ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA
PROJELERİ YARIŞMASI
(2012–2013)
KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN
TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER
Fatih KORKUSUZ
Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi
Eskişehir
Kadir Erdem KARACA
Hacı Ahmet Kanatlı Anadolu Lisesi
Eskişehir
Osman EKİZ
Danışman Öğretmen
ESKİŞEHİR
2013
1
ÖZET
Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgenlere heron üçgenleri denir.
Heron üçgenlerinin özelliklerinin incelenmesi sırasında ortaya çıkan çoğu problem sayılar teorisini ilgilendiren problemlerdir. Bu alan geometri ile sayılar teorisinin iç içe olduğu bir çalışma alanıdır.
Tarih boyunca bir çok matematikçi heron üçgenleri üzerine çalışmalar
yapmıştır. Biz bu çalışmada kenarları geometrik dizi oluşturan tam sayı kenarlı
üçgenlerin elde edilebilmesi için gerekli şartları ortaya koyduk. Bir parametreye
bağlı olarak bu tip üçgenleri üretmeye çalıştık. Bu üçgenlerin açıortay, kenar ortay, yükseklik ve alan bağıntıları bulunup rasyonel değer alıp alamayacakları üzerinde durulmuştur. Ayrıca bu üçgenlerin iç açıları için alt ve üst sınırlar bulunmaya çalışılmıştır.
2
İÇİNDEKİLER
Özet
2
İçindekiler
3
1. Kaynak Araştırması
4
2. Ön Bilgiler
4
3. Geometrik Orta Üçgenleri
9
3.1. Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri
3.2. Bazı Primitif Geometrik Orta Üçgenleri
9
12
4. Primitif Geometrik Orta üçgeninde Açıortay, Kenarortay ve Yükseklik Bağıntıları
14
4.1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları
14
4.2. PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları
15
4.3. PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları
17
4.4. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı
19
4.5. PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar
19
4.6. PGO Üçgeninin Alanının Alabileceği En Büyük Değer
21
5. k – Geometrik Orta Üçgeni
21
6. Sonuçlar ve Tartışma
22
7. Kaynaklar
24
3
1. KAYNAK ARAŞTIRMASI
Heron üçgenleri ve bunun özel bir ailesi olan Pisagor üçgenleri üzerine
Sierpinski, Rosen, Guy, Beauregard ve Suryanarayan, Buchholz ve MacDougall,
Sastry, Zelator, Kramer, Luca gibi matematikçiler çeşitli çalışmalar yapmıştır.
Eşen (2010) ve Darıyeri (2006) çalışmalarında heron üçgenleri üzerinde
yapılan çalışmaların kronolojik sıralaması hakkında bilgi vermiştir.
Buchholz ve MacDougall (1999), kenarları geometrik ve aritmetik dizi biçiminde olan rasyonel alanlı üçgenler ve kirişler dörtgenleri üzerinde çalışmıştır.
Kenarları aritmetik olan üçgenlerin sonsuz bir ailesi için tam bir karakterizasyon
verilmiştir ve ayrıca geometrik diziden oluşan kenarlara sahip hiçbir üçgenin olamayacağı gösterilmiştir.(Eşen, 2010)
Yapılan çalışmalar incelendiğinde kenarları aritmetik dizi oluşturan heron
üçgenleri üzerine kapsamlı araştırmalar yapılmıştır. Fakat kenarları geometrik ve
harmonik dizi oluşturan üçgenler üzerine yapılan araştırmalar ise az sayıdadır.
Bunun bir sebebi bu şekildeki üçgenlerinin alanlarının tam sayı olmamasıdır.
Çünkü, Buchholz ve MacDougall (1999), kenarları geometrik diziden oluşan kenarlara sahip bir üçgenin heron üçgeni olamayacağını göstermiştir.
2. ÖN BİLGİLER
Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılacak tanım ve teoremler verilmiştir.
Tanım 2.1. a ve b iki tamsayı ve a  0 olsun. b = a.c olacak şekilde bir c tamsayısı varsa a, b yi böler veya b, a ile bölünür deriz ve bu durumu a | b şeklinde ifade
ederiz. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
4
Tanım 2.2. b ve c iki tamsayı olsun. Eğer bir a 0 tamsayısı için a b ve a c koşulları gerçekleniyor ise a ya, b ve c tamsayılarının bir ortak böleni denir. Bir b
