Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Numeriˇ
cko prouˇ
cavanje kvantnih gasova
na niskim temperaturama∗
Ivana Vidanovi´
c
Laboratorija za primenu raˇ
cunara u nauci
Institut za fiziku Beograd
∗
Finansijska podrˇ
ska: Ministarstvo za prosvetu i nauku
(ON171017, NAD-BEC) i DAAD - German Academic and
Exchange Service (NAD-BEC)
Fiziˇ
cki fakultet, Univerzitet u Beogradu
23. decembar 2011.
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Sadrˇ
zaj
Uvod
Boze-Ajnˇstajn kondenzacija
Hladni kvantni gasovi
Termodinamika idealnog rotiraju´ceg Boze-Ajnˇstajn kondenzata
Motivacija
Metod - egzaktna dijagonalizacija evolucionog operatora
Glavni rezultati
Opis slabo interaguju´ceg Boze-Ajnˇstajn kondenzata
Aproksimacija srednjeg polja (Gros-Pitaevski jednaˇcina)
Nelinearna dinamika Boze-Ajnˇstajn kondenzata
Kolektivne mode Boze-Ajnˇstajn kondenzata
Eksitacija moda modulacijom interakcije
Nelinearni dinamiˇcki reˇzim
Zakljuˇcak
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Kvantna statistika
Osnove kvantne mehanike:
ˇ
Talasno-ˇcestiˇcna priroda materije (Sredingerova
jednaˇcina)
Nerazliˇcivost ˇcestica - bozoni/fermioni
p
λdB = 2π~2 β/M
β = 1/kB T
n - gustina ˇcestica
Kvantna statistika dolazi do izraˇzaja ako vaˇzi: λdB ∼ n−1/3
Fermi-Dirak raspodela n
¯ (E) =
Boze-Ajnˇstajn raspodela n
¯ (E)
1
za fermione
eβ(E−µ) +1
1
= eβ(E−µ)
za bozone
−1
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija (1)
Boze-Ajnˇstajn raspodela je
uvedena 1924. radi
kompletnog objaˇsnjenja
Plankovog zakona zraˇcenja
crnog tela
U velikom ansamblu N = N0 +
∞
X
|n=1
1
eβ(En −µ)
{z
−1
}
termalni atomi
T &⇒ µ %, ali µ ≤ E0
Kada T → 0, broj termalnih atoma dostiˇze zasi´cenje i
dolazi do makroskopske naseljenosti osnovnog stanja Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija (2)
1
V (~r) = M (ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 )
2
»„
«
„
«
„
« –
1
1
1
E~n = ~ nx +
ωx + ny +
ωy + nz +
ωz
2
2
2
Nth =
∞
X
n=1
1
eβ(En −E0 ) − 1
Iz uslova Nth = N odredujemo temperaturu kondenzacije:
kB Tc0 =
~¯
ω
1/3
ζ3
N 1/3 ,
ω
¯ = (ωx ωy ωz )1/3
Za T < Tc0 , pojavljuje se makroskopska naseljenost osnovnog stanja:
„ «3
N0
T
=1−
N
Tc0
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija (3)
Razlikovanje kondenzovane i
normalne faze:
ravnoteˇzni profil gustina
ekspanzija gasa po
oslobadanju iz zamke
Beogradu Vidanovi´
23. c
decembar
2011. gasova na niskim temperaturama
c: Numeriˇ
cko prouˇ
avanje kvantnih
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Eksperimentalna realizacija
Direktna eksperimentalna potvrda Boze-Ajnˇstajn kondenzacije
je ostvarena tek 1995. god. Za rezultat je dodeljena Nobelova
nagrada za fiziku 2001 (Kornel, Viman & Keterle).
Atomi alkalnih metala
Rb, Na, Li, K . . .
