μεxx + λθ
70
Ek 4 Elastik Parametrelerin Eldesi (Devamı)
ε xx =
θ (λ + μ )
μ
(3)
elde edilir. Benzer şekilde ε zz , ε yy bulunur ise,
ε zz = ε yy =
λθ
2μ
(4)
elde edilir. (3) ve (4) eşitlikleri oranlanırsa,
γ =−
ε yy
λ
=
ε xx 2(λ + μ )
(5)
elde edilir. γ poisson oranıdır ve endeki deformasyonun boydaki deformasyona oranıdır.
(2) eşitliği (1)’de yerine yazılıp εxx’i çekilirse,
ε xx =
(3λ + 2μ )θ − λθ
2μ
2μ
ve bu eşitliğin pay ve paydasi (3λ+2μ) ile çarpılırsa,
ε xx =
(3λ + 2μ )θ (3λ + 2μ ) − λθ (3λ + 2μ )
2 μ (3λ + 2 μ )
2μ (3λ + 2μ )
elde edilir. θ(3λ+2μ)=σxx olduğuna göre o halde,
ε xx =
(λ + μ ) σ
xx
μ (3λ + 2μ )
olur. Buradan σxx çekilirse,
71
Ek 4 Elastik Parametrelerin Eldesi (Devamı)
σ xx =
ε xx μ (3λ + 2 μ )
(λ + μ )
elde edilir. Young modülü = gerilme/deformasyon olduğuna göre,
E = σxx/ εxx
E=
μ (3λ + 2μ )
(λ + μ )
(6)
(6) Young modülü eşitliği elde edilmiş olur.
Elastik cisme hem x hem de y doğrultusunda σxy gibi bir gerilme uygulanırsa
(Şekil 2);
Y
du
ϕ
ϕ
dv
X
Şekil 2 Elastik cisme x ve y doğrultusunda gerilme uygulanması.
Uygulanan gerilmeyi EK 3 (6) bağıntısına göre yazılırsa, i ≠ j olduğundan δij=0 olur. O
halde,
σxy = λθδxy + 2μεxy
σxy = 2μεxy
72
Ek 4 Elastik Parametrelerin Eldesi (Devamı)
ε xy =
σ xy
(7)
2μ
Simetriden dolayı εxy=εyx olduğundan ve küçük açıların tanjantı kendisine eşit
olduğundan,
1 ⎛ du dv ⎞ 1
1
+ ⎟⎟ = (tan ϕ1 + tan ϕ 2 ) = (ϕ1 + ϕ 2 ) ve
2 ⎝ dy dx ⎠ 2
2
ε xy = ⎜⎜
ϕ1 = ϕ2 = ϕ ise,
εxy = ϕ /2
olur. (7)’de yerine yazılırsa,
μ=
σ xy
ϕ
elde
edilir.
(8)
(8)
Rijidite
modülüdür.
Şekil
değişikliğindeki
değişme
olarak
adlandırılabilir.
Eğer elastik katı bir cisme hidrostatik basınç uygulanırsa gerilmeler yüzeylere dik ve
eşit olur. σxx = σyy = σzz = -P olsun. (1) eşitliklerinden σxx ;
σxx = θ(3λ + 2μ)
θ (3λ + 2μ) = λθ + 2μεxx
ε xx =
θ (3λ + 2μ ) λθ
−
2μ
2μ
sağdaki ifadenin son orantısını (3λ+2μ) ile çarpıp bölünürse,
73
Ek 4 Elastik Parametrelerin Eldesi (Devamı)
ε xx =
− λθ (3λ + 2μ ) 1
+
σ xx
2μ (3λ + 2μ ) 2μ
elde edilir. θ‘nın değeri de yerine yazılır ve σxx = -P alınırsa,
ε xx =
−P
3λP − P(3λ + 2 μ )
=
2 μ (3λ + 2 μ )
3λ + 2 μ
elde edilir. εxx = εyy = εzz olduğundan aşağıdaki denklemde yerine yazılırsa,
θ = ε xx + ε yy + ε zz =
θ =−
− 3P
2
3(λ + μ )
3
P
2
λ+ μ
3
olur. Kısa gösterim için K=λ+(2/3)μ alınırsa,
θ =−
P
K
ve
K =−
P
θ
=λ +
2
μ
3
(9)
elde edilir. (9) Bulk modülü olarak adlandırılır. Hidrostatik basınç altındaki bir cismin
hacmindeki azalma olarak tanımlanır. Sıvılarda μ=0 olur.
Bulk modülünün, Young modülüne bağlı değeri ise,
K=
E
3(1 − 2σ )
(10)
olarak verilir. Tam sıvılar için rijidite modülü μ=0 , ideal katılar için μ=∞ ve ideal sıvı
için K=∞ olur.
74
EK 5 HAREKET DENKLEMİNİN ÇIKARTILMASI
z
do
y
n
O
V
dv
ρ
x
Şekil 1 V hacimli ρ yoğunluk cisme etki eden kuvvet.
