(Fundamentalna) Fizika
Elementarnih Čestica
Dan 2: Fizika u prostor-vremenu, Lorentz-ova grupa,
kinematika, Feynman-ovi dijagrami
Tristan Hübsch
Prirodno-Matematički Fakultet
Univerzitet u Novom Sadu
Department of Physics and Astronomy
Howard University
Fundamentalna Fizika Elementarnih Čestica
Program za danas
Fizika u prostor-­‐vremenu
Lorentz-ove transformacije
Lorentz-invarijante
Rela4vis4čka kinema4ka i posledice
Zakoni očuvanja
4-dimenziona notacija i tenzorski račun
Relativistička kinematika
Feynman-­‐ovi dijagrami
Konstanta raspada i amplituda procesa
Model-igračka
2
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-ove transformacije
Promena izbora koordinatnog sistema ne sme da menja sadržaj
prirodnih zakona (ne sme da ima opažljivih posledica)
①
smena (transformacija) koordinata je simetrija.
Naknadnom mudrošću XX veka:
Kretanje čestica je opisano jednačinama kretanja
Naelektrisane čestice proizvode elektromagnetno polje
Elektromagnetno polje je opisano Maxwell-ovim jednačinama
Jednačine za { nelektrisanje + EM polje }: iste simetrije
Newton-ove jednačine kretanja imaju Galilei-eve simetrije
Maxwell-ove jednačine imaju Lorentz-ove simetrije
Proširenje Newton-ove mehanike da ima Lorentz-ovu simetriju
je kompatibilno sa Maxwell-ovim jednačinama i prirodom.
3
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-ove transformacije
Specijalna teorija relativnosti: inercijalni (koordinatni) sistemi
Koordinatni sistem je inercijalan ako važi prvi Newton-ov zakon,
tj. zakon inercije: svako telo se kreće po pravoj liniji i konstantnom
brzinom ako je zbir svih sila koje deluju na njega nula.
“Prava linija” = geometrija u datim koordinatama
“konstantna brzina” = diferencijalna geometrija u tim koordinatama
I “prava linija” i “konstantna brzina” su merljiva svojstva
čija preciznost (tolerancija) može da se zada
= fizika!
⇒ relativna brzina izmedju dva inercijalna sistema je konstantna
Brzina svetlosti u vakuumu je konstanta c.
②
“Obrnuta definicija” (inercijalni koordinatni sistemi su oni koji se
kreću konstantnom relativnom brzinom) nije dovoljno dobra!
4
⇢
1)(vˆ ·⌅r ) vˆ
⌅r = ⌅r + (
⌅vt,
⇢
⌅r = ⌅r + (
⇣
⇣
Fizika u prostor-vremenu
⌅v ·⌅r ⌘
⌅v
t =
t
,
t=
t +
⇢
c2
Lorentz-ove transformacije
1
⇣
⌘
2
⌅v
2
:= 1
,
2
c videli:
…a u obliku koji verovatno niste
⇢
⌅v
vˆ := - .
⌅v 2
⇢
(u⌅r desnoj
⌅r ⇢ = ⌅r + ( Inverzna
⌅vt,
1)(vˆ ·⌅r )transformacija
vˆ
= ⌅r ⇢ + koloni)
( 1)(vˆje·⌅rformalno
) vˆ + ⌅vt⇢ista
,
uz promenu predznaka relativne
brzine
izmedu inercij
⇣ samo
⌘
⇣
⌘
⇢
⌅v ·⌅r
⌅v ·⌅r
⇢
⇢
da se formule za
tr
t =
t lja 2primetiti
,
t =odgovaraju´
t + 2cu Galilei-jevsku
,
c
c
fizici dobijaju u formalnom limesu c ⇣ +•, pri ˇcemu ⇣
1
⇣
⌘
2
Vaˇ
relativistiˇ
cki efekti posledi
⌅v
v
2 zno je sagledati da su svi ⌅
:= 1
,
vˆ := - .