0 tamsayısının bölenleri sonlu sayıdadır. O halde b ve c den en az birisi sıfırdan
farklı ise bu iki tamsayının ortak bölenlerinin sayısı sonludur. (Erdoğan&Yılmaz,
2008)
Tanım 2.3. b ve c, en az birisi sıfırdan farklı iki tamsayı olsun.
i) d | b , d | c
ii) a | b , a | c  a | d
iii) d  0
koşullarına uyan bir d tamsayısına b ve c tamsayılarının en büyük ortak böleni
(e.b.o.b.) denir ve (b,c) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
Tanım 2.4. (a,b) 1 ise a ve b tamsayılarına aralarında asaldır deriz. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
Tanım 2.5. p  1 tamsayısı verilsin. Eğer p nin ±1 ve ± p den başka böleni yoksa p
tamsayısı bir asal sayıdır deriz. Asal olmayan bir tamsayıya bileşik sayı diyeceğiz. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
Tanım 2.6. ( p, p + 2) seklindeki asal sayı çiftlerine asal sayı ikizi, ( p, p + 2, p +
6) asal sayılarına asal sayı üçüzü, ( p, p + 2, p + 6, p + 8) seklindeki asal sayılara
da asal sayı dördüzü adı verilir. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
Tanım 2.7. a, b, m  ; m 0 tam sayıları verilsin. Eğer m a  b) ise a, b ye m
modülüne göre kongrüent dir denir ve a b (modm) şeklinde gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
Tanım 2.8. Her m 0 tamsayısını, m yi geçmeyen ve m ile aralarında asal olan
tamsayıların sayısına eşleyen fonksiyona Euler’in -fonksiyonu adı verilir ve m
nin resmi (m) ile gösterilir. (Erdoğan&Yılmaz, 2008)
5
Tanım 2.9. Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayılara tam kare sayılar denir.
Teorem 2.1.  m, n   1 ve mn tam kare ise m ve n ’de tam karedir.
Teorem 2.2. a tek tam sayı ise a 2  1 mod 4  ve a çift tam sayı ise
a 2  0  mod 4  olur.
Teorem 2.3. x 4  x 2 y 2  y 4  z 2 denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki
tüm çözümleri k  Z 
 x, y, z    k ,0, k 2  ,  0, k , k 2  üçlüleridir.
olmak üzere
(Andreescu&Andrica, 2002)
Teorem 2.4. x 4  x 2 y 2  y 4  z 2 denkleminin negatif olmayan tamsayılardaki
tüm çözümleri k  Z  olmak üzere  x, y, z    k ,0, k 2  ,  0, k , k 2  ,  k , k , k 2  üçlüleridir. (Andreescu&Andrica, 2002)
Teorem 2.5.
x çift tam sayı ise x 2  0  4  mod16  ve x tek tam sayı ise x 2  1  9  mod16 
ve x çift tam sayı ise x 4  0  mod16  ve x tek tam sayı ise x 4  1 mod16 
Tanım 2.10. Üç açısı da dar açı olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı dik olan üç-
gene dik açılı üçgen, bir açısı geniş olan üçgene geniş açılı üçgen denir. (Küpeli,
2010)
Tanım 2.11. Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen,
herhangi iki kenar uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenar uzunluğu
da birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir. (Küpeli, 2010)
Tanım 2.12. Üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren
doğru parçasına üçgenin o kenarına ait kenarortayı denir. Üçgenin bir köşesindeki
6
açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına,
üçgenin o köşesine ait açıortayı denir. Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya
bu kenarın uzantısına dik olarak çizilen doğru parçasına üçgenin bu kenarına ait
yüksekliği denir. (Küpeli, 2010)
Teorem 2.6. [Üçgen Eşitsizliği]. Bir üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın
uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. (Küpeli,
2010)
Teorem 2.7. [Kenarortay Teoremi]. Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait kena-
rortay uzunluğu Va olmak üzere 2Va2  b 2  c 2 
a2
dir. (Küpeli, 2010)
2
A
2Va2 = b2 + c2 -
Va
B
//
D
a2
2
C
//
Teorem 2.8. [Açıortay Teoremi]. Kenar uzunlukları a, b, c olan ABC üçgeninin
A açısına ait açıortayı  AD  ve  AD   nA olsun. Bu durumda;
A
m(BAD) = m(CAD)
B
i)
AB
AC