Hareket denkleminin çıkartılması Kayıran’dan (1993) özetlenmiştir. V haciminde, O
yüzey alanına sahip ρ yoğunluklu bir cisim üzerinde birim hacimdeki bir parçayı ele
alalım (Şekil 1). Bu parçanın hacmi dv, yüzey alanı do ve yüzey normali n olsun.
do yüzey alanına σn yüzey gerilimi etki etsin. Birim parçaya etki eden kuvvetin toplam
ivmesi, yüzeye etki eden gerilmeler ile hacimsel kuvvetlerin toplamına eşittir. O halde
toplam ivmenin x bileşenine göre yazılırsa,
Hacimsel kuvvet için,
F= m. A
F =ρV
d 2u
dt 2
F =ρdv
d 2u
dt 2
elde edilir. Birim kütle için hacim çok küçük olacağından dv ihmal edilir ve gerilme
değeri de yalnızca x bileşeni için yazılırsa,
75
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
σnx = σxxnx + σyxny + σzxnz = σx.n
∫ ρf
x
v
dv = ∫ ρFx dv + ∫ σ nx do
V
(1)
O
denklemini elde edilir. İntegralin boyutunu eşitlemek için yüzey gerilimi σnx’i de hacime
bağlı integral şeklinde yazmak için Diverjans ve Gauss teoreminden faydalanılır. O
halde,
Diverjans ve Gauss teoremi;
∫ div(W )dv = ∫ Wnds
V
(2)
S
eşitliği ile verilir. Hacim ile yüzey integralleri arasında bağlantı kurar. O halde,
∫σ
nx
O
do = ∫ σ x ndo = ∫ divσ x dv
O
(3)
V
(1) denkleminde (3) eşitliğini yazarsak,
∫ ρf
V
x
dv = ∫ ρFxdv + ∫ divσ x dv
V
V
ρfx = ρFx + divσx
ρf x = ρFx +
dσ xx dσ xy dσ xz
+
+
dx
dy
dz
(4)
76
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
elde edilir. (5.4) denklemi hareket denkleminin x bileşenidir. Diğer bileşenlerde aynı
şekilde bulunabilir. f = 0 olduğunda statik denge oluşur. EK 3 (6) denklemi (4)
denkleminde yerine yazılırsa,
ρ
d 2u
d
d
d
= ρFx + (λθδ xx + 2 με xx ) + (λθδ xy + 2 με xy ) + (λθδ xz + 2 με xz )
2
dx
dy
dz
dt
elde edilir. EK 3 (6) denkleminde i≠j δij = 0 olduğu göz önüne alınırsa,
ρ
d 2u
d ⎛
du ⎞ d ⎛ ⎛ du dv ⎞ ⎞ d ⎛ ⎛ du dw ⎞ ⎞
= ρFx + ⎜ λθ + 2 μ ⎟ + ⎜⎜ μ ⎜⎜
+ ⎟ ⎟ + ⎜ μ⎜
+
⎟⎟
2
dx ⎝
dx ⎠ dy ⎝ ⎝ dy dx ⎟⎠ ⎟⎠ dz ⎜⎝ ⎝ dz dx ⎠ ⎟⎠
dt
(5)
elde edilir. (5) denklemi de ivmenin x bileşeni için geçerlidir. Aynı şekilde y ve z
bileşenleri için de hesaplama yapılabilir. Bu denklemler izotrop ve inhomojen ortam
için geçerlidir. Homojen ve izotrop bir ortamda Lame paremetreleri konumdan bağımsız
olur ve türevlere katılmazlar o zaman hareket denklemi,
⎛ d 2u d 2u d 2u ⎞
d 2u
dθ
d ⎛ du dv dw ⎞
⎟ + μ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ,
+ μ ⎜⎜
+
+
ρ 2 = ρFx + λ
dx
dx ⎝ dx dy dz ⎟⎠
dt
dy
dz ⎠
⎝ dx
ρ
d 2u
dθ
= ρFx + (λ + μ )
+ μ∇ 2 u
2
dx
dt
(6)
(7)
olarak bulunur. S yerdeğiştirme bileşeni olduğuna göre S → (u,v,w) o halde,
divS = θ =
ρ
du dv dw
+
+
,
dx dy dz
d 2S
= ρFx + (λ + μ )Grad .divS + μ∇ 2 S
2
dt
(8)
77
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
elde edilir. (8) bağıntısına Navier Eşitliği adı verilir. Bu eşitlik yalnızca kartezyen
koordinat sisteminde geçerlidir. Değişmez formda yazmak için vektör analizinden
faydalanılır. İzleyen,
∇2a = grad.div a – curl.curl a
özelliğinden
∇2S = grad.div S – curl.curl S
yazılabilir. (8) denklemi düzenlenirse,
ρ
d 2S
= (λ + 2μ )grad .divS − μ .curl.curlS + ρF
dt 2
(9)
bulunur. (9) denklemi dinamik durum için yazılırsa ρF ihmal edilir. İzleyen,
d 2S
ρ 2 = (λ + 2 μ )grad .divS − μ .curl.curlS
dt
(10)
bağıntısı Elasto Dinamik Denklem olarak bilinir. Elastik homojen izotrop ortamlardaki
hareketi ifade eder.