2
c
⌅v 2dogadaja, A i B, simulta
Relativnost
simultanosti Ako su dva
⇢:
oni
ne
moraju
da
budu
simultani
u
sistemu
S
Ove transformacije čine simetriju Maxwell-ovih jendačina
(posle dodatnog izvodjenja transformacije
E+M
polja)
⇣
⌘
⌅v · ⌅ri
⇢
t⇢i = ⇢ ti ⌅v · 2(⌅r B , ⌅rAi )= A, B,
⌫
t⇢A
c 2
Simultanost (tA = tB): t A tB =
c
što je simultano
ˇsto iˇsˇcsamo
ezava ako
ako je
je ⌅v ortogonalno na razmak ⌅r B ⌅rA , ali ne i
Relativnost duˇzine/razmaka Mada je to pomalo trivijalno, pr
5
objekta (izmerenoj u nekom inercijalnom koordinatnom si
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-ove transformacije
Razmak ⌅r := (⌅r B ⌅rA )
Izmerimo (simultano!). razmak
U sistemu S’ je to onda
⌅r ⇢ =
⌅r + (
⌅r ⇢ =
⌅r + (
⌅r ,⇢ =
⌅r ⇢$ =
1)(vˆ ·
⌅r )vˆ
1)(vˆ · ⌅r )vˆ =
⌅r, ,
⌅r$ ,
⌅v(t B
t A ).
⌅r, ,
⌅r$ +
ˆ
⌅r, := (vˆ ·⌅r ) v,
ˆ
⌅r$ := ⌅r (vˆ ·⌅r ) v.
FitzGerald-Lorentz-ova formula za kontrakciju dužine
(ali ne i njihova interpretacija, usled otpora pri kretanju kroz etar)
Dva momenta u S’:
t B t A = (t⇢B
⇢ ⌅r ⇢ )
⌅
v
·
(⌅
r
B
A
t⇢A ) +
.
2
c
6
t=
t⇢ ,
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-ove transformacije
Sabiranje brzina
⌅u :=
⌅r ⇢ + (
⌅r
=
t
1)(vˆ · ⌅r ⇢ )vˆ + ⌅v
t⇢ +
⌅u ,⇢ + ⌅v
=
1+
(⌅v·⌅u ⇢ )
c2
+
(⌅v· ⌅r ⇢ )
c2
⌅u$⇢
(⌅v·⌅u ⇢ )
1 + c2
t⇢
1⌅
u⇢
=
1+
Prvi (paralelni) deo je uobičajeno naveden.
Drugi (transverzalni) deo je obično izostavljen.
4-vektorska notacija: 2 3
µ
y =L
µ
◆
◆
x ,
x0 = ct, ⌅r =
3
i
x
 eˆ i ,
i =1
y0
6 y1
4 y2
y3
2
L0
0
7 4 L1 0
5 = L2
7
0
L3 0
L0
1
L0
(⌅v·⌅u ⇢ )
c2
ˆ
⌅u,⇢ = (⌅u,⇢ ·vˆ )v,
gde
,
1 )( vˆ ·⌅
u ⇢ )vˆ + ⌅v
+ (1
2
L0
3
L1 1 L1 2 L1 3
L2 1 L2 2 L2 3
L3 1 L3 2 L3 3
32
}
x0
1
x
54 2
x
x3
⌅u$⇢ ·vˆ = 0,
i skraćenje
i rotacija
3
5.
,
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-invarijante
Kvadratna funkcija
2
2 2
( c ⇠ ) := c t
⌅r
2
⇥
2 2
= c t
1 2
2 2
3 2
(x ) + (x ) + (x )
je invarijatna u odnosu na Lorentz-ove transformacije.
Konciznije:
c2 ⇠ 2 = x2 = x·x := x µ µ◆ x ◆ ,
= [
µ◆ ]
=
"
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
#
Analogno: p = ( pµ ) := ( E/c, ⌅p) = ( m c, m ⌅v).
Stoga:
⇣
p2 : = p µ
µ◆
p◆ = E2 /c2
⌅p 2 = m2
2 2
c
⌅p 2 = m2
E2 = ⌅p 2 c2 + m2 c4 .
8
⇤
2 2
c
1
v2 ⌘
2 2
=
m
c .
2
c
Fizika u prostor-vremenu
Lorentz-invarijante
Dakle, svojstveno vreme i masa su Lorentz-invarijante.
Svojstveno vreme je takodje i “koordinatno” vreme u
koordinatnom sistemu u kome čestica miruje (otud i naziv).