BD
DC
ii) nA 
C
D
AB  AC  BD  DC iii) BD 
bağıntıları mevcuttur.
7
ac
ab
ve DC 
bc
bc
Tanım 2.13.
1 5
sayısına altın oran denir ve genellikle  sembolü ile göste2
rilir.
Tanım 2.14. a1 , a2 , a3 reel sayı dizisinin aritmetik dizi olması için gerek ve yeter
şart 2a2  a1  a2 olmasıdır. a1 , a2 , a3 reel sayı dizisinin geometrik dizi olması için
gerek ve yeter şart a22  a1  a2 olmasıdır. a1 , a2 , a3 reel sayı dizisinin harmonik dizi olması için gerek ve yeter şart
1 1 1
, ,
dizisinin aritmetik diz olmasıdır.
a1 a2 a3
(Zelator, K., 2008)
Teorem 2.9. [Kosinüs Teoremi]. Bir ABC
A
üçgeninde
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b
c
b 2  c 2  a 2  2ca cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C dir. (Gürlü, 2003)
B
a
C
Tanım 2.15. Kenar uzunlukları ile alanı tam sayı olan üçgene heron üçgenini de-
nir. (Kramer&Luca, 2000)
Teorem 2.10. Kenar uzunlukları a, b, c ve yarı çevre uzunluğu da u 
abc
2
olan bir ABC üçgeninin alanı A(ABC) ise A  ABC   u  u  a  u  b  u  c  dir.
(Gürlü, 2003)
8
3. GEOMETRİK ORTA ÜÇGENLERİ
3.1. Primitif Geometrik Orta Üçgeni ve Üreteçleri
Tanım 3.1.1. a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere kenar uzunlukları a, b, c olan
ABC üçgeninde c 2  ab bağıntısı var ise bu üçgene geometrik orta üçgeni denir.
Eğer a ile b aralarında asal ise üçgene primitif geometrik orta üçgeni denir. Kısaca P.G.O şeklinde ifade edilir.
C
a
B
c2 = ab
b
A
c
Biz ilk olarak geometrik orta üçgeni olma şartlarını ortaya koymaya çalışalım.
Genelliği bozmadan a  b kabul edelim.  a, b   d olsun. O halde aralarında asal
a1 ve b1 pozitif tam sayıları için a  da1 ve b  db1 olur. Bu durumda
c 2  ab  c 2  d 2 a1b1
olur. Son denklemin sol tarafı tam kare olduğundan sağ tarafı da tam kare olmalıdır.  Teorem 2.1 den a1  p 2 ve b1  q 2 olacak şekilde aralarında asal pozitif
p, q tam sayıları vardır. 
c 2  d 2 p 2 q 2  c  dpq , a  dp 2 ve b  dq 2
olmalıdır. Bu durumda
 a, b, c    dp 2 , dq 2 , dpq 
üçlüsü elde edilir.  a, b, c    dp 2 , dq 2 , dpq  ile  a, b, c    p 2 , q 2 , pq  üçlülerinin
belirttiği üçgenler benzerdir. O yüzden  a, b, c    p 2 , q 2 , pq  üçlüsünün belirttiği
9
üçgen primitif geometrik orta üçgeni olur. Burada  p, q  ikilisine PGO üçgeninin
üreteçleri denir.
Sonuç 3.1.1. p, q aralarında asal pozitif iki tam sayı olmak üzere bir P.G.O üçge-
ninin uzunlukları p 2 , q 2 , pq formunda olmalıdır.
C
q2
p2
B
pq
A
Şimdi  p 2 , q 2 , pq  üçlüsünün hangi hallerde üçgen eşitsizliğini sağladığına bakalım.  p 2 , q 2 , pq  üçlüsünün bir üçgen belirtebilmesi için üçgen eşitsizliğini sağlaması gerekir. Bu durumda
i) b  c  a  pq  q 2  p 2
ii) a  b  c  p 2  q 2  pq
iii) a  c  b  p 2  pq  q 2 eşitsizliklerinin aynı anda sağlanması gerekir.
i) Eğer pq  q 2  p 2  pq  q 2  p 2  pq  p 2  q 2 olup p  q olduğundan
bu eşitsizlik daima doğrudur.
ii - iii) Eğer a  b  c  p 2  q 2  pq olmalıdır. Bu eşitsizlik daima doğru de-
ğildir. Bu durumda seçilen her aralarında asal p, q pozitif tam sayıları ile P.G.O
üçgeni elde edemeyiz. Şimdi p 2  q 2  pq eşitsizliğini sağlayan p, q tam sayıları arasındaki ilişkiyi bulalım.
10
p  q olduğundan p 2  q 2  pq  p 2  pq  q 2  0 olur. Son eşitsizliğin her iki
yanını q 2 ile bölersek
p2 p
 1  0
q2 q
olup
p
 t  1 için t 2  t  1 eşitsizliği elde edilir. 
q
2
1 5
1
5
5
1
5
 1 5
 2