Sınırsız Ortamda Sismik Dalgalar
Herhangi bir vektör rotasyondan bağımsız bir vektör ve diverjansdan bağımsız bir
vektörün toplamı şeklinde yazılabilir. O halde yerdeğiştirme vektörü S,
S = SL+ St
(11)
78
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
olarak yazılabilir. Burada SL rotasyondan bağımsız vektör, St diverjansdan bağımsız
vektördür. (10) denklemi bu özelliğe göre düzenlenirse,
d 2SL
ρ
= (λ + 2 μ ) grad .divS L = (λ + 2 μ )∇ 2 S L
2
dt
(12)
d 2 St
ρ 2 = − μcurl.curlS t = μ∇ 2 S t
dt
(13)
ve (12) denkleminden ∇2SL çekilirse,
ρ
d 2SL
∇ SL =
(λ + 2μ ) dt 2
2
(14)
elde edilir. (5.13) denkleminden ∇ 2 S t çekilirse,
∇ 2 St =
ρ d 2 St
μ dt 2
(15)
denklemi elde edilir. Dalga denkleminin matematiksel ifadesi yazılıp (14) ve (15)
denklemleri düzenlenirse,
∇ 2φ =
1 d 2φ
c 2 dt 2
matematiksel dalga denklemi ise o halde (14) denklemi için,
⎛ λ + 2μ ⎞
1
ρ
⎟⎟
=
→ c = ⎜⎜
2
(λ + 2μ )
c
⎝ ρ ⎠
∇2SL =
1/ 2
ve karışıklığı engellemek için c = α olsun o halde
1 d 2SL
α 2 dt 2
(16)
79
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
(16) P dalga denklemi elde edilmiş olur.
⎛μ⎞
1 ρ
=
→ c = ⎜⎜ ⎟⎟
2
μ
c
⎝ρ⎠
∇ 2 St =
1/ 2
ve karışıklığı engellemek için c = β olsun o halde
1 d 2 St
β 2 dt 2
(17)
(17) S dalga denklemi elde edilmiş olur.
α : P dalga hızı ve β : S dalga hızı olup α > β dir.
Hareket Denkleminin Potansiyel Olarak İfadesi
Skaler potansiyeli ∅ ve vektörel potansiyeli ψ ile gösterilirse S yerdeğiştirme vektörü,
S = SL + St
SL = grad∅
St = curlψ
olarak tanımlanabilir. (16) ve (17) dalga denklemleri,
∇ 2φ =
1 d 2φ
α 2 dt 2
(18)
∇ 2ψ =
1 d 2ψ
β 2 dt 2
(19)
olarak yazılabilir.
80
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
grad∅ nin bileşenleri :
dφ dφ dφ
, ,
dx dy dz
ψ ‘nin bileşenleri: ψx, ψy, ψz
i
d
dx
j
d
dy
ψx ψy
k
d ⎛ dψ z dψ y
=⎜
−
dz
dz ⎜⎝ dy
ψz
⎞ ⎛ dψ x dψ z ⎞ ⎛ dψ y dψ x
⎟⎟i + ⎜
−
−
⎟ j +⎜
dx ⎠ ⎜⎝ dx
dy
⎠ ⎝ dz
⎞
⎟⎟k
⎠
ise dalga cephesini x-z doğrultsunda olduğu farzedilirse y’ye bağlı türevler sıfır olur.
S = grad∅ + curlψ eşitliğini bileşenler cinsinden yazıp eşleştirilir. S’nin bileşenleri
(u,v,w) olduğudan,
⎡⎛
(u, v, w) = ⎛⎜ dφ ,0, dφ ⎞⎟ − ⎢⎜⎜ 0 −
⎝ dz
dz ⎠ ⎣⎢⎝
dψ y ⎞ ⎛ dψ x dψ z ⎞ ⎛ dψ y
⎞⎤
⎟⎟, ⎜
−
− 0 ⎟⎟⎥
⎟, ⎜⎜
dz ⎠ ⎝ dz
dx ⎠ ⎝ dx
⎠⎥⎦
elde edilir. Düzenlenirse,
⎛ dφ dψ y ⎞
⎟⎟
u = ⎜⎜
−
dx
dz
⎝
⎠
⎛ dψ x dψ z ⎞
v=⎜
−
⎟
dx ⎠
⎝ dz
⎛ dφ dψ y ⎞
⎟
w = ⎜⎜
+
dx ⎟⎠
⎝ dz
(20)
S yerdeğiştirme yöneyi bileşenler cinsinden elde edilmiş olur.
81
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
P ve Sv Dalgalarının İncelenmesi
Sv
Sv
P
Sv
P
ρ2,λ2,μ2
ρ2,λ2,μ2
ρ1,λ1,μ1
ρ1,λ1,μ1
P
P
P
Sv
Sv
Şekil 2 Gelen ve yansıyan P, Sv dalgaları
Şekil 2’den görüleceği gibi gelen P dalgası P ve Sv dalgaları olarak kırılır ve yansırlar
aynı şekilde gelen Sv dalgası da P ve Sv olarak kırılıp yansır. Ortam kendi içinde
homojen ve izotrop olan katmanlardan oluşmuştur. Partiküllerin hareketi ve dalga
yayınımı x-z düzleminde gerçekleştiği farzedilerek eşitlikler elde edilir. Şekil 3’de P ve
Sv dalgalalarının parçacık hareketleri gösterilmiştir.
