TFR2
1
2
İşaretlerin Zaman ve Frekans Çözünürlüğü:
Zaman-Bant Genişliği Çarpımı
• İşaretin desteğinin zaman ve frekans bölgesindeki
uzunluklarının çarpımı, TBP olarak adlandırılır.
[  (t  t ) 2 x(t ) dt ]
2
Tx 
x
1
2
[  ( f   f ) X ( f ) df ]
2
2
Bx 
1
2
x
Zaman ve frekans ortalama değerleri:
t
t x(t )


x
2
2
dt
f
f


2
X ( f ) df
x
2
1
Tx Bx 
4
En küçük TBP değerini Gauss tipi işaretler sağlamaktadır:
3
4
Örnek
• Aşağıdaki işaretin enerjisini, zaman ortalamasını, zaman
varyansını, Fourier dönüşümünü bulunuz.
5
Örneğe Devam…
6
Örnek2
7
Örnek2
8
Örnek2
9
Gauss Darbesi için TBP
10
0.4
10
0.3
0.2
5
0.1
0
-20
-10
0
Zaman
10
20
0
0.08
20
0.06
15
0.04
10
0.02
5
0
-20
-10
0
Zaman
10
20
0
-1
-0.2
0
Frekans
-0.1
0
0.1
Frekans
2 = 8
1 = 1
t=-16:1/16:16;
1
0.2
11
Anlık Frekans
•   =  () işareti tek bir bileşenden oluşuyorsa işaretin
anlık frekansı fazının türevi alınarak bulunur.
•   =
 

ile bulunur.
12
13
ANLIK FREKANS
Hilbert Dönüşümü
• Analitik işaret üretmek için kullanılır.
• 90 derece faz kaydırıcıdır.
14
Hilbert Dönüşümü
 j.M ( f )
Mˆ ( f )  H ( f ) M ( f )   j sgn( f ).M ( f )  
 j.M ( f )
f 0
f 0
15
Analitik İşaret
Reel kısmı orijinal işaret ve spektral yoğunluk fonksiyonu tek taraflı olan işarete
denir.
ˆ (t )
z(t )  m(t )  jm
Z ( f )  M ( f )  jMˆ ( f )

 M ( f )  j   j.M ( f )   2M ( f )
Z( f )  

 M ( f )  j  j.M ( f )   0
f 0
f 0
 2.M ( f ).U ( f )
Analitik İşaret
M( f )
Z( f )
2
1
f
Arg  M ( f )
f

Z( f )
Arg  Z ( f )

2

2
f

2
f
17
300
200
100
0
-4
-3
-2
-1
0
Frekans
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
Frekans
1
2
3
4
600
400
200
0
-4
18
İç Çarpım ve
Özellikleri
• Aksiyom nedir?
Aksiyom kanıtlanamayan ama doğruluğu kabul edilen
önermelerdir.
20
Vektör Uzayı
21
İç çarpımın sağladığı Aksiyomlar
ve Özellikler
22
Norm
23
Vektörel Gösterim
24
• Örnek: v ve w aşağıda verilen 2 vektördür. Üçgen eşitsizliğini
gösterin . (Toplamlarının normunun ayrı ayrı normlarının
toplamından küçük olduğunu gösterin.
• ÇÖZÜM:
25
Fourier Dönüşümü
• Bir işareti nasıl ifade edebiliriz?
• Taylor serisi ile Polinomlar cinsinden ifade edebiliriz: Ancak
kararsızlık oluşabilir ve anlam sıkıntısı var.
Sinyalin hız değişimini tanımlayarak, başka simnyaller cinsinden ifad
26
Fourier Döüşümü
• İşaretimizin frekans içeriğini anlamak istiyoruz
Fourier
Transform
f(x)
F()
• 0 dan sonsuza tüm açısal frekanslar  için, F() işaretin hem genlik
hem faz bilgisini tutuyor
Asin(x   
F ( )  R( )  iI ( )
A   R( )  I ( )
2
F()
2
Inverse Fourier
Transform
I ( )
  tan
R( )
1
f(x)
Frekans Spektrumu
• Örnek : g(t) = sin(2π f t) + (1/3)sin(2π (3f) t)
=
+
Fourier Dönüşümü
Bir sinyali ağırlıklandırılmış olarak farklı frekanstaki
sinüzoidal işaretlerin toplamı olarak gösterme

F u    f x e
i 2ux

dx
Note: e  cos k  i sin k
ik
Inverse Fourier Transform (IFT)

f x    F u e

i 2ux
dx
i  1
Fourier Dönüşümü

F u    f x e

iux
dx
eik  cos k  i sin k
i  1
• Inverse Fourier Transform (IFT)
1
f x  
2



F u eiuxdx
Fourier Dönüşüm Çiftleri (I)
Fourier Dönüşüm Çiftleri (I)
Fourier Dönüşümü ve Konvolüsyon
g  f h

Gu    g x e i 2uxdx





 


f  hx   e i 2uxddx
  f  e

i 2u
 



 f  e
i 2u
d

d hx   e i 2u  x  dx
 hx'e


i 2ux'

dx'
 F u H u 
Zamanda konvolüsyon
 Frekans bölgesinde çarpım

Fourier Dönüşümü ve Konvolüsyon
Uzamsal Bölge (x)
Frekans Bölgesi (u)
g  f h
g  fh
G  FH
G  F H
g(x)’i Fourier dönüşümü ile bulabiliriz
g

IFT
G
f

FT

F
h
FT

H
Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Uzamsal Bölge (x)
Frekans Bölgesi (u)
c1 f x   c2 g x 
c1F u   c2Gu 
Scaling
f ax 
1 u
F 
a a
Shifting
f x  x0 
e i 2ux0 F u 
Symmetry
F x 
f  u 
Conjugation
f  x 
Convolution
f x   g x 
F   u 
Differentiation
d n f x 
dx n
i2u  F u 
Linearity
F u Gu 
n
Note that these are derived using
frequency ( e i 2ux )
Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Example use: Smoothing/Blurring
• f(x) fonksiyonunun değişimlerini yumuşatalım
g x   f x  hx 
•Gauss Çekirdeği (kerneli) kullanalım
h x 
 1 x2 
1
h x  
exp 
2
2

2 


 1
2 2




H u  exp  2u  
 2


x
H u 
1
2
Gu   F u H u 
H(u), F(u)’nun yüksek frekanslarını zayıflatacaktır
u
Convolution is Multiplication in Fourier Domain
|F(sx,sy)|
f(x,y)
*
h(x,y)
|H(sx,sy)|
g(x,y)
|G(sx,sy)|
Low-pass Filtering
Let the low frequencies pass and eliminating the high frequencies.
Generates image with overall
shading, but not much detail
High-pass Filtering
Lets through the high frequencies (the detail), but eliminates the low
frequencies (the overall shape). It acts like an edge enhancer.
Boosting High Frequencies
Download

null