t 
t  t     0  t     t  
2
2
2
2
2
4
4 4

 2
olur. t  1 olduğundan
1 t 
1 5
p 1 5
 1 
2
q
2
olur.
Eğer p  q olursa  a, b, c    p 2 , p 2 , p 2  olup kenar uzunlukları 1 olan eşkenar
üçgenin benzeri olan üçgenler elde edilir. Bundan sonra p  q şartını sağlayan
PGO üçgenleri üzerinde duralım. Bu durumda aşağıdaki sonucu elde ederiz.
Sonuç 3.1.2.  , altın oran ve p  q olmak üzere, aralarında asal pozitif p, q tam
sayılarının PGO üçgeni belirtebilmesi için 1 
p
  eşitsizliğinin sağlanması
q
gerekir. Bu durumda
1
a 3 5
p
a
5 1
  1

 1 
b
2
q
2
b
1
olmalıdır. O halde PGO üçgeni olan ABC üçgeninin kenarları arasında
1
a 3 5

b
2
eşitsizliği mevcuttur.
3.2. Bazı Primitif Geometrik Orta üçgenleri . Verilen herhangi bir pozitif q
tam sayısı yardımıyla PGO üçgenleri elde edilebilir.
11
q
1 p 
5 1
q
2
1
1 p 
5 1
2
2
1 p  5 1
3
1 p 
4
1 p 
5
5 1
1 p 
5
2
6
7
8
9
1 p 
1 p 
1 p 
1 p 
b  q2
c  pq
yok yok
yok
yok
3
9
4
6
5 1
3
2
4
16
9
12
5 1
4
2
5
25
16
20
6
36
25
30
7
49
25
35
8
64
25
40
7
49
36
42
8
64
49
56
9
81
49
63
10
100
49
70
11
111
49
77
9
81
64
72
11
121
64
88
10
100
81
90
11
121
81
99
13
169
81
117
14
196
81
126
5 1
6
2
5 1
7
2
5 1
8
2
5 1
9
2
p
a  p2
Tablo 1
Tabloda verilen bir q tam sayısı için kaç tane  a, b, c  üçlüsü elde edilebileceğine
dair bazı örnekler verilmiştir.
12
Sonuç 3.2.1. Verilen bir q tam sayısı için q dan büyük
5 1
 q ’dan küçük q
2
ile aralarında asal sayıların sayısı kadar  a, b, c  üçlüsü elde edilebilmektedir.
Fakat q ya bağlı bir formül elde edilmemiştir.
Sonuç 3.2.2. PGO üçgeninin üreteçleri olan
 p, q 
ikilisi asal sayı ikilisi olabil-
mektedir. Bu duruma dair örnekler tablo 1 de mevcuttur. Bu ikililerin sonlu mu,
sonsuz mu olduğunu ise q asal olmak üzere q ile
5 1
 q arasında daima bir
2
asal olup olmadığı ile ilgilidir. Bu aralıkta daima asal sayı olup olmadığı ile ilgili
bir bilgiye ulaşamadık.
Şimdi “PGO üçgeninin üreteçleri olan  p, q  ikilisi ikiz asallardan oluşabilir mi?” Sorusuna cevap arayalım. Eğer  p, q  ikilisi ikiz asallar ise p  q  2
olup 1 eşitsizliğinden
q2
5 1
2
5 1
2
5 1