T ∼ 1 nK, ρ ∼ 1014 cm−3
(λdB ∼ n−1/3 )
Konfiniraju´ci potencijal
(odgovaraju´ce magnetno ili
elektriˇcno polje)
V (~r) = 12 M ω 2 (ρ2 + λ2 z 2 )
Lasersko hladenje, hladenje isparavanjem
Tehnike za karakterizaciju sistema
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
Danaˇ
snji eksperimenti
Hladni bozonski atomi, hladni fermionski atomi, hladni
molekuli
Razliˇciti spoljaˇsnji potencijali: harmonijske zamke, optiˇcke
reˇsetke (periodiˇcni potencijali)
Kratkodometna interakcija, dugodometna dipolarna
interakcija
Veoma kontrolabilni kvantni sistemi - mogu´ce je podeˇsavati
gustinu ˇcestica, dimenzionalnost, jaˇcinu interakcija
Motivacija: prouˇcavanje jako korelisanih faza materije
Glavni rezultati: direktno posmatranje superfluid - Mot
izolator prelaza (Habard model), BEC-BCS prelaz, ...
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Kvantna statistika
Boze-Ajnˇ
stajn kondenzacija
Eksperimenti
U ovoj tezi
U ovoj tezi ...
... razmatrana su dva specifiˇcna fiziˇcka reˇzima ostvarena
koriˇs´cenjem hladnih bozonskih atoma:
Termodinamiˇcke karakteristike rotiraju´ceg idealnog
bozonskog gasa
[Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)]
Nelinearna dinamika Boze-Ajnˇstajn kondenzata izazvana
periodiˇcnom promenom jaˇcine meduatomske interakcije
[Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)]
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Motivacija (1)
Rotacija je jedan od naˇcina da u sistem neutralnih atoma
unesemo efektivno magnetno polje
ˆ rot
H
=
=
=
ˆ −Ω
~ ·L
~ˆ
H
1
1
(ˆ
p2x + pˆ2y + pˆ2z ) + M ω 2 (ˆ
x2 + yˆ2 + λ2z zˆ2 ) − Ω ~ez · (~rˆ × p
~ˆ)
2M
2
1
1
(ˆ
px + M Ωˆ
y )2 +
(ˆ
py − M Ωˆ
x )2
2M
2M
1 2 1
1
+ M (ω 2 − Ω2 )(ˆ
x2 + yˆ2 ) +
pˆz + M λ2z ω 2 zˆ2
2
2M
2
~ ≡ 2M Ω
~
Za brzu rotaciju, Ω → ω, B
Medutim, u zanimljivom graniˇcnom sluˇcaju, atomi viˇse
nisu zarobljeni
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Motivacija (2)
Uvodenje dodatnog kvartiˇcnog potencijala
VBEC =
M 2
M 2 2 κ 2
(ω − Ω2 )(x2 + y 2 ) +
ωz z + (x + y 2 )2
2
2
4
6
5
Eksperiment:
Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004)
Oblik potencijala zavisi od
η = Ω/ω i κ
4
3
2
1
η=0
η=1
η = 1.04
0
-1
-20
-15
-10
-5
0
ρ
5
10
15
20
Kako promena spoljaˇsnjeg konfiniraju´ceg potencijala utiˇce
na svojstva neinteraguju´ceg Boze-Ajnˇstajn kondenzata?
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Metod (1)
Odredivanje kondenzacione temperature:
N=
∞
X
n=1
1
eβc (En −E0 )
−1
Za egzaktan numeriˇcki odgovor, potrebno nam je
poznavanje ˇcitavog energetskog spektra
U tu svrhu smo razvili efikasan numeriˇcki metod egzaktnu dijagonalizacija prostorno diskretizovanog
evolucionog operatora
[Phys. Rev. E 80, 066705 (2009), Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)]
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Metod (2)
ˇ
Sredingerova
jednaˇcina
ˆ
H|ψi
= E|ψi
⇐⇒
ˆ
e−tH |ψi = e−tE |ψi
Diskretizovan oblik
NX
cut −1
Hnm hm∆|ψi = E(∆, L) hn∆|ψi
m=−Ncut
NX
cut −1
Anm (t) hm∆|ψi = e−t E(∆,L,t) hn∆|ψi
m=−Ncut
Metod se oslanja na analitiˇcke rezultate za amplitude prelaza za
kratka vremena propagacije [Phys. Rev. Lett. 94, 180403 (2005)]
Diskretizaciona greˇska exp(−2π 2 t/∆2 ) pokazuje optimalnije
ponaˇsanje od standardne polinomijalne diskretizacione greˇske
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Metod (3)
1015
1010
105
| E0(∆, L, t) - E0 |
Odstupanje
numeriˇcke
vrednosti
energije
osnovnog stanja od egzaktnog
rezultata,
za
anharmonijski potencijal
V (x) = k22 x2 + k244 x4 , u
funkciji diskretizacionog
koraka ∆. Koriˇs´cene vrednosti parametara L = 6,
k2 = 1, k4 = 48.