Sv Dalganın ilerleme yönü
P Dalganın ilerleme yönü
x
x
y
y
z
z
Şekil 3 Sv ve P dalgalarının parçacık hareketi
82
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
P ve Sv dalgalarının yerdeğiştirme yöneyi S=(u,0,w) olacaktır. Y düzleminde hareketin
ve dalga yayılımının olmadığını kabul edildiğinden v=0 olacaktır. (20) bağıntısından;
u=
d φ dψ
−
dx dz
ve
w=
dφ dψ
+
dz dx
yazılabilir. Time harmonik dalgalar için bu potansiyeller Helmholtz Denklemini
sağlaması gerektiğinden,
∇2∅ + k2α ∅ = 0
(21)
∇2ψ + k2β ψ = 0
(22)
denklemeleri elde edilir. Sırasıyla (21) ve (22) denklemlerinin çözümü,
∅ = f(z).e-ikx .eiwt
(23)
ψ = g(z).e-ikx.eiwt
(24)
bulunur. Bu eşitliklerdeki f(z) ve g(z) fonksiyonlarının çözümü ise ⏐c⏐ < β < α koşulu
yani yayılma hızı P ve S dalga hızlarından küçükse ki bu durum Rayleigh yüzey dalga
yayılım hızına karşılık gelir. O halde ,
⏐c⏐ < β < α ise
(1 - c2/α2)1/2
⏐c⏐ > α > β ise
(c2/α2 - 1)1/2
83
Ek 5 Hareket Denkleminin Çıkartılması (Devamı)
f ( z ) = A1eikz
(1−
c2
)
α2
(1−
g ( z ) = B1eikz
(1−
+
c2
)
β2
A2eikz
c2
)
α2
(1−
+
B2 eikz
c2
)
β2
(25)
bulunur. Bu sonuçlar (23) ve (24) denkleminde yerine yazılırsa,
φ(x, z, t) = A1 (ω, k)e
⎛
ik⎜⎜ ct−x+ z
⎜
⎝
ψ ( x, z, t ) = B1 (ω, k )e
⎛ c2 ⎞ ⎞⎟
⎜1− ⎟
⎜ α 2 ⎟ ⎟⎟
⎝
⎠⎠
⎛
ik ⎜⎜ ct − x+ z
⎜
⎝
+ A2 (ω, k)e
⎛ c 2 ⎞ ⎞⎟
⎜ 1− ⎟
⎜ β 2 ⎟ ⎟⎟
⎝
⎠⎠
⎛
ik⎜⎜ ct−x−z
⎜
⎝
+ B2 (ω, k )e
⎛ c2 ⎞ ⎞⎟
⎜1− ⎟
⎜ α 2 ⎟ ⎟⎟
⎝
⎠⎠
⎛
ik ⎜⎜ ct − x − z
⎜
⎝
⎛ c 2 ⎞ ⎞⎟
⎜ 1− ⎟
⎜ β 2 ⎟ ⎟⎟
⎝
⎠⎠
(26)
(27)
eşitlikleri elde edilir. Buradaki A1,2, B1,2 katsayılardır. A,B katsayılari ω ve k ya
bağlıdır.
A1(ω,k) = Gelen P dalgasının genliği
A2(ω,k) = Yansıyan P dalgasının genliği
B1(ω,k) = Gelen Sv dalgasının genliği
B2(ω,k) = Yansıyan Sv dalgasının genliği
B
B
c = dalganın yayılma hızı
α = P dalgasının hızı
β = S dalgasının hızı
k = dalga sayısı
84
EK 6 RAYLEIGH DALGA DENKLEMİNİN ELDESİ VE ÇÖZÜMÜ
Dalgaların x-z düzlemi içinde hareket ettiğini farzedildiğinden, yarı sonsuz homojen
izotrop düzlem içinde homojen izotrop n tane paralel katman olduğunu varsayarak
(Şekil 6) n. katman içindeki gerilme ve yerdeğiştirmeler hesaplanabilir. n. katman
içindeki herhangi bir noktanın yüzeyden derinliği z olmak şartıyla sınır şartlarını
dikkate alarak çözüm yapılır.
+X
0
1.
Z1
2.
Z2
n.
Zn
ZL-1
L.
+Z
Şekil 6 Yarı sonsuz uzayda homojen izotrop paralel katman ortamı
Sınır Şartları:
a. Bütün ara yüzeylerde yerdeğiştirme potansiyelleri (buna bağlı olarak
gerilme ve yerdeğiştirmeler) sürekli olmalıdır (Haskel 1953).
Sn(zn) = Sn+1(zn)
Bu ifade bize n ve n+1 inci katmanların ortak ara yüzeyleri olan zn de,
yerdeğiştirme vektörünün sürekliliğini gösterir (Dunkin 1965).
b. Yüzeyde z=0’da σzx(0) = 0 , σzz(z) = 0 olmalıdır (Haskel 1953). Yani
n=0 için 1. şarta göre,
85
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
S1(0) = S0
Bu ifade 0. ara yüzeydeki gerilme ve yerdeğiştirmelerin iletimi aşağıdan
yukarıya doğru olduğunu gösterir. Bu ilişki sadece S’nin iki bileşeni için
belirlenmiştir. Diğer iki bileşeni hesaplanmak zorundadır (Dunkin 1965).
c. Sonsuzda potansiyel değişimi (yayınım olmayacaktır) ∅+L= 0, ψ+L= 0
olmalıdır (Haskel 1953).
O halde,
k=
ω
c
=
2π
λ
λ : dalga boyu olduğuna göre. EK 5 (26) ve EK 5 (27) eşitlikleri kısa
gösterimle yazılırsa,
ω = k.c
ω2
α2
ω2
N2 = k2 − 2
β
M 2 = k2 −
φ n ( x, z, t ) = ( A1e M ( Z − Z
n −1 )
ψ n ( x, z , t ) = ( B1e N ( Z − Z
+ A2 e
n −1 )
− M ( Z − Z n −1 )
)e ikx e iwt
(1)
+ B2 e − N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt
(2)
elde edilir. Böylece n. katman için yerdeğiştirme potansiyleri bulunmuş olur. Dalganın
yayılma
yönü
X-Z
doğrultusunda
olduğundan
meydana
gelen
yerdeğiştirmeler hesaplanırsa,
u=
dφ dψ
−
dx dz
ve
w=
dφ dψ
+
dz dx
elde edilir. (1) ve (2)’nin türevleri alınıp yukarıda eşitlikte yerine yazılırsa,
86
gerilme
ve
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
dφ
= ik ( A1e M ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) + ik ( A2 e − M ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
dx
dφ
= M ( A1e M ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) − M ( A2 e −M ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
dz
dψ
= N ( B1e N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) − N ( B2 e − N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
dz
dψ
= ik ( B1e N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) + ik ( B2 e − N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
dx
ve kısa gösterim için,
φ + = ( A1e M ( Z − Z
n−1 )
φ − = ( A2 e − M ( Z − Z
n −1 )
ψ
+
e ikx e iwt )
Aşağıdan gelen P Dalgası
e ikx e iwt )
Yasıyan P Dalgası
= ( B1e N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
ψ − = ( B2 e − N ( Z − Z
n −1 )
e ikx e iwt )
Aşağıdan gelen Sv dalgası
Yansıyan Sv dalgası
u = ikφ + + ikφ − − Nψ + + Nψ −
(3)
w = Mφ + − Mφ − + ikψ + + ikψ −
(4)
yazılabilir. Gerilmeler hesaplanırsa,
σ zz = λθδ ij + 2με zz
σ zz = λdivS + 2 με zz
⎛ du dw ⎞
+
⎟ + 2 με zz
⎝ dz dz ⎠
σ zz = λ ⎜
87
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
⎛ d 2φ d 2φ ⎞
⎛ d 2φ d 2ψ ⎞
⎟
σ zz = λ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + 2μ ⎜⎜ 2 +
dxdz ⎟⎠
dz ⎠
⎝ dx
⎝ dz
(5)
σ xz = 2με xz
⎛ du dw ⎞
+
⎟
⎝ dz dx ⎠
σ xz = μ ⎜
d 2φ d 2ψ d 2ψ ⎞
− 2 + 2 ⎟⎟
dzdx
dz
dx ⎠
⎝
⎛
σ xz = μ ⎜⎜ 2
(6)
eşitlikleri elde edilir. (6.1) ve (6.2) eşitliklerinin türevleri alınıp (6.3), (6.6)’daki
eşitliklerde yerine yazılırsa,
dφ
= ikM A1e M ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt − ikM A2 e − M ( Z − Zn −1) e ikx e iwt
dxdz
(
)
(
)
d 2ψ
= N 2 ( B1e N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) + N 2 ( B 2e − N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
2
dz
d 2ψ
= − k 2 ( B1e N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt ) − k 2 ( B2 e − N ( Z − Z n −1 ) e ikx e iwt )
2
dx
u = ikφ + + ikφ − − Nψ + + Nψ −
w = Mφ + − Mφ − + ikψ + + ikψ −
σ zz = μaφ + + μaφ − + 2iμkNψ + − 2ikμNψ −
σ xz =2 μikMφ + − 2ikμMφ − − μ ( N 2 + k 2 )ψ + − μ ( N 2 + k 2 )ψ −
88
(7)
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
elde edilir. Kısa gösterim için,
a = ( N 2 + k 2 ) = 2k 2 −
ϖ2
β2
Yerdeğiştirme ve gerilmeler ile vektörel potansiyel yerdeğiştirmeler arasındaki ilişki
dizey olarak ifade edilebilir,
u
w
σ zz
σ zx
=
ik
−N
M
μa
2iμkM
ik
2iμkN
− μa
Sn(z) =
ik
−M
μa
− 2ikμM
φ+
ik
ψ+
.
.
− 2ikμN φ −
− μa ψ −
N
. ∅n(z)
Tn
ve simgesel gösterimle n. katman için şu şekilde yazılabilir,
[
S n ( z ) ≡ u n ( z ), w n ( z ), σ zzn ( z )σ zxn ( z )
]
φ n ( z ) ≡ [φ n+ ( z ),ψ n+ ( z ), φ n− ( z ),ψ n− ( z )]
S n ( z n ) = Tnφ n ( z n )
(8)
Bu eşitlikten Sn ni çekersek,
φ n ( z n ) = Tn−1 S n ( z n )
(9)
elde edilir. Tn’in tersi ise kare bir dizeyin tersini alma yöntemiyle bulunabilir. O zaman
Tn−1 ise,
89
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
Tn−1
2iμ n kM n N n
− μ n an M n
β
=
.
2
− 2iμ n a n
2μ n M n N nω
μ n an M n
2
n
μ n aN n
2iμ n kM n N n
− μ n an N n
2iμ n kμ n N n
M n Nn
ikM n
M n Nn
ikM n
ikN n
− M n Nn
− ikN n
M n Nn
olarak bulunur. z = zn alırsak zn – zn-1 katmanın kalınlığını verir. 1. sınır şartını dikkate
alarak, n. katmanı sınırlayan zn ve zn-1 ara yüzeylerinde potansiyel yerdeğiştirme
vektörleri arasındaki ilişki,
φ n ( Z n ) = E nφ n ( Z n −1 )
(10)
şeklinde yazılabilir. Bu eşitliklikte ki En dizey formunda yazılırsa ve kısa gösterim için,
d n = z n − z n −1 ise,
E n (d n ) =
e mn d n
0
0
0
0
nn d n
e
0
0
0
0
e − mn d n
0
0
0
0
e − nn d n
elde edilir. Thomson ve Haskell sınır şartlarını dikkate alarak katmanları birbirine
bağlayan bir G katman dizeyi tanımlamışlardır;
S n +1 ( z n ) = Gn S n ( z n −1 ) .
(11)
Bu G dizeyi izleyen şekilde elde edilir. n + 1’inci tabakadaki gerilme ve
deformasyonlardan başlayarak zn ara yüzeyinde n. katman üzerinde,
1. S n ( z n ) = S n +1 ( z n )
90
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
zn arayüzeyinde gerilme ve deformasyonun sürekliliği n+1 katmandan başlar n.
katmana geçer. Gerilme ve deformasyon aynı zn ara yüzeyi için aynıdır fakat bu
sefer katman n. katmandır.
2. Tnφ n ( z n ) = S n +1 ( z n )
Bu eşitlik, (8) bağıntısına göre 1. maddedeki Sn’ni yerine yazarak elde edilir. Bu
eşitlik n. katman içinde zn arayüzeyindeki potansiyelleri, yine n. katman içinde
gerilme-deformasyon ile potansiyeller arasındaki ilişki cinsinden verir.
3. Tn E nφ n ( z n −1 ) = S n +1 ( z n )
İkinci
maddedeki
eşitlikte
(10)’u
yerine
yazılarak elde edilir. Böylece
potansiyellerin ara yüzeydeki sürekliliği şartından, n+1 inci katmanın içinden gelen
zn ara yüzeyinden yukarıya geçen süreklilik durumu, n. katmanın üstündeki zn-1 ara
yüzeyine taşınmış olur.
4. φ n ( z n −1 ) = Tn−1 S n ( z n −1 )
İlk 3 maddeyi oluştururken geçerli olan koşulları dikkate alarak (6.9) eşitliğini zn-1
ara yüzeyi için düzenleyerek bu eşitliği elde edebiliriz. Böylece n. katmanda zn-1 ara
yüzeyindeki gerilme-deformasyan ile potansiyel arasındaki ilişki elde edilmiş olur.
91
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
Sonuç olarak 4. maddedeki eşitlik 3. madde de yerine yazılırsa,
Tn E nTn−1 S n ( z n −1 ) = S n +1 ( z n )
elde edilir kısalık için,
Gn = Tn E n Tn−1
(12)
alınır. Bu denklem Sn(zn-1)’i T-1n ile ∅n’e çevirir. (Şekil 1)’deki geometri için, yalnızca
yüzeydeki rahatsızlığı hesaplayarak bu bağıntıyla yarı sonsuz ortamın içine kadar
çözüm taşınabilir ve herhangi bir katman ve ara yüzeyi için yerdeğiştirme potansiyelleri
hesaplanabilir. O halde,
φ L ( Z L −1 ) = TL−1G L −1G L −2 ..............G2 G1 S 0
ve kısa gösterim için
φ L ( z L −1 ) ≡ R.S 0
(13)
olarak yazılabilir (Dunkin 1965). R dizey formundadır ve 4x4 boyutunda bir dizeydir.
Bu dizey 2. dereceden dizeyler halinde parçalanıp yazılabilir. O zaman,
R=
R11
R12
R21
R22
.
(14)
2. sınır şartından dolayı S1(0) = S0 olmalıdır. Yani yüzeyde gerilmeler sıfır olmalıdır.
