Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 3
1
Obrtanje tela oko nepokretne ose
Telo vrši obrtanje (rotaciju) oko nepokretne ose ako su mu bar dve tačke nepomične
tokom kretanja. Takođe, sve tačke tela koje se nalaze na orijentisanoj pravoj kroz te
dve nepomične tačke ostaju nepomične u toku kretanja. Ta orijentisana prava naziva
se osa obrtanja ili osa rotacije.
Položaj pokretnog koordinatnog sistema Oξηζ u bilo
kom trenutku vremena određen je uglom ϕ koji grade,
na primer, nepokretna ravan Oxz i pokretna ravan
Oξζ . To znači da telo koje se obrće oko nepokretne
ose ima jedan stepen slobode kretanja, pod uslovom da
je osa obrtanja određena. Ovaj ugao se naziva ugao
obrtanja. Ugao obrtanja može da se izrazi i preko broja
obrtaja N, tj.
ϕ = 2πN .
Funkcionalna zavisnost
ϕ = ϕ( t ) ,
naziva se jednačina obrtanja tela oko nepokretne ose.
Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose.
Ugaona brzina tela koje se obrće oko nepokretne ose karakteriše promenu ugla
obrtanja. Uočavaju se dva položaja tela koji se razlikuju za konačan priraštaj ugla
∆ϕ . Neka se telo iz položaja koji je određen uglom ϕ u trenutku t, pomeri za vreme
∆t u položaj određen uglom ϕ + ∆ϕ . Srednja ugaona brzina tela koje se obrće oko
nepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena ∆t određena je sa
∆ϕ
( ω z )sr =
.
∆t
Ugaona brzina tela u datom trenutku predstavlja graničnu vrednost srednje ugaone
brzine kada posmatrani interval vremena ∆t teži nuli
∆ϕ dϕ
ω z = lim
=
, ω z = ϕ& .
∆t →0 ∆t
dt
Ugaonoj brzini tela može se dati i vektorski smisao.
Uočava se tačka M čiji je položaj
r
r
r
r
rM = ξ M λ + η M µ + ζ Mν ,
Koristeći definiciju brzine tačke dobija se
r&
r
r
r
V = r& = ξ λ + η µ& .
M
M
M
M
r&
r
U cilju određivanja izvoda λ i µ& mogu se jedinični
r
r
vektori λ i µ pokretnog koordinatnog sistema
r
r
Oξηζ izraziti preko jediničnih vektora i i j
nepokretnog koordinatnog sistema Oxyz
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 3
r
r
2
r
λ = cos ϕ i + sin ϕ j ,
r
r
r
µ = − sin ϕ i + cos ϕ j .
Diferenciranjem po vremenu, sledi
r&
r
r
λ = ϕ& ( − sin ϕ i + cos ϕ j ),
r
r
r
µ& = −ϕ& (cos ϕ i + sin ϕ j ).
r&
r
r
r
λ = ϕ&µ ,
µ& = −ϕ&λ .
r r
S druge strane, jedinični vektori λ i µ mogu se korišćenjem definicije vektorskog
proizvoda izraziti u obliku
r&
r r r
r r
r r
r
r r r
λ = ϕ& (ν × λ ),
µ& = ϕ& (ν × µ )
λ = µ ×ν ,
µ =ν ×λ ,
r
r
r
r
r
V = ϕ&ν × ( ξ M λ + η M µ + ζ Mν )
r
Vektor ϕ&ν predstavlja vektor ugaone brzine, tj.
r
r
ω = ϕ&ν ,
tako da se dobija Ojlerova formula za određivanje brzine tačke tela koje se obrće oko
nepokretne ose u obliku
r
r r
VM = ω × rM .
Izvodi jediničnih vektora mogu se napisati u obliku
r& r r
r r r
λ = ω ×λ,
µ& = ω × µ .
Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose
Brzina tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose može de se odredi i na sledeći
način: neka je u početnom trenutku ( to = 0 ) ϕ o = 0 , tj. pokretan koordinatni sistem
Oξηζ i nepokretan koordinatni sistem Oxyz u početnom trenutku se poklapaju. Ako
je O1 početak lučne koordinate s na toj poznatoj putanji tako da se porast lučne
koordinate (pozitivan smer u tom koordinatnom sistemu) poklapa sa pozitivnim
smerom računanja ugla ϕ , tada važi
d
s = O1M = Rϕ ( t ) , VT = s& = ( Rϕ ) = Rϕ& , VT = Rω z .
dt
)
Ugaono ubrzanje tela koje se obrće oko nepokretne ose
Neka se telo iz položaja koji je određen uglom ϕ u trenutku t pomeri za vreme ∆t u
položaj određen uglom ϕ + ∆ϕ . Srednje ugaono ubrzanje tela koje se obrće oko
nepokretne ose Oz za posmatrani interval vremena ∆t određeno je sa
∆ω z
( ε z )sr =
,
∆t
a ugaono ubrzanje tela u datom trenutku
d 2ϕ
∆ω z dω z
ε z = lim
=
, ε z = 2 = ϕ&& .
∆t →0 ∆t
dt
dt
Vektor ugaonog ubrzanja tela koje se obrće oko nepokretne
ose je
r
r r&
r
r
ε = ω = ϕ&&ν = ω& zν = ε z k .
Mašinski fakultet, Beograd - Mehanika 2 – Predavanje 3
3
Ubrzanje tačke tela koje se obrće oko nepokretne ose
Ubrzanje tačke M tela koje se obrće
oko nepokretne ose može se odrediti na
više načina. Ako je poznat zakon
promene lučne koordinate, tangencijal–
no ubrzanje tačke M tela može se
odrediti kao
d
aT = V&T = ( Rω z ) = Rε z , aT = Rε .
dt
Normalno ubrzanje tačke M tela može
se odrediti kao
V2
aN =
= Rω 2 ,
R
a ukupno ubrzanje tačke M tada je određeno sa
a
ε
2
2
a M = aT + a N = R ε 2 + ω 4 , tgβ = T = z2 .
aN ω z
Ubrzanje tačke M tela koje se obrće oko nepokretne ose može se dobiti i kao
r&
r
d r r
r
r r
r r
a M = VM = ( ω × rM ) ,
a M = ω& × rM + ω × r&M
dt
r r
r
r r r
r r
r
r r
aM = ε × rM + ω × VM , aM = ε × rM + ω × ( ω × rM ) .
r r
r
aT = ε × rM ,
r
r r
r
r r
a N = ω × VM = ω × ( ω × rM ) ,
r
r r
aM = aT + a N .
Download

Obrtanje tela oko nepokretne ose Ugaona brzina tela koje se obrće