1
H
t = 0.005
t = 0.01
t = 0.02
t = 0.03
t = 0.04
10-5
10-10
10-1
10-15
10-2
10-3
10-20
10-4
0.1
10-25
0.05
0.1
0.15
0.2
0.2
0.25
∆
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
0.3
0.3
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Fazni dijagram
Udeo kondenzovanih atoma N0 /N u zavisnosti od temperature T za
nerotiraju´ci (η = 0) i rotiraju´ci kondenzat (η = 1)
1
4
η=0, N=1·10
η=1, N=5·104
N0 / N
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
T [nK]
100
120
140
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Temperatura kondenzacije
Temperatura kondenzacije u funkciji frekvencije rotacije za
kondenzate od N = 3 · 105 i N = 1 · 104 atoma 87 Rb,
sa kvartiˇcnim anharmonicitetom zamke κ = κBEC .
120
5
κBEC, N=3·10
SC
110
Tc [nK]
100
90
40
35
30
25
20
15
10
80
70
60
50
κBEC, N=1·104
SC
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
η
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Raspodela atoma
Ravnoteˇzna raspodela atoma za ne-rotiraju´ci (η = 0), kritiˇcno
rotiraju´ci (η = 1), i nadkritiˇcno rotiraju´ci (η = 1.04) kondenzat
saˇcinjen od N = 3 · 105 atoma 87 Rb na temperaturi T = 30 nK
n(x, y)
n(x, y)
10·104
8·104
6·104
4·104
2·104
0
10·104
8·104
6·104
4·104
n(x, y)
12·104
12·104
8·104
8·104
4·104
4000
4·104
3000
0
2000
4·104
5000
5000
2500
0
1000
0
4
-4
2
-2
x
0
0
2
-2
4
-4
0
8
-8
y
4
-4
x
0
0
4
-4
8
-8
y
0
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
y
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Motivacija
Metod
Rezultati
Rotiraju´
ci kondenzat: Ekspanzija atomskog gasa
ˇ
Sirenje
atomskog gasa po oslobadanju iz potencijalne zamke - sluˇcaj
nadkritiˇcne rotacije η = 1.04
n(x, y)
5000
n(x, y)
5000
TOF = 0 ms
4000
2500
3000
n(x, y)
5000
TOF = 8 ms
4000
2500
3000
0
2000
0
-15
-10
-5
0
x
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
x
n(x, y)
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
-15
3000
2500
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
y
15
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
y
5000
5000
TOF = 60 ms
4000
2500
0
2000
1000
1000
0
0
3000
0
2000
1000
-5
n(x, y)
5000
TOF = 40 ms
4000
3000
0
2000
-10
x
n(x, y)
5000
2500
0
0
y
5000
TOF = 24 ms
2500
1000
0
y
4000
5000
TOF = 16 ms
4000
2000
1000
0
5000
3000
2000
1000
5000
5000
0
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
y
15
0
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
-15
-10
-5
0
5
10
15
y
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Tip interakcija
Teorija srednjeg polja
Interakcije u kondenzatu
Kratkodometne van der Valsove interakcije atoma