 1 



q
2
2
2
q
q
4
q 
5 1
5 1 q
olmalıdır. Bu durumda 3  q olur.
Sonuç 3.2.3. q , 3 ten büyük bir asal ise ise  q  2, q  ikiz asal ikilisi bir PGO
üretecidir.
13
4. PRİMİTİF GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİNDE AÇIORTAY, KENAR
ORTAY VE YÜKSEKLİK BAĞINTILARI
4. 1. PGO Üçgeninin Kenarortay Uzunlukları
Burada öncelikle üçgenin kenarortay uzunlukları p ve q parametrelerine
bağlı olarak elde edilecek ardından kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayacağı sorusuna cevap aranacaktır.
Kenarortay Teoreminden;
2Vc2  a 2  b 2 
c2
p2q 2
 2Vc2  p 4  q 4 
 4Vc2  2 p 4  2q 4  p 2 q 2 
2
2
2Vc  2 p 4  2q 4  p 2 q 2
olur. Benzer şekilde
2Va  2q 4  2 p 2 q 2  p 4 ve 2Vb  2 p 4  2 p 2 q 2  q 4
bağıntıları elde edilebilir. Şimdi kenarortay uzunluklarının rasyonel olup olamayacağına bakalım.
Vc ifadesinin bir rasyonel sayı belirtmesi için 2 p 4  2q 4  p 2 q 2 ifadesi
tam kare olmalıdır. O halde 2 p 4  2q 4  p 2 q 2  x 2 olacak şekilde bir x tam sayısının olması gerekir.
p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır.
i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem 2.5 den p 4  q 4  1 mod16  ,
p 2  1  9  mod16  ve q 2  1  9  mod16  olup q 2 p 2  1  9  mod16  olur. Bu du-
rumda 2 p 4  2q 4  p 2 q 2  2  2  1  3  11 mod16  …(*) olur.
14
Diğer taraftan p ile q tek olduğundan x de tek olmalıdır. Bu x 2  1  9  mod16 
olacaktır. Bu ise (*) ile çelişir. O halde 2 p 4  2q 4  p 2 q 2 tam kare olamaz.
ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Teo-
rem 2.5 den p 2 q 2  0  4  mod16  olup 2 p 4  2q 4  p 2 q 2  2  14  mod16  olur.
x 2  0,1, 4  9  mod16  olması ile çelişir. O halde Vc hiçbir zaman rasyonel değer
alamaz.
Şimdi Va ve Vb rasyonel olup olmayacağına bakalım. p ile q aralarında
asal olduğundan ikisi de tek veya biri tek biri çift olmalıdır.
i) p ile q tek sayılar olsun. Bu durumda Teorem 2.5 den p 2  q 2  1 mod 4  
2q 4  2 p 2 q 2  p 4  1  3  mod 4 
olur.
Bu
durumda
Teorem
2.5’den
2q 4  2 p 2 q 2  p 4 tam kare olamaz.
ii) p ile q dan biri tek biri çift olsun. Simetriden dolayı p tek q çift olsun. Bu du-
rumda
Teorem
2.5
den
p 2  1 mod 4 
2q 4  2 p 2 q 2  p 4  1  3  mod 4 
olur.
Bu
ve
q 2  0  mod 4 
durumda
Teorem

2.5’den
2q 4  2 p 2 q 2  p 4 tam kare olamaz.
O halde Va rasyonel değer alamaz. Benzer şekilde Vc nin de rasyonel değer alamayacağı gösterilebilir.
Sonuç 4.1.1. Bir PGO üçgeninin kenar ortay uzunlukları rasyonel olamaz.
4.2. PGO Üçgeninin Açıortay Bağıntıları
Burada öncelikle üçgenin açıortay uzunlukları p ve q parametrelerine
bağlı olarak elde edilecek ardından açıortay uzunluklarının rasyonel olup olamayacağı sorusuna cevap aranacaktır.
15
Açıortay teoreminden;
nC2  p 2 q 2 
p 4q 4
p
2
 q2 
2


  p 2  q 2 2  p 2 q 2 
2 2
p
q
  p 2q 2 

 p 2 q 2 1 
2
2 2
  p 2  q 2 2 

 p  q  



 4

p  q 4  p 2q 2 
 p 2q 2 
  p 2  q 2 2 


oldu-
ğundan
nC 
pq
p  q2
2
p 4  q 4  p 2 q 2 (*)
olmalıdır.
nC ’nin rasyonel olması için p 4  q 4  p 2 q 2 ifadesi tam kare olmalıdır. Bu ise Teorem 2.3 den dolayı mümkün değildir.
Diğer taraftan üçgen eşitsizliğinden p 2  q 2  pq 
p 4  q 4  3 p 2q 2  p 4  q 4  p 2q 2  4 p 2q 2 
(*)’dan nC 
p
2
 q 2   p 2q 2 
2
p 4  q 4  p 2 q 2  2 pq olur.
2 p 2q2
2ab

