Zasto i kako modelirati kretanje
meteoroida kroz Suncev sistem?
Dve mudrosti:
Mudrost br. 1:
Ne trebaju nam brzi racunari, vec brzi
algoritmi.
Mudrost br. 2:
OSNOVNI zadatak numericke matematike
nije nalazenje algoritma sa najmanjom
greskom, vec nalazenje algoritma sa
kontrolisanom greskom.
Brzi algoritmi vs. brzi racunari
Primer: Furijeova transformacija.
4D Furijeov transform sa 1000 elemenata po dimenziji.
Moj desktop (_jako_ star & spor):
- 'obican' FT: o(N^2) => reda (1000^2)4 = 10^24 operacija
@ 4 GFLOPS = 10,000,000 godina!!!
- 'brzi' FT: o(N*lnN) (3*1000)^4 @ 4 GFLOPS => 6 sati !!!
Najbrzi racunar danas (31.07.2013):
- 'obican' FT: o(N^2) @ 33.9 PFLOPS => 1 godina
Moj telefon:
- 'brzi' FT @ 8 MFLOPS => 3 meseca !!!
Kontrolisana greska – stabilan i nestabilan algoritam:
Greska kod stabilnog i nestabilnog
algoritma:
Akumuliranje greske dovodi do
nepredvidivih posledica:
Da li je rezultat simulacije akumulacija greske ili fizicka perturbacija?
Centralna gravitaciona sila bez perturbacija – znamo resenja!!!
- ako je interval dovoljno kratak da je ubrzanje (priblizno) konstantno =>
na svakom intervalu imamo kinematiku sa konstantnim ubrzanjem!
Eulerov method:
- ni energija ni moment impulsa
nisu odrzani!!!
Prediktor-korektor metod:
-ako se ubrzanje menja, bolje je uzeti prosecno
ubrzanje na segmentu (i, i+1)
- ali mi NE ZNAMO a(i+1)
- previdimo ubrzanje u ap(i+1) koristeci konstanto
ubrzanje a(i) (Eulerovim metodom).
- to predvidjeno ubrzanje korigujemo;
- ubrzanje u a(i+1) je prosek izmedju predvidjenog
ap(i+1) i pocetnog ubrzanja a(i)
Runge-Kutta metodi:
-umesto da jednostavni uzmemo prosecnu vrednost, uzecemo neku vrstu usrednjene
vrednosti u vise tacaka na intervalu.
-konstante a, b, c …. su nepoznate. Nalazimo ih tako sto zahtevamo da funkcija ima
odredjenu tacnost (stepena (x-x0)^n).
-razvijamo x(n+1) i konstante kx1, kx2 .. u Taylorov red, i konstante nalazimo
zahtevajuci da su clanovi istog stepena u (x(n+1) – x(n)) jednaki na dve strane
prve jednacine.
- izvodjenje je (relativno) komplikovano, ali je primena vrlo jednostavna.
Izvod u tacki = nagib tangente u toj tacki
Taylorov razvoj – aproksimacija funkcije
polinomom
Runge-Kutta metodi:
Runge Kutta drugog reda (RK2):
Runge-Kutta cetvrtod reda (RK4):
Promenljivi vremenski korak = usteda vremena:
- uzmi dva metoda koji imaju istu tacnost
- izracunaj promenu polozaja u n-tom koraku
- kolika je razlika izmedju ta dva metoda
(to je nasa procena greske).
- ako je manja od trazene tacnosti=>
OK, predji na sledecu korak
- ako je veca => prepolovi korak i probaj
ponovo.
- mnogo veci koraci su moguci u afelu nego
u perihelu. Kako cestica vise vremena provodi
oko afela => znacajna usteda!!!
Primer 1: perturbacija Oortovog oblaka gravitacijom.
-direktan problem – data je brzina i masa zvezde => kakva je raspodela orbita?
-inverzni problem – iz posmatrane raspodele orbita naci brzinu i masu zvezde!
- sta ako nije zvezda?
Primer 2: perturbacija nepravilnih cestica zracenjem
Dve cestice:
Agregat:
Hyperion:
Download

Zašto i kako modelirati kretanje meteoroida kroz Sunčev sistem?