U sistemima retkih, hladnih gasova mogu´ce je opisati
interakciju jednim parametrom - duˇzinom rasejanja a
(s-wave scattering length)
Vint (~r, ~r 0 ) = g × δ(~r − ~r 0 ),
g = 4π~2 a/M
Hamiltonijan sistema
ˆ =
H
Z
«
„
~2 2 ˆ
ˆ r) + g ψˆ† (~r)ψˆ† (~r)ψ(~
ˆ r)ψ(~
ˆ r)
d~r −ψˆ† (~r)
∇ ψ(~r) + V (~r)ψˆ† (~r)ψ(~
2M
2
Tipiˇcan broj atoma u eksperimentu N ∼ 104 − 106
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Tip interakcija
Teorija srednjeg polja
Teorija srednjeg polja
U neinteraguju´cem bozonskom sistemu, u kondenzovanoj
fazi, svi atomi su u istom stanju
Oˇcekujemo da slabe interakcije ne menjaju sliku suˇstinski
ˆ r, t)i = ψ(~r, t)
Uvodimo talasnu funkciju kondenzata hψ(~
Za niske temperature i slabe interakcije, ψ(~r, t) je opisana
Gros-Pitaevski jednaˇcinom
∂ψ(~r, t)
~2
2
i~
= −
∆ + V (~r) + g|ψ(~r, t))| ψ(~r, t)
∂t
2M
V (~r) = 12 M ω 2 (ρ2 + λ2 z 2 ) - harmonijski potencijal
g = 4π~2 N a/M , N - broj atoma u kondenzatu
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Ekscitacije kondenzata (1)
Ekscitacije karakteriˇsu fazu materije na veoma precizan
naˇcin
Bogoljubov je 1947. izveo ekscitacioni spektar homogenog
superfluida - kolektivna fononska moda
Kolektivne ekscitacije hladnog atomskog oblaka:
dipolna moda, diˇsu´ca moda, kvadrupolne mode
kvadrupolna
kvadrupolna
diˇsu´ca
moda (1)
moda (2)
moda
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Ekscitacije kondenzata (2)
Standardni eksperimentalni naˇcin pobudivanja kolektivnih
moda je modulacijom spoljaˇsnje zamke
Rezultat preuzet iz rada [Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999)]
Frekvencije kolektivnih moda se mere sa taˇcnoˇs´cu od 1%
Teorijski, kolektivne mode se raˇcunaju polaze´ci od
vremenski zavisne Gros-Pitaevski jednaˇcine
Dobro slaganje eksperimenta i teorije u linearnom reˇzimu
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Modulacija interakcije (1)
Novi naˇcin pobudivanja kolektivnih moda je demonstriran
u nedavnom eksperimentalnom radu [Phys. Rev. A 81, 053627
(2010)]
Razmatran je kondenzat 7 Li u
aksijalnoj zamci
300 µm
Postignuta je vremenski zavisna
modulacija interakcije
koriˇs´cenjem Feˇsbah rezonance
Ekscitovane su kolektivne mode,
ali u nelinearnom dinamiˇckom
reˇzimu
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Modulacija interakcije (2)
Duˇzina rasejanja atoma zavisi od spoljaˇsnjeg magentnog
polja - Feˇsbah rezonanca
10
6
10
4
0.6
[Phys. Rev. Lett. 102, 090402 (2009)]
„
«
∆B
7
Li : a(B) = aBG 1 +
B − B∞
Scattering Length (a0)
0.4
aBG = −24.5 a0 , B∞ = 73.68 mT,