 H  a, b  olur.
2
2
p q
ab
Açıortay teoreminden;
n  pq 
2
A
3
p5q
 p  q
2
 2
 q 2  p  q 2  p 4 
p4 
 pq  q 
  pq 

2
2






p
q
p
q








  q 2  pq  p 2  q 2  pq  p 2  

 pq 
2



p
q




duğundan
nA 
pq  q 2  pq  p 2  q 2  pq  p 2 
pq
olur. Benzer şekilde
nB 
pq  p 2  pq  q 2  p 2  pq  q 2 
pq
16
ol-
bağıntıları
elde
nA
edilir.
nın
rasyonel
olabilmesi
için
pq  q 2  pq  p 2  q 2  pq  p 2  ifadesi tam kare olmalıdır. p ile q aralarında
asal olduğundan pq, q 2  pq  p 2 ve q 2  pq  p 2 ifadeleri aralarında asal olur.
Bu durumda bu ifadelerin her biri Teorem 2.1 den dolayı tam kare olmalıdır. Diğer taraftan Teorem 2.3 den q 2  pq  p 2 ifadesinin tam kare olmasını sağlayan
pozitif
 p, q 
ikilisi yoktur. Dolayısı ile nA rasyonel olamaz. Benzer şekilde nB
de rasyonel olamaz.
Sonuç 4.2.1. ABC üçgeni P.G.O üçgeni ise nC rasyonel değer alamaz ve nC
uzunluğu a ile b ’nin harmonik ortasından küçüktür. Ayrıca nA ve nB ’de rasyonel değer alamaz.
4.3. PGO Üçgeninde Yükseklik Bağıntıları
ABC, PGO üçgeni olsun. C’den AB’ye inilen dikme ayağı D ve BD  x ,
AD  pq  x olsun.
C
q2
p2
B
x
D
A
pq-x
CA2  AD 2  CB 2  BD 2
p 4  x 2  q 4   pq  x 
2
p 4  x 2  q 4  p 2 q 2  2 pqx  x 2  x 
p 4  q 4  p 2q 2
olur.
2 pq
 p 4  q 4  p 2q2 
h  CB  x olduğundan h  p  

2 pq


2
c
2
2
2
c
4
17
2

4 p 2q 2  p 4  q 4  p 2q 2    p 4  q 4  p 2q 2 
4 p 2q2
p

hc 
2
4
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4 
p
4 p 2q 2
4
olduğundan
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4 
2 pq
bağıntısını elde ederiz.
hc ’nin rasyonel olabilmesi için  p 4  q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4  ifadesi tam kare olmalıdır. Öncelikle p 4  q 4  p 2 q 2 ile 3 p 2 q 2  p 4  q 4 ifadelerinin aralarında
asal olduğunu gösterelim.
p ile q aralarında asal olduğundan ikisi de tek ya da biri tek diğeri çift olmalıdır.
Her iki durumda da
p 4  q 4  p 2 q 2 ifadesi tek olacaktır. p 4  q 4  p 2 q 2 ile
3 p 2 q 2  p 4  q 4 ifadelerinin en büyük ortak bölenine d diyelim. Bu durumda d
tek
olmalıdır.
3 p 2q 2  p 4  q 4  4 p 2q 2   p 4  q 4  p 2q 2 
olduğundan
4 p 2 q 2   p 4  q 4  p 2 q 2  ifadesi d ile bölünmelidir. p 4  q 4  p 2 q 2 ifadesi d ile
bölündüğünden d 4 p 2 q 2 olmalıdır. d tek olduğundan d p 2 q 2 olup p ile q aralarında asal olduğundan d p 2 yada d q 2 olmalıdır. d p 2 ise d p 4  q 4  p 2 q 2
olduğundan d q 2 olmalıdır. p ile q aralarında asal olduğundan d  1 olur. Bu
durumda p 4  q 4  p 2 q 2 ile 3 p 2 q 2  p 4  q 4 aralarında asal olmalıdır. O halde
p
4
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4  ifadesinin tam kare olması için p 4  q 4  p 2 q 2
ile 3 p 2 q 2  p 4  q 4 tam kare olmalıdır. Diğer taraftan Teorem 2.3 den
p 4  q 4  p 2 q 2 tam kare olamaz. Bu durumda hc rasyonel olamaz.
Sonuç 4.3.1. ABC, P.G.O üçgeni ise hc rasyonel değer alamaz.
18
4.4. PGO Üçgeninde Alan Bağıntısı
Buchholz & MacDougall (1999) çalışmasında tam sayı kenarlı ve kenarları
geometrik dizi oluşturan üçgenlerin alan formülünü heron formülünü kullanarak bulmuş ve alanın rasyonel olamayacağını göstermişlerdir.
Biz ise yukarıda bulduğumuz yükseklik bağıntısı yardımıyla alan bağıntısını
bulup Buchholz & MacDougall ile aynı sonuca ulaştık. Şimdi alan bağıntısını elde
edelim. Üçgenin alanı S olmak üzere;
c  hc pq
S