Čestica bez mase u ne-relativističkoj fizici nema smisla.
U relativističkoj: m = 0 ⇠ E2 = ⌅p 2 c2 , ⇠ E = c |⌅p|
2
mc = mc |⌅v|,
Oprez: E ≠ mc2.
⌫
|⌅v| = c.
E2 = ⌅p 2 c2 + m2 c4 .
(–Energija/c) je 0-ta komponenta 4-vektora energije-momenta
Masa je Lorentz-invarijanta
Energija mirovanja: E0 = mc2.
9
Relativistička kinematika i posledice
Zakoni očuvanja
Zakon očuvanja energije
održanje 4-vektora
Zakon očuvanja impulsa
energije-impulsa
Zakon očuvanja ugaonog momenta i spin-statistika
Diskretne simetrije
}
P (parnost)
T (obrtanje smera vremena)
C (konjugacija naboja)
CPT teorema
4-dimenzioni tenzorski račun
10
Tenzori u prostor-vremenu
Dif. račun u prostor-vremenu
(digresija)
Izvod/derivacija (generalna definicija):
Dx[f(x)·g(x)] = Dx[f(x)]·g(x) + f(x)·Dx[g(x)]
Prostor-vreme: —1,3:={xμ∈(–∞,+∞), μ=0,1,2,3}
x = (x0, x1, x2, x3), ημν = diag(1,–1,–1,–1)
x·y = x0y0 – (x1y1 +x2y2 + x3y3) = c2(t1t2) – r1·r2
Ali — niko Vas ne tera da koristite moje koordinate!
Vaše koordinate: yμ = yμ(x0, x1, x2, x3).
…trebaće nam diferencijalni račun, da poredimo…
11
Tenzori
u
prostor-vremenu
tenzorskog diferencijalnog raˇcuna se svode na doslednu primenu ˇcinjenica i prav
Osnovne definicije
stice: otkrivanje
predispozicija
mentarne
ˇcestice: iotkrivanje
i predispozicija
mentalnih
ntarraˇ
fundamentalnih
sastojaka
Sveta
nog
cunasastojaka
sa nekolikoSveta
promenjivih,
od kojih digresija 1.2, str. 86
navodi:
(digresija)
Dif. račun u prostor-vremenu
µ⇥
µ⇥
ar-vremenu
u prostor-vremenu
⌅x
⌅x
µ
µ
kontravarijantni vektor :
dx = dy
Diferencijal i izvod:
A ( x )= A (y)
;
⌅y
⌅y
sformacije
i tenzori i tenzori⌅
ncove transformacije
⌅y ⇥ ⌅
⌅y ⇥
kovarijantni3 vektor
:
=
B
(
x
)
=
B
(
y
)
.
µ
µ
µ
µ
3
3
3
µ
⌅ ⌃
⌅ ⌅x⌃
⌅x ⌃yµ ⌃⌅x
⌅y ⌃x
⌃y
⌃
⌃x
µ
⌅
µ
⌅
dy =
dx
=
dy ⌅ =
dx
= ⌅
µ
µ
µ
µ ⌃x ⌅
⌅
⌃x
⌃y
⌃y
⌃x
⌃x
⌃y
⌃y
vih pravila prilikom
koordinata,
sreli
⌅=0promene⌅=
⌅=0 smo i pojam
0
⌅=0 skalarne gustine [v
str. 91], pa
njihova kombinacija daje opˇstu definiciju:
kontra-varijantan
ko-varijantan
inematika:
ograniˇcenjaograniˇ
i posledice
tivistiˇcka kinematika:
cenja i posledice
tenzor tipa (1,0)
tenzor tipa (0,1)
finicija 7.1 (tenzorska gustina) Veliˇ
cinu koja je u nekom koordinatnom sistemu (sa
agrami
proraˇcuni i proraˇcuni
manoviiµdijagrami
µ1 ,··· ,µ p
atama x ) zadata komponentama { T 1 ,··· , q (x)} i ˇcije komponente u nekom d
µ ) mogu
Opšta
tenzorska
gustinaytipa
(p,q;w):
sistemu
(sa koordinatama
da se izraˇcunaju putem relacija
elektrodinamika
ˇ
z:rdinatnom
simetrije:
elektrodinamika
⇤
⌅⇥
⇥p
⇥1
q
w
1
⌅y
⌅y
⌅y
⌅x
⌅x
⇥
,
···
,⇥
µ1 ,··· ,µ p
p
1funkcije
nkcije
uT kvantnoj
mehanici
talasne
u
kvantnoj
mehanici
·
·
·
·
·
·
T 1 ,··· , q ( x )
⇤1 ,··· ,⇤q ( y ) = det
µ
⇤
µ
⇤
p
q
⌅x
⌅x 1
⌅x ⌅y 1
⌅y
no
polje i elektromagnetni
kvanti
tromagnetno
polje i elektromagnetni
kvanti
emo tenzorskom gustinom teˇzine w, tipa
( p, q) i ranga p+q. Tenzorske gustine
12
m,
pozitronijum
i kvarkonijum
onikov
atom, pozitronijum
i kvarkonijum
Tenzori u prostor-vremenu
Dif. račun u prostor-vremenu
(digresija)
“Očuvanje indeksa”
Indeks ponovljen jednom gore–jednom dole je sumiran;
njegov izbor nije proizvoljan, izraz od njega ne zavisi.
Ne-ponovljeni indeks je slobodan i nije sumiran; izraz
zavisi od izbora njegove vrednosti.
Broj i pozicija indeksa u sabircima moraju da budu isti.
μν
ν
Primer: Aμ η = A – tzv. “podizanje indeksa”
Aμ ημν = Aν – tzv. “spuštanje indeksa”
μν
Aμ η Aν = |A•|2 = A02 – (A12 + A22 + A32)
= kvadrat η-norme 4-vektora (A0, A1, A2, A3)
13
Tenzori u prostor-vremenu
Dif. račun u prostor-vremenu
(digresija)
’ajde sad Vi:
Tip tenzora Xμν je (1,1).
Šta je tip tenzora (Xμν Yν) , ako Yν je tenzor tipa (0,1)?
Šta je tip tenzora (Xμν Yνρσ ), ako Yνρσ je tenzor tipa (0,3)?
Da li je izraz (Xμν Yνρσ) tenzorski? – Zašto?
Domaći!
Da li je izraz (Xμν Yνρσ) tenzorski? – Zašto?
Da li je izraz (εμνρσ Xμν Yρσ) tenzorski, ako εμνρσ je tenzorska
gustina tipa (4,0;1) a Xμν i Yρσ tenzori tipa (0,2)? – Zašto?
Da li je izraz (∂f/∂xμ) tenzorski? – Zašto?
μ
Da li je izraz (∂A /∂xμ) tenzorski? – Zašto?
14
3 3
3 3
µ
µ
yy
⌅
⌅
xx
Tenzori u prostor-vremenu
µ µ =
dy
dy =
⌅ ⌅
dx
=
dx
=
µ
µ ⌅x ⌅
⌅
µ
µ
⌅
x
y
y
y
x
⌅=⌅0=0 x
⌅=⌅0=0y
↵
⇥
⌥q
µ1
⌥1
↵
⇥
µyp µ p ⌥x
⌥x
µ
d
q
d
1
1
y
y
µ
···
µ
⌃1⌃···
⌃p
y
y
y
x
x
(digresija)
p
Dif.
račun
u
prostor-vremenu
µ
···
µ
⌃
···
1
p
p
1
1
⌦ ⌅ ···⌅ == det
⌦T
det
·
·
·
·
·
·
T
T
·
·
·
·
·
·
T
⌥
···
⌥
q
⌃
⌅
⌅1 ···1 ⌅p p
⌥
···
⌥
1
⌃
⌅
p
q
q
⌃
⌅
1
⌃
1
⌅
p
q
1
1
xx
xx
x x y y1
yy
Da proverimo:
⌅
⌅
f
f
x
f
f
x
f f
⇥
=
⇥
=
µ
µ
µ ⌅x ⌅
µ
µ
µ
x
y
y
x
y
y x
jeste tenzor tipa (0,1). Ali
Aµ
⇥
µ
x
⌅
µ
⌦µ
A
x
y
µ
⌃
⌦
= µ A (y) = µ ⌅ ⌃ A ( x )
µ
y
y
y x x
⌅
2 yµ
x ⌅ yµ
x
⌃
⌃
= µ ⌃ ⌅ A (x) + µ ⌅ ⌃ A (x)
y x x
y x x
A⌅
x ⌅ 2 yµ
⌃
=
+ µ ⌅ ⌃ A (x)
⌅
x
y x x
15
A
⇥
xµ
A
x
y
µ
⌃
⌦
=
A
(
y
)
=
A
(
x
)
yµ
yµ
yµ x ⌅ x ⌃
Tenzori ux prostor-vremenu
x
y
y
⌅
µ
2 µ
⌅
A ( x ) + µ ⌅ (digresija)
A (x)
Dif. račun u=prostor-vremenu
µ
⌃
⌃
⌅
y x x
y x x
⌃
⌃
⌅
⌅
2 yµ
A
x
μ
⌃
Ako je xμ →=yμ = Λμν+xν linearna transformacija,
pa
je
Λ
ν
A
(
x
)
µ x⌅ x⌃
⌅
x
y
matrica konstantnih elemenata, onda je
x⌅
2 yµ
yµ x ⌅ x ⌃
=
yµ
x⌅
yµ x ⌅ x ⌃
=
x⌅
yµ
µ
⌃
x⌅
=0
Za opšte transformacije, xμ → yμ = Λμν xν, matrični
12 funkcije xν, pa taj drugi,
elementi Λμν su proizvoljne
nesretni član ne iščezava!
“Tenzornost” izraza zavisi od (ne)linearnosti
μ
μ
μ
transformacija x → y = y (x) koje dozvoljavamo.
16
⌅
A
⌅
x
2 yµ
+
A
(
x
)
Tenzori=u xprostor-vremenu
⌅
yµ x ⌅ x ⌃
Dif. račun
u
prostor-vremenu
x ⌅ 2 yµ
x⌅
yµ
⌃
(digresija)
µ
x⌅ ⇥ ⌃
=
0
=
x⌃
yµ x ⌅
=
yµ x ⌅ x ⌃
yµ x ⌅
Ako definišemo
⌅
⌅
DA
A
DA⌅
A⌅
⌃
⌅
⌃
A
:
=
+
A
:
=
⌃
µ⌅
µ⌃
µ
µ
µ
µ
Dx
x
Dx
x
Probajte!
Izvedite kako to “Γ” mora da
se
transformiše
pod
12 μ μ
μ
nelinearnom promenom x → y = y (x), a da bi ova dva
D-izvoda bili tenzori tipa (1,1) i (0,2).
Ovo je kovarijantni izvod, a Γ je Christoffel-ov simbol.
Linearne promene xμ → yμ = Λμν xν su Lorentz-ove
transformacije; uporedite sa elektrodinamikom.
μ
Matrice Λ ν čine grupu SO(1,3). — čuva (c2t2 – r·r).
17
Relativistička kinematika i posledice
Relativistička kinematika
Opet:
p = (–E/c , px , py , pz)
p·p = pμ ημνpν = pμ pμ = E2/c2 – p2 = m2c2 = invarijanta
E = γmc2 za česticu mase m, a E = pc ako m = 0.
U ne-relativističkoj fizici čestica mase m = 0 nema smisla!
(Naime, onda i impuls, i kinetička i gravitaciona
potencijalna energija moraju da iščezavaju!)
· poznat razvoj· E = γmc2 za v < c:
Dobro
⌅ 2
⇧
)
4
mc2 + 12 mv 2 + 12 mv 2 34 vc2 + 58 vc4 + . . . .
⌥⌃
⌥⌃
⌥⌃
energija
mirovanja
nerel.
kin. energija
relativistiˇcke korekcije
18
Relativistička kinematika i posledice
Relativistička kinematika
Dve se grudve mase m sudare i zalepe pri brzini ±0.60 c. Kolika je
masa, M, konačne slepljene grudve?
Pošto je p1=–p2, očuvanje linearnog momenta: pM=0.
Očuvanje energije daje da EM=E1+E2, pa M = (E1+E2)/c2,
M = 2(mc2γ)/c2 = 2m/(1–(³⁄₅)2)1/2 = 5m/2 > 2m.
“Porast” M–2m = ½m potiče od kinetičke energije “pretvorene” u masu.
Ako se mirujuća grudva mase M raspadne na dve jednake grudve,
mase m, kolikom se brzinom razidju?
Održanje energije: M = 2mγ , pa v = c[1–(2m/M)2]½.
Mora biti da m < ½M. Pošto je MDeut.= 1875.6 MeV/c2, a
mp+mn = 1877.9 MeV/c2,
treba 2.3 MeV-a za raspad deuterona, tj. deuteron je stabilan.
19
Relativistička kinematika i posledice
Relativistička kinematika
Mirujuća grudva mase M se raspadne na dve različite grudve, m1 i
m2, izračunati brzine v1 i v2.
Očuvanje linearnog momenta daje p1 = –p2, jer pM = 0.
Očuvanje energije daje da je E1 + E2 = EM.
⌅
2
2
2
2
4
Koristimo Ei – pi c = mi c a EM = Mc2, jer pM = 0.
Rešavanjem po |p| = |p1| = –|p2| dobijemo
p=±
c
m22 )2
M4 + (m12
2M2 (m12 + m22 )
2M
Ako je m2 ≈ 0, onda
c( M2 m12 )
p=±
2M
20
Izvedite sami. Plus,
izračunajte totalne
energije, E1 i E2, kao
funkciju (samo) od
masa m1, m2 i M.
Feynman-ovi dijagrami
Par osnovnih napomena
Kod raspada, dN = –Γ N dt, te N(t) = N(0)e–Γt.
Pošto se čestice raspadaju na više načina, Γtot = Σi Γi.
Srednje τ = 1/Γtot , (branching ratio za raspad “i ”) = Γi/Γtot.
“Zlatno pravilo”:
⌦
n
n
3
d
p
S
4 4
i
d = |M|2
(
2⇧
)
⇤ (p M ⌅ p j )
⇤
3
2¯h M i=1 (2⇧ ) 2Ei
j =1
Tu je M matrični element za raspad čestice mase M u n čestica
pi je 4-momenat i-te čestice, Ei = c(mi2c2+ pi2)½ njena energija;
δ-funkcija nameće održanje 4-momenta, a izraz je dat u
sopstvenom sistemu čestice koja se raspada, pa je pM = (–Mc,0);
S je proizvod statističkih faktora 1/j! za svakih j jednakih čestica.
21
Feynman-ovi dijagrami
Par osnovnih napomena
⌃
⇤
⌅⌥
⇥
Kada se jedna čestica raspada u dve, ako 4-momenti rezultujućih
čestica nisu poznati, integralimo po njima:
1
S
=
2¯h M (4⇤ )2
gde je
4
pM
p1
⇧
⇥
⇥
p2 =
=
d3 p1
⇥
2
m12 c2 + p1
Mc
Mc
E1
c
⇥
d3 p 2
m22 c2 + p22
E2 ⇥ 3
c
m12 c2 + p12
|M|
⇥
2 4
p1
pM
⇥
p2
⇥
m22 c2 + p22
p1
3
2
p1 + p2
Integracija po p2 se, zbog δ3-funkcije, svodi na zamenu p2 → –p1.
Integracija po “uglovima” p1 daje 4π—ako M ne zavisi od njih.
Obično ostaje samo integracija po modulu |p1|.
22
⇥
⇥
p
⇥
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Računanje M koristeći Feynman-ova pravila
Model-igračka ima tri čestice, masa mA, mB i mC.
Pretpostavimo da je mA > mB + mC , tako da je jedini dozvoljeni
(realni) raspad tipa A → B + C:
B
C
A
23
vreme
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Tom najjednostavnijem procesu doprinose i virtuelni:
B
C
A
C
B
B
C
A
A
B
A
B
C
C
B
A
C
B
C
B
C
A
A
A
gde je svaki “čvor” tipa A → B + C,
osim što ih ne ograničava kinematički uslov mA > mB + mC.
Svi ovi dijagrami imaju 3 čvora, i jednu zatvorenu petlju; u sledećem
redu, imaju dve zatvorene petlje i 5 čvora…
24
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Već na najjednostavnijem nivou, elastični sudar može da se
dogodi “putem” dva procesa, opisanih dijagramima (virtuelnim
istorijama):
B
A
A
B
C
A
E
⇠ >
⌥q ⌥ p
B
1
¯
2h
1
¯
2h
A
Šta nije zabranjeno, dozvoljeno je.
A i ono što je zabranjeno, kad niko ne gleda.
25
.
C
,
B
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
1. Označimo spoljne 4-momente pi, unutrašnje qj ; odaberemo
predznak stavljajući strelicu na liniju.
2. Svakom čvoru pripišemo faktor [–i g], gde je g parametar
(“jačina”) interakcije.
3. Svakom čvoru pripišemo (2π)4 δ4(k1+k2+k3);
(4-momenti +ki ulaze u čvor, a –ki izlaze).
4. Svakoj unutrašnjoj liniji pripišemo faktor [i/(qj2–mj2c2)],
gde je 4-momenat qj slobodan, pa nije qj2 = mj2c2.
5. Unutrašnjim linijama pripišemo d4qj/(2π)4 i integralimo.
6. Iz čitavog izraza izbacimo faktor (2π)4 δ4(p1+p2+…–pn).
7. Rezultat je –iM.
26
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
“Tree-level” vrednost ΓA→B+C:
pB
pC
B
C
–ig
A
pA
Pošto nema unutrašnjih linija, pravila 4 i 5 su prazna.
Primenjujući pravila 1 i 2 dobijemo gornju sliku, a pravilo 3 ubaci
faktor (2π)4 δ4(pA–pB–pC),
koji onda pravilo 6 izbaci.
Ostane da je M = g, na ovom, najjednostavnijem nivou.
27
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Računamo:
S
=
2¯h m A
⌦
|M|2 (2⌥ )4 ⇤4 (p A
pB
c d3⇥p B
c d3⇥pC
pC )
2(2⌥ )3 E(⇥p B ) 2(2⌥ )3 E(⇥pC )
gde koristimo
4
⇤ (p A
pB
pC ) = ⇤ ( m A c
EB /c
3
EC /c ) ⇤ (⇥0
⇥p B
⇥p B )
To daje:
S
=
2(4⌥ )2 h¯ m A
⌦
d3⇥p B |M|2
⇤(m A c
↵
m2B c2 + ⇥p2B
m2C c2 + ( ⇥p B )2 )
↵
↵
m2B c2 + ⇥p2B m2C c2 + ( ⇥p B )2
Integracija po uglovima daje faktor 4π.
28
↵
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Smenom
imamo
⇤
dE = c ⇧
⇧
⇧
E := c
m2B c2 +
d
m2B c2 +
odnosno
⇧
⇧
2+ ⇧
m2C c2 +
d
2
+⇧
⇧ m2 c2 +
C
2
⌅
2d 2
m2B c2 +
2
⇧
m2C c2 +
što zamenimo u integral po ρ…
29
2
2
⇥
⇥
=⇧
⇧ m2 c2 +
B
dE
= (E )
E
E d
⇧
2
m2C c2 +
2
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
⌥
⌥
Konstanta raspada postaje:
S
=
8⇥ h¯ m A
⌃ ⇥
(m B + mC ) c
dE
|M|2 ⇤(E ) (m A c
E
E /c )
Pošto za Dirac-ovu delta funkciju važi δ(x/a) = a δ(x),
=
⇧
S ⇤0
2
|M
|
0
8⇥ h¯ m2A c
0
c
⇤0 := | p B |0 =
2m A
⌥
ako
m A > m B + mC ;
ako
m A 6 m B + mC .
m4A + m4B + m4C
2
:
M0 = M(E = m A c )
30
2m2A m2B
2m2A m2C
2m2B m2C
Feynman-ovi dijagrami
Pravila u jednom modelu-igrački
Za konkretan slučaj M = g, imamo
Γ = g2ρ0/8πħmA2c .
τ = 1/Γ = 8πħmA2c/g2ρ0 .
Vežbe:
Proraditi čitav račun.
Proveriti da li su Γ i τ dobijeni sa koreknim jedinicama.
31
Hvala na pažnji
Tristan Hubsch
Prirodno-Matematički Fakultet
Univerzitet u Novom Sadu
Department of Physics and Astronomy
Howard University
http://homepage.mac.com/thubsch/
Download

Fizika u prostor-vremenu, Lorentz-ova grupa, kinematika, Feynman