∆B = 19.2 mT
0.2
0.0
-0.2
10
2
10
0
10
54.0
54.2
54.4
54.6
54.8
55.0
-2
55.0
60.0
65.0
Magnetic Field (mT)
70.0
Modulacija duˇzine rasejanja magnetnim poljem
B(t) = Bav + δB cos Ωt,
aav = a(Bav ),
a(t) ' aav + δa cos Ωt
aBG ∆B δB
(Bav − B∞ )2
∼ 3a0 , δa ∼ 2a0
δa = −
Bav = 56.5 mT, δB = 1.4 mT, aav
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Gausovska aproksimacija (1)
U cilju pojednostavljivanja raˇcuna i dobijanja analitiˇckog
uvida u problem, aproksimiramo gustinu atoma gausijanom
Za aksijalno simetriˇcnu dinamku
»
–
»
–
1 ρ2
1 z2
2
2
ψ G (ρ, z, t) = N (t) exp −
+
iρ
φ
(t)
exp
−
+
iz
φ
(t)
ρ
z
2 uρ (t)2
2 uz (t)2
Varijacioni pristup - ekstremizacijom odgovaraju´ceg dejstva
dolazimo do sistema obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina koje
aproksimairaju Gros-Pitaevski jednaˇcinu
[Phys. Rev. Lett. 77, 5320 (1996)]
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Gausovska aproksimacija (2)
U bezdimenzionalnom obliku
q
p(t)
1
− 3
uρ (t)3
uρ (t)uz (t)
=
0
u
¨z (t) + λ2 uz (t) −
p(t)
1
− 2
uz (t)3
uρ (t)u2z (t)
=
0
2
N a(t)
π
`H0
⇒ p(t) = p + q cos(Ωt)
1.6
variational
GP numerics
35
Radial condensate width
Axial condensate width
p(t) =
u
¨ρ (t) + uρ (t) −
30
25
20
variational
GP numerics
1.5
1.2
1.1
1.4
1
220
1.3
225
230
235
240
1.2
1.1
1
15
0
200
400
600
t
800
1000
1200
0
50
100
150
200
250
t
Eksperimentalni parametri: λz = 0.021, p = 15, q = 10, Ω = 0.05
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Linearni dinamiˇ
cki reˇ
zim
Glavni rezultat dobijen Gausovskom aproksimacijom je
analitiˇcki izraz za osnovne ekscitacije kondenzata
Primer - sferno-simetriˇcni kondenzat
u
¨(t) + u(t) −
Ravnoteˇzna ˇsirina
u0 =
p
1
− 4
=0
u(t)3
u (t)
1
p
+ 4
u30
u0
Frekvencija diˇsu´ce mode
u(t) = u0 + δu(t) ⇒ δ u
¨ + ω02 δu = 0
s
3
4p
ω0 = 1 + 4 + 5
u0
u0
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Nelinearni reˇ
zim - motivacija
Naˇs cilj je opisivanje kolektivnih moda pobudenih
harmonijskom modulacijom interakcije
p(t) ' p + q cos Ωt
q - amplituda modulacije, Ω - frekvencija modulacije
Osnovna jednaˇcina koja opisuje dinamiku je nelinearna
Kada je Ω blizu neke svojstvene mode kondenzata,
oˇcekujemo rezonance - oscilacije velikih amplituda, koje
pojaˇcavaju nelinearne efekte
Beogradu Vidanovi´
23. c
decembar
2011. gasova na niskim temperaturama
c: Numeriˇ
cko prouˇ
avanje kvantnih
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Dinamika kondenzata
u
¨(t) + u(t) −
1
p
q
−
−
cos Ωt = 0
3
4
u(t)
u(t)
u(t)4
p = 0.4, q = 0.1, u(0) = u0 , u(0)
˙
= 0, ω0 = 2.06638 . . .