2
p
4
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4 
4 pq
S
p
4
olduğundan
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4 
4
olur. Teorem 2.3 den P.G.O üçgeninin alanı da rasyonel olamaz. Kenar uzunlukları tam sayı olan üçgenin alanı irrasyonel olduğundan hiçbir yüksekliği rasyonel
olamaz.
Sonuç 4.4.1. ABC, PGO üçgeni ise yükseklikleri ve alanı irrasyoneldir.
4.5. PGO Üçgeninin Açıları Arasındaki Bağıntılar
Bu bölümde P.G.O üçgeninin açıları için alt ve üst sınırlar elde edilmeye
çalışıldı. Ayrıca üçgenin dar veya geniş açılı olabilmesini sağlayan p, q değerleri
bulunmaya çalışıldı.
a 2  b2  c 2
Kosinüs teoreminden cos C 
2ab
p 4  q 4  p 2q 2
cos C 
2 p 2q 2
19
p
cos C 
p
cos C 
2
 q 2   3 p 2q 2
2
2 p 2q 2
2
 q2 
2
2p q
p, q
p
2
için
 q2 
2
2p q
2

2
p 2  q 2  2 pq
3
3
2
2
2

olup
2
2
p
3
 …..(1) olur.
2
q
2

2 2
 4 p 2q 2
cos C 
(1)’den
1
2

p
2
 q2 
2 p 2q 2
olmalıdır.
Bu
2
2

durumda
m  C   600 olur.
Sonuç 4.5.1. c 2  ab şartını sağlayan P.G.O, ABC üçgeninde m  C   600 eşit-
sizliği mevcuttur. ABC üçgeninin eşkenar olması durumunda eşitlik durumu elde
edilir.
Kosinüs teoreminden cos A 
q4  q2 p2  p4
olur.
2 pq 3
Eğer A açısı geniş ise cos A  0 
2
 2 p2  5 p4
0
q 
 
2
4


q4  q2 p2  p4
 0  q 4  p2q 2  p 4  0 
2 pq 3
2

 2 p2  5 p4
q 
 
2
4


5 2 p2
5 1 2
 q2 
q 
p 
p  q
2
2
2
2
b

m  B   900  b 
5 1
a
2
20
p2
5 2

p
2
2

5 1
 p olmalıdır. Bu durumda
2
5 1
5 1
 a bağıntısı olmalıdır.
 a  b
2
2
Sonuç 4.5.2. ABC, PGO üçgeni olmak üzere;
q2 
m  B   900  b  a 
5 1
 b eşitsizlikleri mevcuttur.
2
4.6. PGO Üçgeninin Alanının Alabileceği En Büyük Değer
S
p
4
 q 4  p 2 q 2  3 p 2 q 2  p 4  q 4 
olduğunu bulmuştuk. p 4  q 4  x ve
4
p 2 q 2  y alırsak A  ABC  
 x  y  3 y  x 
4
olur.
 x  y  3 y  x    x 2  2 xy  3 y 2 …(*) dir. Diğer taraftan
p 4  q 4  2 p 2 q 2 oldu-
ğundan x  2 y olur.  x  y  y    x  y    y 2    x  y   4 y 2  3 y 2
2
  x 2  2 xy  3 y 2  3 y 2 olur. (*)’dan S 
2
 x  y  3 y  x 
4

3 2
c olur. p  q
4
için eşitlik durumu elde edilir.
3 2
c eşitsizliği mevcuttur. Eşitlik olması
4
Sonuç 4.6.1. ABC, PGO üçgeni ise S 
için üçgenin eşkenar olması gerekir.
5. k – GEOMETRİK ORTA ÜÇGENİ
Bu bölümde geometrik orta üçgeninin bir çeşit genelleşmesi olan k – Geometrik
orta üçgenini tanımlayıp kenarları arasındaki ilişkiyi vereceğiz.
Tanım 5.1. p, q aralarında asal pozitif tam sayılar ve k  Z  olmak üzere bir
ABC üçgeninin kenar uzunlukları p 2 , q 2 , kpq olan üçgene k – geometrik orta üçgeni denir.
Şimdi bu üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi elde edelim.
21
Genelliği bozmadan p  q kabul edelim. Üçgen eşitsizliğinden
i)
p 2  q 2  kpq  p 2  q 2
olmalıdır.
Bu
durumda
pq
olduğundan
p 2  q 2  kpq  p 2  kpq  q 2  0 ve 0  p 2  kpq  q 2 eşitsizlik sitemini çöz2
 p
p
meliyiz. Bu eşitsizliklerin her iki tarafı q ile bölünürse    k  1  0 ve
q
q
2
2
 p
p
0     k  1 olur.
q
q
2
 p
p
p k  k2  4
   k 1  0  1  
q
2
q
q
2
 p
k  k2  4 p
p
0     k 1 
 olur. Bu iki eşitsizlik birleştirilirse
2
q
q
q
k  k2  4 p k  k2  4
eşitsizliği elde edilir.
 
2
q
2
Sonuç 5.1. ABC üçgeninin k – geometrik orta üçgeni olabilmesi için
k  k2  4 p k  k2  4
eşitsizliğinin sağlanması gerekir.
 
2
q
2
6. Sonuçlar ve Tartışma
Tarih boyunca çeşitli matematikçiler heron üçgenleri hakkında kapsamlı
çalışmalar yapmışlardır. Heron üçgenlerinin bir alt gurubu olan aritmetik üçgenler
hakkında da epey çalışma mevcuttur. Ancak kenarları tam sayı ve kenar uzunlukları geometrik dizi olan üçgenler heron üçgeni olmadığından hakkında fazla bir
çalışma yapılmamıştır.
Biz ise çalışmamızda bu üçgenlerin özelliklerini ele aldık. Tek bir parametre yardımıyla bu üçgenlerin elde edilebileceğini gösterdik. Fakat elde edilebilecek üçgen sayısını formüle edemedik. Bu tip üçgenlerin kenar uzunlukları, yar-
22
dımcı eleman uzunlukları ve açıları arasında bağıntılar elde edilmiş ayrıca yardımcı eleman uzunlukları ile alanın rasyonel değer alamayacağı gösterilmiştir.
Son olarak bu üçgenlerin bir genellemesi olan k – geometrik orta üçgeni
kavramı verilmiş ve bu üçgenin kenarları arasındaki ilişki elde edilmiştir.
23
7. KAYNAKLAR
[1] Andreescu, T., Andrica, D., 2002, An Introduction to Diophantine Equations,
GIL Publishing House p.85-88.
[2] Buchholz, R. H. and MacDougall, J. A., 1999, Heron Quadrilaterals with Sides
in Arithmetic Progression, Bull. Aus. Math. Soc., p.263-269.
[3] Darıyeri, M. 2006., Heron Üçgenlerinin Bazı özellikleri Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış Yüksek Lisans Tezi
[4] Erdoğan, M., Yılmaz, G., 2008, Çözümlü problemlerle Soyut Cebir ve Sayılar
Teorisi, Beykent Üniversitesi Yayınları
[5] Eşen, T., 2010, Açıları ve Kenarları Aritmetik, Geometrik ve Harmonik Dizi
Oluşturan Üçgenler ile x 2  3 y 2  z 2 Diophantine Denklemi Arasındaki İlişkiler
Üzerine Bir Araştırma, Basılmamış yüksek lisans tezi
[6] Gürlü, Ö., 2003, Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları
[7] Kramer, A. V., Luca, F., 2000, Some Remarks on Heron Triangles, Acta.
Acad.Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae 27, p.25-38.
[8] Küpeli, S. 2010., 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın nokta Yayınevi, İzmir
[9] Zelator, K., 2008, Triangle Angles and Sides in Progression and the
Diophantine Equation x 2  3 y 2  z 2 , arxiv:0803.3778(pdf).
24
Download

Kenar uzunlukları Geometrik Dizi Olan Tam Sayı Kenarlı üçgenler