(13) eşitliği yüzeydeki çözümü alıp herhangi bir katman ve ara yüzeyine taşıdığına göre
(7) eşitliklerine bakılırsa kolayca R11 ve R12 dizeylerinin yerdeğiştirmelere karşılık
92
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
geldiği görülür. Sınır şartından gerilmeler sıfırdı o halde yüzeydeki yer değiştirmelerin
L katmanına taşınması gerekir. Fakat 3. sınır şartından dolayı da L yarı uzayında
yayınım sıfır olmalıdır. O zaman aranan çözüm,
φ L ( z L −1 ) =
R11
R21
R12 (u , w)
≡ R.S 0
R22 (σ zz , σ zx )
R11 (u 0 , w0 ) + R12 (σ zz (0), σ zx (0)) = 0
(15)
ile verilir. Burada, σ(0)zz , σ(0)zx, u0,w0 değerleri S0 ın bileşenleridir. Yerdeğiştimeler,
u0
w0
= − R11−1 R12
σ zz (0)
σ zx (0)
(16)
ile hesaplanır. Sınır şartından dolayı bu eştiliğin sıfır olması gerekir. Bu eştiliğin sıfır
olması için R-111= 0 olması gerekir. Çünkü R11 dizeyi gelen P ve Sv dalgalarının
oluşturduğu bir dizeydir. Gelen dalganın sıfırlanması ise yüzeyde gerilmeleri sıfır yapar
ve sınır şartı sağlanır.
(
R11 , R11 in kofaktör dizeyinin tersi olmak koşuluyla (16) düzenlenirse,
(
σ zz (0)
R11
=−
.R12
σ zx (0)
w0
det R11
u0
(17)
elde edilir. det R11 ifadesinin kökleri sızma ve yayılma mod artışını verir. Yüzeydeki
gerilmelerin sıfır olması için det R11= 0 olmalıdır ve bu çözüm yalnızca (k,ω) çifti için
vardır:
F (k , ω ) ≡ det R11 = 0 .
(18)
93
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
(18) eşitliğine Rayleigh Dispersion Eşitliği yada Rayleigh Secular Fonksiyon kısaca
Secular Fonksiyon adı verilir. (k,ω) çiftine özdeğerler adı verilir ve modal eğrileri
temsil ederler.
Tek bir yarı düzlem için frekans eşitliği,
x
Z=0
1
det(T1−1 )11 = 0 .
z
(19)
İki yarı düzlem için arayüzeyinde ise,
1
x
Z =1
2
det(T2−1T1 )11 = det(T2−1T1 ) 22 = 0 .
z
(20)
Tek katman için (2. tabaka) iki yarım düzlem arasındaki frekans eşitliği,
1
Z=1
X
2
Z=2
3
Z
det(T3−1 , T2 E 2T2−1T1 )11 = 0 .
(21)
Şekil 1 tekrar incelenirse katman dizeyi G’yi kullanarak zn-1 <= z <= zn için Sn(z) ifadesi
yeniden yazılabilir,
94
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
S n ( z ) = Gn ( z − z n −1 )Gn −1 ........G1 S 0 ≡ MS 0 .
(22)
Benzer şekilde M dizeyide 2. dereceden alt dizeylere ayırılır. (15)’e benzer şekilde,
Sn( z ) =
M 11 u 0 M 12 σ zz (0)
. +
.
M 21 w0 M 22 σ zx (0)
(23)
yazılabilir. u0,w0 değerini yani (17) eşitliği yukarıda yerine yazılırsa,
S n ( z) = −
M 11
M 21
(
σ zz (0) M 12 σ zz (0)
R11
+
.
.R12
σ zx (0) M 22 σ zx (0)
det R11
(24)
elde edilir. (24) tabakalı yarı düzlemde yüzey uyarıldığındaki en son ifadedir (Dunkin
1965). Eğer lokal kaynak tabakanın içine doğru harekete geçirilirse, tabaka kaynak
seviyesinde bölünebilir ve Sn vektörüne sıçrayarak tanımlanmış kaynağı ortaya çıkarır
(Harkrider and Haskell 1964).
n. katman için toplam mod çözümü, Sn, ayrılmış modların katkısını içerir. s düzleminde
sm mod kutupları,
S n ( z) = ∑
m
1
2π
(m
smt + ikx
S
∫ n ( z )e dk .
(25)
Γm
olarak verilir. Burada, Γm , m inci mod kutubunu içeren gerçel k eksenindeki bölgeyi
(
kapsar, ve S nm ise,
(
(m
σ zz (0)
M 11 R11
S n ( z) = −
R12
σ zx (0)
M 21 f s
(26)
95
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
(
şeklindedir. Eğer fs = det R11 = 0 etkisini kullanırsa, sonrasında R11 ,
(
γ
R11 = 22
− γ 21
− γ 12
γ 11
= −γ 11−1
− γ 12
γ 11
γ 21 − γ 11
(27)
(
⎧ M −γ ⎫ ⎧ 1
σ zz (0) ⎫
S nm ( z ) = ⎨γ 11−1 11 . 12 ⎬ . ⎨ [γ 21 − γ 11 ]R12
⎬
σ zx (0) ⎭
⎩ M 21 γ 11 ⎭ ⎩ f s
Alıcı
(28)
Kaynak
elde edilir. (26) eşitliği kaynak ve alıcı karakteristikleri olarak ayrıştırılabilir. Böylece,
(28) eşitliği kısa gösterimle,
(
S nm = Rnm .W0m
(29)
elde edilir. Burada Rmn ve Wm0 sırayla alıcı ve kaynak fonksiyonlarıdır. Wm0 kaynak
terimi, serbest yüzeydeki düşey yerdeğiştirmenin dönüşüğüdür. m inci modda yüzeyde
σzz(0), σzx(0) gerilme dağılımına neden olur. Rmn alıcı fonksiyonuda m inci modda n
inci katmanda gerilme ve yerdeğiştirmelerin normalleştirilmiş dönüşüğüdür ve serbest
yüzeydeki normalleştirilmiş düşey yerdeğiştirmedir (Dunkin 1965).
Şayet güvenilir ve etkili bir teknikle secular fonksiyon hesaplanabilirse, onun kökleri
modal eğrileri verir. Bununla beraber secular fonksiyon hızlı salınım yapan bir
fonksiyondur bu yüzden kökleri araştıran teknikler yetersiz kalmaktadır.
96
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
(18) secular fonksiyonunu çözebilmek için çoğunlukla Dunkin’in (1965) izlediği
yöntem kullanılır. Öncelikle Dunkin (1965) tarafından tanımlanan teoremlerin
incelenmesi gerekir.
Teorem 1.
Eğer P dizeyi A1,A2,...An gibi 2 yada daha çok elemandan oluşan dizeylerin çarpımı
şeklinde yazılabilir.
P = A1.A2.A3.......An
(30)
sonrasında p, P dizeyinin 2x2 boyutundaki alt dizey elemanı olmak üzere ,
mn
st
p |ijkl = a 1 |ijmn .a 2 | op
....a n −1 |uv
.a n |uv
kl
(31)
şeklinde 2x2 lik dizeylerin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu ayırma işleminde dikkat
edilmesi gereken, m < n olmalı 1,2 ve 2,1 gibi benzer indisleri asla içermemelidir.
Burada ij satırları kl sütunları göstermektedir.
Dizeylerin özelliğinden p dizeyinin elemanları şu şekilde düzenlenebilir,
p |ijkl = − p | klji = − p |ijlk = p |lkji .
Teorem 2.
G katman dizeyinin alt determinantları exponansiyel sonuçları içermez.
97
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
İspat :
Gn dizeyinin ikinci dereceden alt determinantı (31)’e göre yazılırsa,
ab
g n |ijkl = t n |ijab .e n |cd
.t ′ n |cd
kl
a<b, c<d şartıyla
−1
elde edilir. Burada t ′ n |cd
kl , Tn ‘in alt determinantıdır. Eğer En(dn) dizeyine bakılacak
ab
= 0 olduğu görülür (ab≠cd ve ab≠dc olmak şartıyla). O zaman,
olursa, e n | cd
n ab
g n |ijkl = t n |ijab .t ′ n | cd
kl .e | ab
a<b
(32)
elde edilmiş olur. Bu sonuçla birlikte T ve T-1 üstsel ifade içermez ve Gn nin alt
determinantları En alt determinanlarının doğrusal bileşimidir. O halde secular fonksiyon
alt determinantlarına ayrılacak olursa,
f ≡ det R11 = γ |12
12
l −1 ab
ef
f = t ′ l |12
|cd ..........g 1 |12
ab .g
(33)
n
g11n = g 44
= −γ n CH + (γ n + 1)CK
[
n
g12n = g 34
= i (γ n + 1)SH − γ n k n2 SK
]
n
g13n = g 24
= i ( ρ n λ2 k ) −1 (CH − CK )
g14n = ( ρ n λ2 k ) −1 (− SH + k n2 SK )
[
n
n
g 21
= g 43
= i γ n hn2 SH − (γ n + 1) SK
]
n
n
g 22
= g 33
= (γ n + 1)CH − γ n CK
98
Ek 6 Rayleigh Dalga Denkleminin Eldesi ve Çözümü (Devamı)
n
g 23
= ( ρ n λ2 k ) −1 (hn2 SH − SK )
n
n
g 31
= g 42
= iρ n λ2 kγ n (γ n + 1)(CH − CK )
[
n
g 32
= ρ n λ2 k (γ n + 1) SH − γ n2 k n2 SK
2
[
]
n
g 41
= ρ n λ2 k − γ n hn2 SH − (γ n2 + 1) 2 SK
]
(34)
elde edilir. Bu denklemlerdeki kısaltmalar,
λ=
ϖ
γ n = 2k 2
k
⎛
ϖ2⎞
h = k ⎜⎜ k 2 + 2 ⎟⎟
αn ⎠
⎝
2
n
β n2
ϖ2
1/ 2
−1
k n = k −1 (k 2 +
ϖ2
)
β n2
SH = hn−1 sinh .k .hn d n
SK = k n−1 sinh k .k n d n
CH = cosh .k .hn d n
CK = cosh k .k n dn
şeklindedir. Bu sonuçlar (33)’de yerine yazılarak sıfıra eşit olması sağlanır.
99
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Kenan YANIK
Doğum Yeri : Gelsenkirchen, ALMANYA
Doğum Tarihi : 23.05.1973
Medeni Hali : Evli
Yabancı Dili : Almanca
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Yahya Kemal Beyatlı Lisesi, 1990
Lisans
: A.Ü. Fen Fakültesi Jeofizik Mühendisliği, 1995
Yüksek Lisans: A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü
Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı (2006)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
BİB Afet İşleri Gen. Md. Deprem Araştırma Dairesi, 1998
100
Download

yüzey dalgası dispersiyon verilerinden sönümlü en küçük kareler