u(t)
Dinamika zavisi od vrednosti Ω
1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1 = 1, analytics
1 = 1, numerics
0
1.11
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1.09
1.08
1.07
0
5
10
t
1 = 2, analytics
1 = 2, numerics
0
10 15 20 25 30 35 40
t
1 = 4, analytics
1 = 4, numerics
1.1
u(t)
5
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
15
20
5
10 15 20 25 30 35 40
t
6
5
4
3
2
1
0
1 = 2.04, numerics
0
50 100 150 200 250 300 350 400
t
1 = 4.1, numerics
1 = 5, analytics
1 = 5, numerics
1.09
1.08
0
50 100 150 200 250 300 350
t
0
5
10
t
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
15
20
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Ekscitacioni spektri (1)
Ekscitacione spektre dobijamo iz Furijeovog transforma
ˇsirine u(t), p = 0.4, q = 0.1 and Ω = 2
3
10
1=2
2
10
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
-40
-30
102
101
100
10-1
10-2
0.05
t-1
0.06
0.07
Frequency
0.08
102
101
100
10-1
10-2
1
-20
-10
0
10
Frequency
102
t
100
20
30
1+t
21
2t
10-2
1.9
2
2.1
Frequency
2.2
10-4
4
4.05 4.1 4.15 4.2
Frequency
40
101
100
10-1
10-2
10-3
21 + t 1 + 2t
3t
31
6
6.05 6.1 6.15 6.2
Frequency
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Ekscitacioni spektri (2)
Frekvencija diˇsu´ce mode je znaˇcajno pomerena u
rezonantnoj oblasti
101
1=1
100
t0
-1
10
10-2
1.98
2.02
2.06
Frequency
2.1
102
101
100
10-1
10-2
1=2
1.98
t0
2.02 2.06
2.1
Frequency
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
2.14
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Analitiˇ
cki perturbativni pristup (1)
U linearnom reˇzimu, nalazimo frekvenciju oscilacija ω0 oko
ravnoteˇzne ˇsirine u0 :
1
p
u0 − 3 − 4 = 0,
u0
u0
s
ω0 =
1+
3
4p
+ 5
u40
u0
U cilju raˇcunanja kolektivne mode do viˇsih redova po q,
najpre uvodimo smenu s = ωt:
ω2 u
¨(s) + u(s) −
1
p
q
Ωs
−
−
cos
=0
u(s)3
u(s)4
u(s)4
ω
Koristimo perturbativne razvoje po amplitudi q:
u(s)
=
u0 + q u1 (s) + q 2 u2 (s) + q 3 u3 (s) + . . .
ω
=
ω0 + q ω1 + q 2 ω2 + q 3 ω3 + . . .
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Analitiˇ
cki perturbativni pristup (2)
Perturbativni razvoj nam daje hijerarhijski sistem linearnih
jednaˇcina:
ω02 u
¨1 (s) + ω02 u1 (s)
=
Ωs
1
cos
u40
ω
ω02 u
¨2 (s) + ω02 u2 (s)
=
−2ω0 ω1 u
¨1 (s) −
ω02 u
¨3 (s) + ω02 u3 (s)
=
−2ω0 ω2 u
¨1 (s) − 2β u1 (s)3 + 2α u1 (s)u2 (s) − ω12 u
¨1 (s)
10
Ωs
4
Ωs
− 5 u2 (s) cos
− 2ω0 ω1 u
¨2 (s)
+ 6 u1 (s)2 cos
u0
ω
u0
ω
4
Ωs
u1 (s) cos
+ α u1 (s)2
u50
ω
gde je α = 10p/u60 + 6/u50 , β = 10p/u70 + 5/u60 .
Pomeraje frekvencije, ω1 i ω2 , odredujemo iz uslova
skra´civanja sekularnih ˇclanova - Poenkare-Lindˇstet metod
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Analitiˇ
cki perturbativni pristup (3)
Objaˇsnjenje sekularnog ˇclana
x
¨(t) + ω 2 x(t) + C cos ωt = 0
x(t) = A cos ωt + B sin ωt −
C
t sin ωt
|2ω {z }
deo linearan po t
Radi regularnog ponaˇsanja perturbativnog razvoja,
name´cemo skra´civanje sekularnog ˇclana, podeˇsavanjem
vrednosti ω1 and ω2
Drugi naˇcin razumevanja sekularnih ˇclanova
A1
sin ∆ωt sin ωt
u(t) = A cos ωt+A1 t sin ωt ≈ A cos ωt cos ∆ωt+
∆ω
u(t) ≈ A cos[(ω − ∆ω)t] ⇒ ∆ω = A1 /A
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Rezultati (1)
Frekvencija pobudene diˇsu´ce mode zavisi od Ω
Rezultat u drugom redu perturbativne teorije
P(Ω)
+ ...
ω = ω0 + q 2 2
2
(Ω − ω0 )2 (Ω2 − 4ω02 )
2.1
2.2
2.06
2.04
2.15
2.1
2.05
2
2.02
2
t0
analytical t
numerical t
2.25
Frequency
Frequency
2.3
t0
analytical t
numerical t
2.08
1.95
1
1.5
2
2.5
p = 0.4,
3
1
3.5
4
4.5
q = 0.1
5
1.9
1
2
3
p = 1,
4
1
5
q = 0.8
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
6
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Ekscitacije kondenzata
Modulacija interakcije - eksp.
Modulacija interakcije - teorija
Rezultati
Rezultati (2)
Eksperimentalni parametri: p = 15, q = 10, λ = 0.021,
ωQ0 = 2π × 8.2 Hz, ωB0 = 2π × 462 Hz
ωB ωQ , Ω ∈ (0, 3ωQ ),
velika amplituda
modulacije
Primetna ekscitacija
diˇsu´ce mode
Pomeraji u frekvenciji
kvadrupolne mode usled
nelinearnih efekata od oko
10%
0.038
Frequency tQ
Jaka ekscitacija
kvadrupolne mode
0.04
0.036
0.034
tQ0
tQ, (a)
tQ, (n)
0.032
0.03
0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
1
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Zakljuˇ
cak (1)
Motivisani eksperimentalnim istraˇzivanjem rotiraju´cih hladnih
gasova, prouˇcavali smo kako modifikacija spoljaˇsnjeg potencijala
utiˇce na svojstva Boze-Ajnˇstajn kondenzata
Ispitivali smo osobine faznog dijagrama i naˇsli da temperatura
kondenzacije opada sa porastom rotacione frekvencije
Izraˇcunali smo profile gustina kondenzata i termalnog oblaka na
razliˇcitim temperaturama i simulirali ˇsirenje hladnog bozonskog
gasa po oslobadanju iz potencijalne zamke
Za velike ugaone brzine rotacije, identifikovali smo nestandardni
dinamiˇcki reˇzim ˇsirenja atomskog oblaka po oslobadanju iz zamke
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Zakljuˇ
cak (2)
Inspirisani eksperimentalnim rezultatima, prouˇcavali smo
nelinearnu dinamiku Boze-Ajnˇstajn kondenzata izazvanu
harmonijskom modulacijom interakcije
U prouˇcavanju smo koristili analitiˇcki perturbativni metod,
numeriˇcke simulacije zasnovane na Gausovskoj aproksimaciji, kao
i numeriˇcke simulacije Gros-Pitaevski jednaˇcine
Predstavili smo relevantne ekscitacione spektre, identifikovali
smo i objasnili nelinearne karakteristike: sprezanje moda,
prisustvo viˇsih harmonika i primetne pomeraje u frekvencijama
kolektivnih moda
Predstavljeni rezultati su relevantni za budu´ce eksperimente u
kojima ´ce biti prouˇcavan dinamiˇcki odgovor smeˇse hladnih atoma
na harmonijsku modulaciju interakcije
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Uvod
Rotiraju´
ci kondenzat
Interakcije hladnih atoma
Nelinearna BEC dinamika
Zakljuˇ
cci
Radovi na kojima je bazirana teza
I. Vidanovi´c, A. Balaˇz, H. Al-Jibbouri, and A. Pelster,
Nonlinear Bose-Einstein-condensate Dynamics Induced by a Harmonic
Modulation of the s-wave Scattering Length,
Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)
A. Balaˇz, I. Vidanovi´c, A. Bogojevi´c, and A. Pelster,
Ultra-fast converging path-integral approach for rotating ideal
Bose-Einstein condensates,
Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)
I. Vidanovi´c, A. Bogojevi´c, A. Balaˇz, and A. Beli´c,
Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of Transition
Amplitudes. II. Systematic Improvements of Short-time Propagation,
Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)
I. Vidanovi´c, A. Bogojevi´c, and A. Beli´c,
Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of Transition
Amplitudes. I. Discretization Effects,
Phys. Rev. E 80, 066705 (2009)
Beogradu Vidanovi´
c: Numeriˇ
cko prouˇ
23. c
decembar
avanje kvantnih
2011. gasova na niskim temperaturama
Download

Numericko proucavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama*